1、面板數據模型1面板數據定義。時間序列數據或截面數據都是一維數據。例如時間序列數據是變量按時間得到的數據；截面數據是變量在截面空間上的數據。面板數據（panel data）也稱時間序列截面數據（time series and cross section data）或混合數據（pool data）。面板數據是同時在時間和截面空間上取得的二維數據。面板數據示意圖見圖1。面板數據從橫截面（cross section）上看，是由若干個體（entity, unit, individual）在某一時刻構成的截面觀測值，從縱剖面（longitudinal section）上看是一個時間序列。面板數據用雙下標變

2、量表示。例如yi t, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , TN表示面板數據中含有N個個體。T表示時間序列的最大長度。若固定t不變，yi ., ( i = 1, 2, , N)是橫截面上的N個隨機變量；若固定i不變，y. t, (t = 1, 2, , T)是縱剖面上的一個時間序列（個體）。圖1 N=7，T=50的面板數據示意圖例如1990-2000年30個省份的農業總產值數據。固定在某一年份上，它是由30個農業總產總值數字組成的截面數據；固定在某一省份上，它是由11年農業總產值數據組成的一個時間序列。面板數據由30個個體組成。共有330個觀測值。對于面板數據yi t, i

3、= 1, 2, , N; t = 1, 2, , T來說，如果從橫截面上看，每個變量都有觀測值，從縱剖面上看，每一期都有觀測值，則稱此面板數據為平衡面板數據（balanced panel data）。若在面板數據中丟失若干個觀測值，則稱此面板數據為非平衡面板數據（unbalanced panel data）。目前的軟件即使數據不全，也可很好得估出。注意：EViwes 3.1、4.1、5.0既允許用平衡面板數據也允許用非平衡面板數據估計模型。例1（file:panel02）：1996-2002年中國東北、華北、華東15個省級地區的居民家庭人均消費（不變價格）和人均收入數據見表1和表2。數據是7年

4、的，每一年都有15個數據，共105組觀測值。人均消費和收入兩個面板數據都是平衡面板數據，各有15個個體。人均消費和收入的面板數據從縱剖面觀察分別見圖2和圖3。從橫截面觀察分別見圖4和圖5。橫截面數據散點圖的表現與觀測值順序有關。圖4和圖5中人均消費和收入觀測值順序是按地區名的漢語拼音字母順序排序的。表1 1999-2002年中國東北、華北、華東15個省級地區的居民家庭人均消費數據（不變價格）地區人均消費1996199719981999200020012002CP-AH（安徽） 3282.466 3646.150 3777.410 3989.581 4203.555 4495.174 4784.

5、364CP-BJ（北京） 5133.978 6203.048 6807.451 7453.757 8206.271 8654.433 10473.12CP-FJ（福建） 4011.775 4853.441 5197.041 5314.521 5522.762 6094.336 6665.005CP-HB（河北） 3197.339 3868.319 3896.778 4104.281 4361.555 4457.463 5120.485CP-HLJ（黑龍江） 2904.687 3077.989 3289.990 3596.839 3890.580 4159.087 4493.535CP-JL（吉

6、林） 2833.321 3286.432 3477.560 3736.408 4077.961 4281.560 4998.874CP-JS（江蘇） 3712.260 4457.788 4918.944 5076.910 5317.862 5488.829 6091.331CP-JX（江西） 2714.124 3136.873 3234.465 3531.775 3612.722 3914.080 4544.775CP-LN（遼寧） 3237.275 3608.060 3918.167 4046.582 4360.420 4654.420 5402.063CP-NMG（內蒙古） 2572.34

7、2 2901.722 3127.633 3475.942 3877.345 4170.596 4850.180CP-SD（山東） 3440.684 3930.574 4168.974 4546.878 5011.976 5159.538 5635.770CP-SH（上海） 6193.333 6634.183 6866.410 8125.803 8651.893 9336.100 10411.94CP-SX（山西） 2813.336 3131.629 3314.097 3507.008 3793.908 4131.273 4787.561CP-TJ（天津） 4293.220 5047.672 5

8、498.503 5916.613 6145.622 6904.368 7220.843CP-ZJ（浙江） 5342.234 6002.082 6236.640 6600.749 6950.713 7968.327 8792.210資料來源：中國統計年鑒1997-2003。表2 1999-2002年中國東北、華北、華東15個省級地區的居民家庭人均收入數據（不變價格）地區人均收入1996199719981999200020012002IP-AH（安徽） 4106.251 4540.247 4770.470 5178.528 5256.753 5640.597 6093.333IP-BJ（北京） 6

9、569.901 7419.905 8273.418 9127.992 9999.700 11229.66 12692.38IP-FJ（福建） 4884.731 6040.944 6505.145 6922.109 7279.393 8422.573 9235.538IP-HB（河北） 4148.282 4790.986 5167.317 5468.940 5678.195 5955.045 6747.152IP-HLJ（黑龍江） 3518.497 3918.314 4251.494 4747.045 4997.843 5382.808 6143.565IP-JL（吉林） 3549.935 40

10、41.061 4240.565 4571.439 4878.296 5271.925 6291.618IP-JS（江蘇） 4744.547 5668.830 6054.175 6624.316 6793.437 7316.567 8243.589IP-JX（江西） 3487.269 3991.490 4209.327 4787.606 5088.315 5533.688 6329.311IP-LN（遼寧） 3899.194 4382.250 4649.789 4968.164 5363.153 5797.010 6597.088IP-NMG（內蒙古） 3189.414 3774.804 438

11、3.706 4780.090 5063.228 5502.873 6038.922IP-SD（山東） 4461.934 5049.407 5412.555 5849.909 6477.016 6975.521 7668.036IP-SH（上海） 7489.451 8209.037 8773.100 10770.09 11432.20 12883.46 13183.88IP-SX（山西） 3431.594 3869.952 4156.927 4360.050 4546.785 5401.854 6335.732IP-TJ（天津） 5474.963 6409.690 7146.271 7734.9

12、14 8173.193 8852.470 9375.060IP-ZJ（浙江） 6446.515 7158.288 7860.341 8530.314 9187.287 10485.64 11822.00資料來源：中國統計年鑒1997-2003。 圖2 15個省級地區的人均消費序列（縱剖面） 圖3 15個省級地區的人均收入序列（file:4panel02） 圖4 15個省級地區的人均消費散點圖 圖5 15個省級地區的人均收入散點圖（7個橫截面疊加）(每條連線表示同一年度15個地區的消費值) (每條連線表示同一年度15個地區的收入值)用CP表示消費，IP表示收入。AH, BJ, FJ, HB, H

13、LJ, JL, JS, JX, LN, NMG, SD, SH, SX, TJ, ZJ分別表示安徽省、北京市、福建省、河北省、黑龍江省、吉林省、江蘇省、江西省、遼寧省、內蒙古自治區、山東省、上海市、山西省、天津市、浙江省。15個地區7年人均消費對收入的面板數據散點圖見圖6和圖7。圖6中每一種符號代表一個省級地區的7個觀測點組成的時間序列。相當于觀察15個時間序列。圖7中每一種符號代表一個年度的截面散點圖（共7個截面）。相當于觀察7個截面散點圖的疊加。圖6 用15個時間序列表示的人均消費對收入的面板數據圖7 用7個截面表示的人均消費對收入的面板數據（7個截面疊加） 為了觀察得更清楚一些，圖8給出

14、北京和內蒙古1996-2002年消費對收入散點圖。從圖中可以看出，無論是從收入還是從消費看內蒙古的水平都低于北京市。內蒙古2002年的收入與消費規模還不如北京市1996年的大。圖9給出該15個省級地區1996和2002年的消費對收入散點圖。可見6年之后15個地區的消費和收入都有了相應的提高。 圖8 北京和內蒙古1996-2002年消費對收入時序圖 圖9 1996和2002年15個地區的消費對收入散點圖2面板數據的估計。用面板數據建立的模型通常有3種。即混合估計模型、固定效應模型和隨機效應模型。2.1 混合估計模型。如果從時間上看，不同個體之間不存在顯著性差異；從截面上看，不同截面之間也不存在顯

15、著性差異，那么就可以直接把面板數據混合在一起用普通最小二乘法（OLS）估計參數。如果從時間和截面看模型截距都不為零，且是一個相同的常數，以二變量模型為例，則建立如下模型， yit = a +b1 xit +eit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (1)a 和b1不隨i，t變化。稱模型(1)為混合估計模型。以例1中15個地區1996和2002年數據建立關于消費的混合估計模型，得結果如下：圖10 EViwes估計方法：在打開工作文件窗口的基礎上，點擊主功能菜單中的Objects鍵，選New Object功能，從而打開New Object（新對象）選擇窗。在Type of

16、 Object選擇區選擇Pool（混合數據庫），點擊OK鍵，從而打開Pool（混合數據）窗口。在窗口中輸入15個地區標識AH（安徽）、BJ（北京）、ZJ（浙江）。工具欄中點擊Sheet鍵，從而打開Series List（列寫序列名）窗口，定義變量CP?和IP?，點擊OK鍵，Pool（混合或合并數據庫）窗口顯示面板數據。在Pool窗口的工具欄中點擊Estimate鍵，打開Pooled Estimation（混合估計）窗口如下圖。圖11在Dependent Variable（相依變量）選擇窗填入CP?；在Common coefficients（系數相同）選擇窗填入IP?；Cross section

17、 specific coefficients（截面系數不同）選擇窗保持空白；在Intercept（截距項）選擇窗點擊Common；在Weighting（權數）選擇窗點擊No weighting。點擊Pooled Estimation（混合估計）窗口中的OK鍵。得輸出結果如圖10。相應表達式是= 129.6313 +0.7587 IPit (2.0) (79.7) R2 = 0.98, SSEr = 4824588, t0.05 (103) = 1.9915個省級地區的人均支出平均占收入的76%。如果從時間和截面上看模型截距都為零，就可以建立不含截距項的（a = 0）的混合估計模型。以二變量模型

18、為例，建立混合估計模型如下， yit = b1 xit +eit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T (2)對于本例，因為上式中的截距項有顯著性（t = 2.0 > t0.05 (103) = 1.99），所以建立截距項為零的混合估計模型是不合適的。EViwes估計方法：在Pooled Estimation（混合估計）對話框中Intercept（截距項）選擇窗中選None，其余選項同上。2.2 固定效應模型。在面板數據散點圖中，如果對于不同的截面或不同的時間序列，模型的截距是不同的，則可以采用在模型中加虛擬變量的方法估計回歸參數，稱此種模型為固定效應模型（fixe

19、d effects regression model）。固定效應模型分為3種類型，即個體固定效應模型（entity fixed effects regression model）、時刻固定效應模型（time fixed effects regression model）和時刻個體固定效應模型（time and entity fixed effects regression model）。下面分別介紹。（1）個體固定效應模型。個體固定效應模型就是對于不同的個體有不同截距的模型。如果對于不同的時間序列（個體）截距是不同的，但是對于不同的橫截面，模型的截距沒有顯著性變化，那么就應該建立個體固定效應模

20、型，表示如下， yit = b1 xit +g1 W1 + g2 W2 + +gN WN +eit, t = 1, 2, , T (3)其中Wi =eit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T，表示隨機誤差項。yit, xit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T分別表示被解釋變量和解釋變量。模型（3）或者表示為 y1t = g1 +b1 x1t +e1t, i = 1（對于第1個個體，或時間序列），t = 1, 2, , T y2t = g2 +b1 x2t +e2 t, i = 2（對于第2個個體，或時間序列），t = 1, 2, , T yN

21、t = gN +b1 xN t +e N t, i = N（對于第N個個體，或時間序列），t = 1, 2, , T寫成矩陣形式，y1 = (1 x1)+e1 = g1 + x1 b +e1yN = (1 xN)+eN = gN + xN b +eN上式中yi，gi，ei，xi都是N´1階列向量。b為標量。當模型中含有k個解釋變量時，b為k´1階列向量。進一步寫成矩陣形式，= +b + 上式中的元素1，0都是T´1階列向量。 面板數據模型用OLS方法估計時應滿足如下5個假定條件：（1）E(eit|xi1, xi2, , xiT, ai) = 0。以xi1, xi2

22、, , xiT, ai為條件的eit的期望等于零。（2）(xi1, xi2, , xiT), ( yi1, yi2, , yiT), i = 1, 2, , N分別來自于同一個聯合分布總體，并相互獨立。（3）(xit, eit)具有非零的有限值4階矩。（4）解釋變量之間不存在完全共線性。（5）Cov(eit eis|xit,xis, ai) = 0, t ¹ s。在固定效應模型中隨機誤差項eit在時間上是非自相關的。其中xit代表一個或多個解釋變量。對模型（1）進行OLS估計，全部參數估計量都是無偏的和一致的。模型的自由度是N T 1N。 當模型含有k個解釋變量，且N很大，相對較小時

23、，因為模型中含有k + N個被估參數，一般軟件執行OLS運算很困難。在計量經濟學軟件中是采用一種特殊處理方式進行OLS估計。估計原理是，先用每個變量減其組內均值，把數據中心化（entity-demeaned），然后用變換的數據先估計個體固定效應模型的回歸系數（不包括截距項），然后利用組內均值等式計算截距項。這種方法計算起來速度快。具體分3步如下。（1）首先把變量中心化（entity-demeaned）。仍以單解釋變量模型（3）為例，則有 = gi + b1+, i = 1, 2, , N (4)其中=，=，=, i = 1, 2, , N。公式(1)、(4)相減得， (yit -) = b1(

24、xit -) + (eit -) (5)令(yit -) =，(xit -) =，(eit -) =，上式寫為 = b1+ (6)用OLS法估計（1）、（6）式中的b1，結果是一樣的，但是用（6）式估計，可以減少被估參數個數。（2）用OLS法估計回歸參數（不包括截距項，即固定效應）。 在k個解釋變量條件下，把用向量形式表示，則利用中心化數據，按OLS法估計公式計算個體固定效應模型中回歸參數估計量的方差協方差矩陣估計式如下，() = (')-1 (7)其中=，是相對于的殘差向量。（3）計算回歸模型截距項，即固定效應參數gi。=- (8)以例1（file:panel02）為例得到的個體固定

25、效應模型估計結果如下：注意：個體固定效應模型的EViwes輸出結果中沒有公共截距項。圖12EViwes估計方法：在EViwes的Pooled Estimation對話框中Intercept選項中選Fixed effects。其余選項同上。注意：（1）個體固定效應模型的EViwes輸出結果中沒有公共截距項。（中心化處理）（2）EViwes輸出結果中沒有給出描述個體效應的截距項相應的標準差和t值。不認為截距項是模型中的重要參數。（3）當對個體固定效應模型選擇加權估計時，輸出結果將給出加權估計和非加權估計兩種統計量評價結果。（4）輸出結果的聯立方程組形式可以通過點擊View選Representati

26、ons功能獲得。（5）點擊View選Wald Coefficient Tests功能可以對模型的斜率進行Wald檢驗。（6）點擊View選Residuals/Table, Graphs, Covariance Matrix, Correlation Matrix功能可以分別得到按個體計算的殘差序列表，殘差序列圖，殘差序列的方差協方差矩陣，殘差序列的相關系數矩陣。（7）點擊Procs選Make Model功能，將會出現估計結果的聯立方程形式，進一步點擊Solve鍵，在隨后出現的對話框中可以進行動態和靜態預測。輸出結果的方程形式是 = 安徽+ x1t = 479.3 + 0.70 x1t (55.

27、0) = 北京+x2t = 1053.2 + 0.70 x2t (55.0) = 浙江+x15t = 714.2 + 0.70 x15t (55.0) R2 = 0.99, SSEr = 2270386, t0.05 (88) = 1.98從結果看，北京、上海、浙江是消費函數截距（自發消費）最大的3個地區。相對于混合估計模型來說，是否有必要建立個體固定效應模型可以通過F檢驗來完成。原假設H0：不同個體的模型截距項相同（建立混合估計模型）。備擇假設H1：不同個體的模型截距項不同（建立個體固定效應模型）。F統計量定義為：F= (9)其中SSEr，SSEu分別表示約束模型（混合估計模型）和非約束模型

28、（個體固定效應模型）的殘差平方和。非約束模型比約束模型多了N-1個被估參數。（混合估計模型給出公共截距項。）注意：當模型中含有k個解釋變量時，F統計量的分母自由度是NT-N-k。 用上例計算，已知SSEr = 4824588，SSEu = 2270386，F= 7.15F0.05(14, 89) = 1.81因為F= 7.15> F0.05(14, 89) = 1.81，所以，拒絕原假設。結論是應該建立個體固定效應模型。（2）時刻固定效應模型。時刻固定效應模型就是對于不同的截面（時刻點）有不同截距的模型。如果確知對于不同的截面，模型的截距顯著不同，但是對于不同的時間序列（個體）截距是相同

29、的，那么應該建立時刻固定效應模型，表示如下， yit = b1 xit +a1 + a2 D2 + +aT DT +eit, i = 1, 2, , N (10)其中Dt =eit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T，表示隨機誤差項。yi t, xit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T分別表示被解釋變量和解釋變量。模型（10）也可表示為 yi1 = a1 +b1 xi1 + ei1, t = 1，（對于第1個截面），i = 1, 2, , N yi2 = (a1 +a2) +b1 xi2 + ei2, t = 2，（對于第2個截面），i = 1

30、, 2, , N yiT = (a1 +aT) +b1 xiT + eiT, t = T，（對于第T個截面），i = 1, 2, , N如果滿足上述模型假定條件，對模型（2）進行OLS估計，全部參數估計量都具有無偏性和一致性。模型的自由度是N T T-1。圖13EViwes估計方法：在Pooled Estimation（混合估計）窗口中的Dependent Variable（相依變量）選擇窗填入CP?；在Common coefficients（系數相同）選擇窗填入IP? 和虛擬變量D1997, D1998, D1999, D2000, D2001, D2002；在Cross section s

31、pecific coefficients（截面系數不同）選擇窗保持空白；在Intercept（截距項）選擇窗點擊Common；在Weighting（權數）選擇窗點擊No weighting。點擊Pooled Estimation（混合估計）窗口中的OK鍵。以例1為例得到的時刻固定效應模型估計結果如下： = 1996 +xi1 = 108.5057 + 0.7789 xi1 (1.5) (74.6)= 1997 +xi2 = 108.5057 +28.1273 + 0.7789 xi2 (1.5) (0.4) (74.6) = 2002 +xi7 = 108.5057 -199.8213 + 0

32、.7789 xi7 (1.5) (0.4) (74.6) R2 = 0.9867, SSEr = 4028843, t0.05 (97) = 1.98相對于混合估計模型來說，是否有必要建立時刻固定效應模型可以通過F檢驗來完成。H0：對于不同橫截面模型截距項相同（建立混合估計模型）。H1：對于不同橫截面模型的截距項不同（建立時刻固定效應模型）。F統計量定義為：F= (11)其中SSEr，SSEu分別表示約束模型（混合估計模型的）和非約束模型（時刻固定效應模型的）的殘差平方和。非約束模型比約束模型多了T-1個被估參數。注意：當模型中含有k個解釋變量時，F統計量的分母自由度是NT-T- k。 用上例

33、計算，已知SSEr= 4824588，SSEu= 4028843，F= 3.19F0.05(6, 87) = 2.2因為F= 3.19> F0.05(14, 89) = 2.2，拒絕原假設，結論是應該建立時刻固定效應模型。（3）時刻個體固定效應模型。有個體效應時，一定要選固定效應模型（控制時刻用虛擬變量，控制個體用W）時刻個體固定效應模型就是對于不同的截面（時刻點）、不同的時間序列（個體）都有不同截距的模型。如果確知對于不同的截面、不同的時間序列（個體）模型的截距都顯著地不相同，那么應該建立時刻個體效應模型，表示如下，yit = b1 xit +a1+a2D2 +aT DT +g1W1+

34、g2W2 +gN WN+eit, i=1,2,N，t = 1, 2, , T (12)其中虛擬變量Dt = （注意不是從1開始）Wi = （注意是從1開始）eit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T，表示隨機誤差項。yi t, xit, (i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T)分別表示被解釋變量和解釋變量。模型也可表示為： y11 = a1 +g1 +b1 x11 + e11, t = 1，i = 1（對于第1個截面、第1個個體） y21 = a1 +g2 +b1 x21 + e21, t = 1，i = 2（對于第1個截面、第2個個體） yN1 =

35、 a1 +gN +b1 xN1 + eN1, t = 1，i = N（對于第1個截面、第N個個體） y12 = (a1 +a2) +g1 +b1 x12 + e12, t = 2，i = 1（對于第2個截面、第1個個體） y22 = (a1 +a2) +g2 +b1 x22 + e22, t = 2，i = 2（對于第2個截面、第2個個體） yN2 = (a1 +a2) +gN +b1 xN2 + eN2, t = 2，i = N（對于第2個截面、第N個個體） y1T = (a1 +aT) +g1 +b1 x12 + e1T, t = T，i = 1（對于第T個截面、第1個個體） y2T =

36、(a1 +aT) +g2 +b1 x22 + e2T, t = T，i = 2（對于第T個截面、第2個個體） yNT = (a1 +aT) +gN +b1 xNT + eNT, t = T，i = N（對于第T個截面、第N個個體）同一時刻不同個體間須選fixed effects如果滿足上述模型假定條件，對模型（12）進行OLS估計，全部參數估計量都是無偏的和一致的。模型的自由度是N T NT。注意：當模型中含有k個解釋變量時，F統計量的分母自由度是NT N -T- k+1。以例1為例得到的截面、時刻固定效應模型估計結果如下：圖14EViwes估計方法：在Pooled Estimation（混合

37、估計）窗口中的Dependent Variable（相依變量）選擇窗填入CP?；在Common coefficients（系數相同）選擇窗填入IP? 和虛擬變量D1997, D1998, D1999, D2000, D2001, D2002；在Cross section specific coefficients（截面系數不同）選擇窗保持空白；在Intercept（截距項）選擇窗中選Fixed effects；在Weighting（權數）選擇窗點擊No weighting。點擊Pooled Estimation（混合估計）窗口中的OK鍵。注意：（1）對于第1個截面（t=1）EViwes輸出結果

38、中把(a1 +gi), (i = 1, 2, , N)估計在一起。（2）對于第2, , T個截面（t=1）EViwes輸出結果中分別把(a1 +at), (t = 2, , T)估計在一起。輸出結果如下： = 1996 + x11 = 537.9627 + 0.6712 x11， （1996年安徽省） = 1996 + x21 = 1223.758 + 0.6712x21， （1996年北京市） = 1997 + x11 = 98.91126 + 0.6712 x11， （1997年安徽省） = 1997 + x21 = 98.91126 +1223.758 + 0.6712x21， （199

39、7年北京市） = 2002 +x15,7 = (183.3882 +870.4197) + 0.6712 x15,1，（2002年浙江省）R2 = 0.9932, SSEr = 2045670, t0.05 (83) = 1.98相對于混合估計模型來說，是否有必要建立時刻個體固定效應模型可以通過F檢驗來完成。H0：對于不同橫截面，不同序列，模型截距項都相同（建立混合估計模型）。H1：不同橫截面，不同序列，模型截距項各不相同（建立時刻個體固定效應模型）。F統計量定義為：F= (13)其中SSEr，SSEu分別表示約束模型（混合估計模型的）和非約束模型（時刻個體固定效應模型的）的殘差平方和。非約束

40、模型比約束模型多了N+T個被估參數。注意：當模型中含有k個解釋變量時，F統計量的分母自由度是NT-N-T- k-1。 用上例計算，已知SSEr= 4824588，SSEu= 2045670，F= 5.6F0.05(20, 81) = 1.64因為F= 5.6> F0.05(14, 89) = 1.64，拒絕原假設，結論是應該建立時刻個體固定效應模型。（4）隨機效應模型在固定效應模型中采用虛擬變量的原因是解釋被解釋變量的信息不夠完整。也可以通過對誤差項的分解來描述這種信息的缺失。 yit = a + b1 xit + eit (14)其中誤差項在時間上和截面上都是相關的，用3個分量表示如下

41、。eit = ui + vt + wit (15)其中ui N(0, su2)表示截面隨機誤差分量；vt N(0, sv2)表示時間隨機誤差分量；wit N(0, sw2)表示混和隨機誤差分量。同時還假定ui，vt，wit之間互不相關，各自分別不存在截面自相關、時間自相關和混和自相關。上述模型稱為隨機效應模型。隨機效應模型和固定效應模型比較，相當于把固定效應模型中的截距項看成兩個隨機變量。一個是截面隨機誤差項（ui），一個是時間隨機誤差項（vt）。如果這兩個隨機誤差項都服從正態分布，對模型估計時就能夠節省自由度，因為此條件下只需要估計兩個隨機誤差項的均值和方差。假定固定效應模型中的截距項包括了

42、截面隨機誤差項和時間隨機誤差項的平均效應，而且對均值的離差分別是ui和vt，固定效應模型就變成了隨機效應模型。為了容易理解，先假定模型中只存在截面隨機誤差項ui，不存在時間隨機誤差分量（vt）， yit = a + b1 xit + (wit+ ui) = a + b1 xit +eit (16)截面隨機誤差項ui是屬于第個個體的隨機波動分量，并在整個時間范圍(t = 1,2, , T)保持不變。隨機誤差項ui, wit應滿足如下條件：E(ui) =0, E(wit) = 0E(wit 2) = sw2, E(ui 2)= su2,E(wit uj) =0, 包括所有的i, t, j。E(wi

43、t wjs) =0, i ¹ j, t ¹ sE(ui uj) =0, i ¹ j因為根據上式有eit = wit+ ui所以這種隨機效應模型又稱為誤差分量模型（error component model）。有結論，E(eit ) = E(wit +uj) = 0,(16)式，yit = a + b1 xit + (wit+ ui)，也可以寫成yit = (a + ui) + b1 xit + wit。服從正態分布的截距項的均值效應au被包含在回歸函數的常數項中。E(eit 2) = E(wit +uj)2 = sw2 +su2,E(eit eis) = E(wi

44、t+ ui)(wis+ ui) = E(wit wis + ui wis + wit ui + ui2) =su2, t ¹ s 令ei = (ei1, ei2, eiT)'則W = E(eiei') = =sw2 I(T´T) +su2 1(T´1) 1(T´1) '其中I(T´T)是(T´T)階單位陣，1(T´1)是(T´1)階列向量。因為第i期與j期觀測值是相互獨立的，所以NT個觀測值所對應的隨機誤差項的方差與協方差矩陣V是V = = ÄW = IN´N Ä

45、;W其中IN´N表示由(T´1)階列向量為元素構成的單位陣，其中每一個元素1或0都是(T´1)階列向量。Ä表示科羅內克積（Kronecker product）。其運算規則是 AN´KÄB =檢驗個體隨機效應的原假設與檢驗統計量是H0：su2 = 0。（混合估計模型）H1：su2 ¹ 0。（個體隨機效應模型）LM= =其中表示由個體隨機效應模型計算的殘差平方和。表示由混合估計模型計算的殘差平方和。統計量LM服從1個自由度的c2分布。可以對隨機效應模型進行廣義最小二乘估計。以觀測值方差的倒數為權。為了求權數，必須采用兩階段最小二

46、乘法估計。因為各隨機誤差分量的方差一般是未知的，第一階段用普通最小二乘估計法對混合數據進行估計（采用固定效應模型）。用估計的殘差計算隨機誤差分量的方差。第二步用這些估計的方差計算參數的廣義最小二乘估計值。如果隨機誤差分量服從的是正態分布，模型的參數還可以用極大似然法估計。仍以例1為例給出隨機效應模型估計結果如下：圖15注意：隨機效應模型EViwes輸出結果中含有公共截距項。圖16 以例1為例，用個體隨機效應模型和混合模型計算的統計量的值是LM =8.75´(24.4)2 = 5209F0.05 (1) = 3.84因為F= 5209 > F0.05 (1) = 3.84，所以拒

47、絕原假設，結論是應該建立個體隨機效應模型。假定截面截距和時間截距都是隨機的。分別服從均值為au和av，方差為su2和sv2的正態分布。隨機誤差項將由3部分組成，并有方差。Var(eit) = Var(ui) + Var(vt) + Var(wit) =su2 +sv2+sw2當su2和sv 2都等于零，隨機效應模型退化為固定效應模型。隨機效應模型和固定效應模型哪一個更好些？實際是各有優缺點。隨機效應模型的好處是節省自由度。對于從時間序列和截面兩方面上看都存在較大變化的數據，隨機效應模型能明確地描述出誤差來源的特征。固定效應模型的好處是很容易分析任意截面數據所對應的因變量與全部截面數據對應的因變

48、量均值的差異程度。此外，固定效應模型不要求誤差項中的個體效應分量與模型中的解釋變量不相關。當然，這一假定不成立時，可能會引起模型參數估計的不一致性。（5）回歸系數不同的面板數據模型當認為對于不同個體，解釋變量的回歸系數存在顯著性差異時，還可以建立回歸系數不同的面板數據模型。EViwes估計方法：在Pooled Estimation（混合估計）窗口中的Dependent Variable（相依變量）選擇窗填入CP?；在Common coefficients（系數相同）選擇窗保持空白（如果需要估計時刻固定效應也可輸入虛擬變量D1997, D1998, D1999, D2000, D2001, D2

49、002）；在Cross section specific coefficients（截面系數不同）選擇窗填入IP?；在Intercept（截距項）選擇窗中選Fixed effects（也可以做其他選擇）；在Weighting（權數）選擇窗點擊No weighting（也可以做其他選擇）。點擊Pooled Estimation（混合估計）窗口中的OK鍵。圖17 = 安徽+ x1t = 161.62 + 0.76 x1t (9.1) = 北京+x2t = 36.22 + 0.81 x2t (31.0) = 浙江+x15t = 1328.26 + 0.63 x15t (21.1) R2 = 0.995, SSEr = 1409247用EViwes建立面板數據估計模型步驟。利用19962002年15個省級地區城鎮居民家庭年人均消費性支出和年人均收入數據（不變價格數據）介紹面板數據模型估計步驟。（1）建立混合數據庫（Pool）對象。首先建立工作文件。在打開工作文件窗口的基礎上，點擊EViwes主功能菜單上的Objects鍵，選New Object功能（如圖18），從而打開New Object（新對象）選擇窗。在Type of Object選擇區選擇Pool（合并數據庫），并在Name of Object選擇區為混合數據庫起名Pool01