1、2021-11-241第二章第二章 標(biāo)量衍射理論標(biāo)量衍射理論衍射衍射 的中心問題是衍射的的中心問題是衍射的光強(qiáng)分布光強(qiáng)分布。要精確解決這個(gè)問題，必須把光波場考慮成矢量場。要精確解決這個(gè)問題，必須把光波場考慮成矢量場。由于用矢量波的方法求解衍射問題，其數(shù)學(xué)運(yùn)算相當(dāng)復(fù)雜，由于用矢量波的方法求解衍射問題，其數(shù)學(xué)運(yùn)算相當(dāng)復(fù)雜，至今用這種方法能嚴(yán)格求解的例子不多。至今用這種方法能嚴(yán)格求解的例子不多。 光在傳播過程中光在傳播過程中, ,除反射、折射外，偏離直線傳播的現(xiàn)象，除反射、折射外，偏離直線傳播的現(xiàn)象，稱為光的稱為光的衍射衍射。從光廣義上說，。從光廣義上說，偏離幾何光學(xué)直線傳播規(guī)律偏離幾何光學(xué)直線傳播

2、規(guī)律的現(xiàn)象統(tǒng)稱為衍射的現(xiàn)象統(tǒng)稱為衍射，它是光的波動(dòng)性的主要標(biāo)志之一。，它是光的波動(dòng)性的主要標(biāo)志之一。實(shí)踐證明：用這種近似的處理方法在我們所涉及的光學(xué)系統(tǒng)實(shí)踐證明：用這種近似的處理方法在我們所涉及的光學(xué)系統(tǒng)中：中：當(dāng)衍射當(dāng)衍射 孔徑比照明波長大得多；孔徑比照明波長大得多；而且觀察點(diǎn)離衍射孔徑不太近時(shí)；而且觀察點(diǎn)離衍射孔徑不太近時(shí)；所得結(jié)果是很精確的所得結(jié)果是很精確的。 標(biāo)量衍射理論標(biāo)量衍射理論是把光波場當(dāng)作標(biāo)量場來處理是把光波場當(dāng)作標(biāo)量場來處理只考慮只考慮電場的一個(gè)橫向分量的標(biāo)量振幅電場的一個(gè)橫向分量的標(biāo)量振幅假定假定任何別的分量都可以用同樣的方法任何別的分量都可以用同樣的方法獨(dú)立獨(dú)立處理處理忽

3、略忽略電矢量和磁矢量各個(gè)分量按麥克斯韋方程組的耦合關(guān)系電矢量和磁矢量各個(gè)分量按麥克斯韋方程組的耦合關(guān)系2.3 2.3 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論2.3.1 2.3.1 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理是在菲涅耳原理是在的假設(shè)與的假設(shè)與原原理的基礎(chǔ)上提出的，理的基礎(chǔ)上提出的，它是描述光傳播過程的基本原理它是描述光傳播過程的基本原理。 該原理指出：光場中任一給定的該原理指出：光場中任一給定的隔開隔開波源與場點(diǎn)的曲面上波源與場點(diǎn)的曲面上的的各面元各面元可以看做是可以看做是子波源子波源，如果這些子波是相干的，則在波，如果這些子波是相干的，則在波傳播的空間上的任一點(diǎn)處的

4、光振動(dòng)，都可以看做是這些子波源傳播的空間上的任一點(diǎn)處的光振動(dòng)，都可以看做是這些子波源各自發(fā)出的子波在該點(diǎn)相干疊加的結(jié)果。各自發(fā)出的子波在該點(diǎn)相干疊加的結(jié)果。dsdsP P Q P P0 0rn2021-11-244其復(fù)振幅的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其復(fù)振幅的數(shù)學(xué)表達(dá)式為0()()( )jkreU QCUP KdSrdsdsP P Q P P0 0rn)(0PU波面上任一點(diǎn)的復(fù)振幅波面上任一點(diǎn)的復(fù)振幅 隔開波源與場點(diǎn)的曲面隔開波源與場點(diǎn)的曲面)( K 傾斜因子傾斜因子rejkr子波源發(fā)出的球面波子波源發(fā)出的球面波C比例系數(shù)比例系數(shù)由電磁場理論可知，單色場中任一點(diǎn)由電磁場理論可知，單色場中任一點(diǎn)Q的光振動(dòng)應(yīng)滿

5、足標(biāo)量波的光振動(dòng)應(yīng)滿足標(biāo)量波動(dòng)方程動(dòng)方程222210uuct001c 22kcc0)()(22 QUkQU上式方程是一個(gè)二階線性偏微分方程，稱為上式方程是一個(gè)二階線性偏微分方程，稱為亥姆霍茲亥姆霍茲(Helmhotz) (Helmhotz) 方程，是方程，是無源場中單色擾動(dòng)無源場中單色擾動(dòng)復(fù)振幅應(yīng)滿足的方程。復(fù)振幅應(yīng)滿足的方程。2222222xyz其中；拉普拉斯算子：其中；拉普拉斯算子：其中，波數(shù)其中，波數(shù)(, )() e x p (2)u QtUQjt 得到不含時(shí)得到不含時(shí)間的方程間的方程2021-11-246平面衍射屏基爾霍夫衍射公式平面衍射屏基爾霍夫衍射公式如圖，在無限大不透明屏如圖，在

6、無限大不透明屏D D上有一任意形狀開孔上有一任意形狀開孔 單色平面光波單色平面光波P P0 0從左面投射到從左面投射到D D上和上和開孔上，試計(jì)算衍射屏后面任一點(diǎn)開孔上，試計(jì)算衍射屏后面任一點(diǎn)QQ的光場的復(fù)振幅。的光場的復(fù)振幅。假設(shè)條件：假設(shè)條件：在孔的線度比波長大得多在孔的線度比波長大得多且觀察點(diǎn)離孔徑較遠(yuǎn)且觀察點(diǎn)離孔徑較遠(yuǎn)00001cos(,)cos(,)2jkrjkra en rn reUQdSjrr nQr0r0PP 001cos(,)cos(,)()2jkrn rn reUQUPdSjr 該式與惠更斯該式與惠更斯- -菲涅爾原理的表達(dá)式形式一致。菲涅爾原理的表達(dá)式形式一致。00001

7、cos(,)cos(,)2jkrjkra en rn reUQdSjrr 孔徑平面上的復(fù)振幅分布是球面波產(chǎn)生的，因此可用，孔徑平面上的復(fù)振幅分布是球面波產(chǎn)生的，因此可用，0000jkra eUPr表示，上式可寫為：表示，上式可寫為：0()()( )jkreU QCUP KdSr0()()()jkreUQCUP KdSr采用書上的符號，采用書上的符號，基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式和惠更斯和惠更斯- -菲涅耳原理的菲涅耳原理的數(shù)學(xué)式可重寫于下數(shù)學(xué)式可重寫于下比較兩式可得常數(shù)和傾斜因子分別為比較兩式可得常數(shù)和傾斜因子分別為 jC1 由于屏外的光場由于屏外的光場U U0 0（P P）為零，所以積分

8、限可以擴(kuò)展到無窮，）為零，所以積分限可以擴(kuò)展到無窮，從而有從而有SrekPCUQUjkrd)()()(0 0cos( , )cos( , )2n rn rK 001cos(,)cos(,)()2jkrn rn reUQUPdSjr 2021-11-24102.3.2 2.3.2 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理與疊加積分菲涅耳原理與疊加積分01()()()djkreUQUP KSjr 1(,)( )jkreh P QKjr設(shè)設(shè)SQPhPUd),()(0 )(QdUdSQPhPUQdU),()()(0 上式表示屏上上式表示屏上P P點(diǎn)處的小面元對觀察點(diǎn)點(diǎn)處的小面元對觀察點(diǎn)QQ的貢獻(xiàn)。的貢獻(xiàn)。1)(0 d

9、SPU單位振幅（脈沖）單位振幅（脈沖）則則),()(QPhQdU P P點(diǎn)處的點(diǎn)處的在在QQ點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅分布點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅分布),(QPh單位脈沖響應(yīng)或單位脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)令令由上式疊加積分可得，觀察點(diǎn)由上式疊加積分可得，觀察點(diǎn)Q的復(fù)振幅是的復(fù)振幅是 上所有面元的光上所有面元的光振動(dòng)振動(dòng)在在QQ點(diǎn)引起的復(fù)振幅的相干疊加。點(diǎn)引起的復(fù)振幅的相干疊加。注：如果把衍射過程看作是一種變換，則上式便是將函數(shù)注：如果把衍射過程看作是一種變換，則上式便是將函數(shù)U U0 0（P P）變換成）變換成U U（QQ）的變換式。按系統(tǒng)的觀點(diǎn)，）的變換式。按系統(tǒng)的觀點(diǎn)，衍射過程衍射過程或或傳播過程也可以看

10、做為一種線性系統(tǒng)的傳播過程也可以看做為一種線性系統(tǒng)的線性變換線性變換。h(P,Q)h(P,Q)代代表了這個(gè)系統(tǒng)的全部特性。表了這個(gè)系統(tǒng)的全部特性。SQPhPUQUd),()()(0 2021-11-24132.3.3 2.3.3 相干光場在自由空間傳播的平移不變性相干光場在自由空間傳播的平移不變性當(dāng)點(diǎn)光源當(dāng)點(diǎn)光源P P0 0足夠遠(yuǎn)，而且入射光在孔徑平面上各點(diǎn)的入射角足夠遠(yuǎn)，而且入射光在孔徑平面上各點(diǎn)的入射角都不太大時(shí)，有都不太大時(shí)，有0cos( , )1n r 此外，如果觀察平面在與孔徑平面的距離此外，如果觀察平面在與孔徑平面的距離Z Z遠(yuǎn)大于孔徑，而遠(yuǎn)大于孔徑，而且觀察面上只考慮一個(gè)對孔上各

11、點(diǎn)張角不大的范圍，即在且觀察面上只考慮一個(gè)對孔上各點(diǎn)張角不大的范圍，即在傍軸條件下，又有傍軸條件下，又有1 ),cos(rn在這些條件下在這些條件下，傾斜因子：，傾斜因子： nQr0r0PP 0cos( , )cos( , )12n rn rK 旁軸條件旁軸條件0 x0y0 xy0QzzPr22200001(,;,)exp()()h xyxyjkzxxyyjz 00(,)h xxyy脈沖響應(yīng)具有空不變形式脈沖響應(yīng)具有空不變形式此時(shí)此時(shí)11(,)( )jkrjkreeh P QKjrjz入射角不太大時(shí)，分母上入射角不太大時(shí)，分母上r r可近似用可近似用z z替代；替代；而指數(shù)上的而指數(shù)上的r r

12、則不能用則不能用z z替代，原因：光波波長很短，替代，原因：光波波長很短，k k值很大；值很大；r r的不大誤差可引起相位差遠(yuǎn)大于的不大誤差可引起相位差遠(yuǎn)大于2 2 的結(jié)果的結(jié)果即無論孔徑平面上子波源的位置如何，所產(chǎn)生的球面子波即無論孔徑平面上子波源的位置如何，所產(chǎn)生的球面子波的形式都是一樣的。上式疊加式可以寫為的形式都是一樣的。上式疊加式可以寫為0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU 上式表明孔徑平面上透射光場上式表明孔徑平面上透射光場U U（x x0 0,y,y0 0) )和觀察平面上的和觀察平面上的光場光場U(x,y)U(x,y)之間存在著一個(gè)卷積積分所描述的關(guān)系

13、。之間存在著一個(gè)卷積積分所描述的關(guān)系。光波在衍射孔徑后的傳播現(xiàn)象看成是光波在衍射孔徑后的傳播現(xiàn)象看成是線性不變系統(tǒng)線性不變系統(tǒng)。系統(tǒng)。系統(tǒng)在空間域的特性唯一地由其空間不變的單位脈沖響應(yīng)在空間域的特性唯一地由其空間不變的單位脈沖響應(yīng)h h所所確定。這一響應(yīng)就是位于孔徑平面的確定。這一響應(yīng)就是位于孔徑平面的子波源所發(fā)出的球面子波源所發(fā)出的球面子波在觀察平面產(chǎn)生的復(fù)振幅分布子波在觀察平面產(chǎn)生的復(fù)振幅分布。00000),(dydxyxU可看作不同位置的子波源所賦予球面子可看作不同位置的子波源所賦予球面子波的權(quán)波的權(quán)重因子。所有球面子波的相干疊加，就可以得到觀重因子。所有球面子波的相干疊加，就可以得到觀

14、察平面的光場分布。察平面的光場分布。2.4 2.4 衍射的角譜理論衍射的角譜理論1 1、角譜的傳播、角譜的傳播由前面的討論，我們知道，孔徑平面和觀察平面上的光場都可由前面的討論，我們知道，孔徑平面和觀察平面上的光場都可以看成許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合。每一以看成許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合。每一平面波分量的振幅和相位取決于相應(yīng)的角譜平面波分量的振幅和相位取決于相應(yīng)的角譜)cos,cos(0 A和和)cos,cos( A dd)(2exp),(),(yxjAzyxU )cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos()0 ,(000000 yxjAy

15、xU)cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos(),( yxjAzyxU P28如果我們知道了如果我們知道了)cos,cos(0 A和和)cos,cos( A之間的關(guān)系，就知道了每一平面波分量在傳播過程中之間的關(guān)系，就知道了每一平面波分量在傳播過程中振幅和相振幅和相位位發(fā)生的變化，自然就可以確定整個(gè)光場由孔徑平面?zhèn)鞑サ接^發(fā)生的變化，自然就可以確定整個(gè)光場由孔徑平面?zhèn)鞑サ接^察平面所發(fā)生的變化。察平面所發(fā)生的變化。討論角譜傳播規(guī)律的基礎(chǔ)仍舊是標(biāo)量波動(dòng)方程。對于單色光場，討論角譜傳播規(guī)律的基礎(chǔ)仍舊是標(biāo)量波動(dòng)方程。對于單色光場，著眼點(diǎn)是復(fù)振幅這一物理量。它滿足亥姆霍茲方程著眼點(diǎn)是

16、復(fù)振幅這一物理量。它滿足亥姆霍茲方程0),(),(22 yxUkyxU0)coscos1()cos,cos()cos,cos(22222 kAAdzd對每一平面波分量，也應(yīng)滿足上式方程，注意對每一平面波分量，也應(yīng)滿足上式方程，注意A A僅是僅是z z的函數(shù)的函數(shù)0)coscos(2exp)cos,cos()(22 yxjAk 解這個(gè)微分方程得解這個(gè)微分方程得 22222222222222222coscoscoscos(,) exp2()coscos2exp2expexpcosexpcosexpexp IIAjxyxyzAjAjdAdzAkAkdAdzk 式式 exp=0 expA ，等 式 兩

17、 邊 消 去得 ：)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(22 jkzCAz=0z=00coscoscoscos(,)(,)coscos=(,)ACA，為孔徑平面處)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA上式就是上式就是，知道了，知道了z=0z=0平面上的角譜就可以平面上的角譜就可以求出觀察平面上的角譜，然后通過傅里葉逆變換就能求出觀求出觀察平面上的角譜，然后通過傅里葉逆變換就能求出觀察平面上的復(fù)振幅分布。上式具有和基爾霍夫衍射公式等同察平面上的復(fù)振幅分布。上式具有和基爾霍夫衍射公式等同的價(jià)值。的價(jià)值。2021-11-2419)cosc

18、os1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA討論：（討論：（1 1）當(dāng)方向余弦滿足下面關(guān)系式時(shí)）當(dāng)方向余弦滿足下面關(guān)系式時(shí)1coscos22 各平面波傳播一定距離各平面波傳播一定距離z z僅是引入一定的相移，而振幅不變。由僅是引入一定的相移，而振幅不變。由于不同方向上傳播的平面波分量在到達(dá)觀察平面時(shí)走過的距離于不同方向上傳播的平面波分量在到達(dá)觀察平面時(shí)走過的距離各不相同，因而產(chǎn)生的相移與傳播方向有關(guān)。各不相同，因而產(chǎn)生的相移與傳播方向有關(guān)。1coscos22 （2 2）)exp()cos,cos()cos,cos(0 zAA 1coscos22 （2 2）)exp()c

19、os,cos()cos,cos(0 zAA 01coscos22 k所以對一切滿足所以對一切滿足1coscos22 的波動(dòng)分量，將隨著的波動(dòng)分量，將隨著z z的增的增加而按指數(shù)加而按指數(shù))exp( z 衰減。在幾個(gè)波長距離內(nèi)幾乎衰減為零衰減。在幾個(gè)波長距離內(nèi)幾乎衰減為零對應(yīng)于這些傳播方向波動(dòng)分量稱為對應(yīng)于這些傳播方向波動(dòng)分量稱為倏逝波倏逝波。在通常情況下不計(jì)。在通常情況下不計(jì)。1coscos22 （3 3）0cos 90 該波動(dòng)分量的傳播方向垂直于該波動(dòng)分量的傳播方向垂直于z z軸，因此，沿軸，因此，沿z z方向?qū)嶋H上沒有方向?qū)嶋H上沒有能量傳播。能量傳播。012300.10.20.30.40.

20、50.60.70.80.91cos2+cos2=1.5z, units: exp(-z)024681000.10.20.30.40.50.60.70.80.91cos2+cos2=1.01012300.10.20.30.40.50.60.70.80.91cos2+cos2=2)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA（4 4）系統(tǒng)的）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)),(),(),(0 HAA )coscos1exp(),(),(),(220 jkzAAH22exp1 ()()jkz當(dāng)觀察平面與孔徑平面之間的距離大于幾個(gè)波長時(shí)，倏逝波就當(dāng)觀察平面與孔徑平面之間的距離大

21、于幾個(gè)波長時(shí)，倏逝波就衰減到極小，可以忽略，所以傳遞函數(shù)就可以表示為衰減到極小，可以忽略，所以傳遞函數(shù)就可以表示為 ),( H02221 其它其它22exp1 ()()jkz1coscos22 ),( H1 1 1 ),( H02221 其它其它公式表明，可以把光波的傳播看作是一個(gè)低通濾波器。它具公式表明，可以把光波的傳播看作是一個(gè)低通濾波器。它具有有限空間帶寬，在頻率平面上半徑為有有限空間帶寬，在頻率平面上半徑為 /1的圓形區(qū)域內(nèi)，的圓形區(qū)域內(nèi)，的模為的模為1 1，對各頻率分量的振幅沒有影響。但引入了，對各頻率分量的振幅沒有影響。但引入了與頻率有關(guān)的相移。在這一圓形區(qū)域之外，傳遞函數(shù)為零。與

22、頻率有關(guān)的相移。在這一圓形區(qū)域之外，傳遞函數(shù)為零。這一結(jié)論告訴我們，對于孔徑中這一結(jié)論告訴我們，對于孔徑中比波長還小的精細(xì)結(jié)構(gòu)比波長還小的精細(xì)結(jié)構(gòu)，或，或者說空間頻率大于者說空間頻率大于 /1的信息，在單色光波照明下不能沿的信息，在單色光波照明下不能沿z z方向傳遞。方向傳遞。22exp1 ()()jkz2021-11-2423以上就是衍射的角譜理論。以上就是衍射的角譜理論。 ),( H02221 其它其它22exp1 ()()jkz 如果如果球面波理論球面波理論平面波理論平面波理論 它描述孔徑平面不同方向傳播的平面波分量在傳播距它描述孔徑平面不同方向傳播的平面波分量在傳播距離離Z Z后后，各

23、自引入與各自引入與頻率有關(guān)的相移頻率有關(guān)的相移。 然后再線性疊加，可得觀察平面上的場分布然后再線性疊加，可得觀察平面上的場分布。 基爾霍夫衍射理論與角譜理論完全是統(tǒng)一的。它們都證明基爾霍夫衍射理論與角譜理論完全是統(tǒng)一的。它們都證明了光的傳播現(xiàn)象可看作線性不變系統(tǒng)。了光的傳播現(xiàn)象可看作線性不變系統(tǒng)。 基爾霍夫理論是在空域討論光的傳播，是把孔徑平面光場基爾霍夫理論是在空域討論光的傳播，是把孔徑平面光場看作是看作是點(diǎn)源的集合點(diǎn)源的集合，觀察平面上的場分布則等于它們所發(fā)出的，觀察平面上的場分布則等于它們所發(fā)出的帶有不同帶有不同權(quán)重因子權(quán)重因子的球面子波的相干迭加。球面子波在觀察平的球面子波的相干迭加。

24、球面子波在觀察平面上的復(fù)振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。面上的復(fù)振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。 角譜理論是在頻率域討論光的傳播，是把孔徑平面場分布角譜理論是在頻率域討論光的傳播，是把孔徑平面場分布看作許多不同方向傳播的平面波分量的的線性組合。觀察平面看作許多不同方向傳播的平面波分量的的線性組合。觀察平面上的場分布仍舊是這些平面波分量的相干迭加，但每個(gè)平面波上的場分布仍舊是這些平面波分量的相干迭加，但每個(gè)平面波分量引入分量引入相移相移。相移的大小決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)。相移的大小決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)的的脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換。的傅里葉變換。2021-11-24252.4.32.

25、4.3孔徑對角譜的影響孔徑對角譜的影響前面提到的孔徑平面的光場分布前面提到的孔徑平面的光場分布U U（x x0 0,y,y0 0) )實(shí)際上是指緊靠孔實(shí)際上是指緊靠孔徑平面后方的透射光場的分布。徑平面后方的透射光場的分布。因此，我們前面實(shí)際上只討論了光波在因此，我們前面實(shí)際上只討論了光波在自由空間自由空間傳播時(shí)光場傳播時(shí)光場及其角譜發(fā)生的變化。及其角譜發(fā)生的變化。現(xiàn)在我們要討論的是現(xiàn)在我們要討論的是照明孔徑照明孔徑的入射光場與透射光場之間的的入射光場與透射光場之間的關(guān)系，特別是角譜之間的關(guān)系。關(guān)系，特別是角譜之間的關(guān)系。如圖如圖 ),(00yxt),(),(00000yxUyxUi復(fù)振幅透過復(fù)

26、振幅透過率率 ),(00yxUi),(000yxU),(00yxt)cos,cos( iA)cos,cos(0 A)cos,cos( T),(00yxt),(),(),(0000000yxUyxtyxUi 利用傅里葉變換利用傅里葉變換卷積定理卷積定理可得角可得角譜之間的關(guān)系如下：譜之間的關(guān)系如下： )cos,cos(0 A)cos,cos()cos,cos( TAi )cos,cos( T是孔徑透過率的是孔徑透過率的傅里葉變換傅里葉變換為了理解衍射孔徑對于入射光場角譜的效為了理解衍射孔徑對于入射光場角譜的效應(yīng)，我們以矩形孔徑為例說明。應(yīng)，我們以矩形孔徑為例說明。)()(),(0000byrec

27、taxrectyxt ),(00yxt ),(00yxUi),(000yxU)cos,cos( iA)cos,cos(0 A)cos,cos( T),(00yxt采用采用孔孔徑，入射場為徑，入射場為1),(00 yxUi其角譜為其角譜為)cos,cos()cos,cos( iA由于由于 函數(shù)只有當(dāng)函數(shù)只有當(dāng)0cos 0cos 時(shí)才不為零，所以照明光波的角譜只有一時(shí)才不為零，所以照明光波的角譜只有一個(gè)，它代表沿衍射屏法向傳播的平面波。個(gè)，它代表沿衍射屏法向傳播的平面波。當(dāng)此光波通過此孔徑后，衍射光場的角譜為當(dāng)此光波通過此孔徑后，衍射光場的角譜為)cos,cos()cos,cos()cos,cos

28、()cos,cos(0TTA)cos(sin)cos(sin)cos,cos()cos,cos(0bcacabTA顯然顯然)cos,cos(0 A較之入射光場角譜包含的角譜分量大大增加了。較之入射光場角譜包含的角譜分量大大增加了。因此，從空間域來看，孔徑的作用是因此，從空間域來看，孔徑的作用是限制限制了入射波面的大小范了入射波面的大小范圍，而從頻域來看，則是圍，而從頻域來看，則是展寬展寬了入射光場的角譜。而且孔徑越了入射光場的角譜。而且孔徑越小，透射光場的角譜就愈寬，或者說包含的高頻成分就愈多。小，透射光場的角譜就愈寬，或者說包含的高頻成分就愈多。 -50500.511.522.532.5 2

29、.5 菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射0 x0y0 xy0QzzPr基爾霍夫衍射公式是一般的，直接用它來計(jì)算比較困難，具基爾霍夫衍射公式是一般的，直接用它來計(jì)算比較困難，具有實(shí)用意義的是對這個(gè)普遍理論作某些近似，用近似公式計(jì)有實(shí)用意義的是對這個(gè)普遍理論作某些近似，用近似公式計(jì)算一定范圍內(nèi)的衍射場分布，按照近似程度不同，分為菲涅算一定范圍內(nèi)的衍射場分布，按照近似程度不同，分為菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射。耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射。0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU zejyyxxhjkr 1),(00 由前面知道由前面知道22020)()(zyyxxr 220

30、220)(21)(211zyyzxxz當(dāng)當(dāng)z z大于某一值時(shí)大于某一值時(shí)0 x0y0 xy0QzzPr一、菲涅耳衍射公式一、菲涅耳衍射公式0UU旁軸條件旁軸條件 202000)()(2exp)exp(1),(yyxxzkjjkzjzyyxxh 由上式可知，菲涅耳近似的實(shí)質(zhì)是用由上式可知，菲涅耳近似的實(shí)質(zhì)是用二次曲面二次曲面來代替球面的惠更來代替球面的惠更斯子波斯子波。上式代入基爾霍夫衍射公式就得菲涅耳衍射公式。上式代入基爾霍夫衍射公式就得菲涅耳衍射公式。 002020000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU 上面是從空域?qū)ι厦媸菑目沼驅(qū) h作

31、出近似，導(dǎo)出了菲涅耳衍射公式，這是傳作出近似，導(dǎo)出了菲涅耳衍射公式，這是傳統(tǒng)的物理光學(xué)教材中采用的方法。下面我們從衍射的角譜理論統(tǒng)的物理光學(xué)教材中采用的方法。下面我們從衍射的角譜理論出發(fā)，出發(fā)，即從頻域考慮即從頻域考慮，對描述光波傳播的傳遞函數(shù)作出近似，對描述光波傳播的傳遞函數(shù)作出近似，來導(dǎo)出菲涅耳衍射公式，并給出菲涅耳衍射公式成立的條件。來導(dǎo)出菲涅耳衍射公式，并給出菲涅耳衍射公式成立的條件。2021-11-2432上面是從空域?qū)ι厦媸菑目沼驅(qū) h作出近似，導(dǎo)出了菲涅耳衍射公式，這是傳作出近似，導(dǎo)出了菲涅耳衍射公式，這是傳統(tǒng)的物理光學(xué)教材中采用的方法。下面我們從衍射的角譜理論統(tǒng)的物理光學(xué)教材

32、中采用的方法。下面我們從衍射的角譜理論出發(fā)，出發(fā)，即從頻域考慮即從頻域考慮，對描述光波傳播的傳遞函數(shù)作出近似，對描述光波傳播的傳遞函數(shù)作出近似，來導(dǎo)出菲涅耳衍射公式，并給出菲涅耳衍射公式成立的條件。來導(dǎo)出菲涅耳衍射公式，并給出菲涅耳衍射公式成立的條件。)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA)coscos1exp()cos,cos(22 jkzH當(dāng)當(dāng)1coscos22 對相位因子中的根式作二項(xiàng)式展開對相位因子中的根式作二項(xiàng)式展開)cos(cos122 22222)cos(cos81)cos(cos211 假定展開式中第三項(xiàng)所貢獻(xiàn)的相位變化遠(yuǎn)小于假定展開式中

33、第三項(xiàng)所貢獻(xiàn)的相位變化遠(yuǎn)小于2 2 ，則上式中二，則上式中二次方以上的項(xiàng)都可以忽略，即次方以上的項(xiàng)都可以忽略，即z z應(yīng)滿足下式應(yīng)滿足下式2)cos(cos8max222kzkzjyyixxr )()(000 x0y0 xy0QzzPr )(cos0 xxrir zxxrxx)()(cos00 zyyryy)()(cos00 代入上式代入上式 22222)cos(cos81)cos(cos211 )cos(cos122 滿足上述條件時(shí)，觀察平面所在的區(qū)域稱為滿足上述條件時(shí)，觀察平面所在的區(qū)域稱為菲涅耳衍射區(qū)菲涅耳衍射區(qū)，這是這是一個(gè)充分條件。一個(gè)充分條件。在菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)在菲涅耳衍射區(qū)內(nèi))co

34、s(cos122 )cos(cos21122 )cos(cos2exp)exp()cos,cos(22 zkjjkzH因?yàn)橐驗(yàn)?cos cos傳遞函數(shù)也可以表示為傳遞函數(shù)也可以表示為22( , )exp()exp()Hjkzjz 28)()(232max2020zyyxx2max20203)()(81yyxxz22( , )exp()exp()Hjkzjz 上式第一項(xiàng)相位因子表示各角譜分量在距離為上式第一項(xiàng)相位因子表示各角譜分量在距離為z z的兩個(gè)平面之間的兩個(gè)平面之間傳播時(shí)都要受到的一個(gè)均勻的相位延遲。第二項(xiàng)相位因子表示傳播時(shí)都要受到的一個(gè)均勻的相位延遲。第二項(xiàng)相位因子表示各角譜分量將產(chǎn)生與

35、頻率有關(guān)的相移。各角譜分量將產(chǎn)生與頻率有關(guān)的相移。 ddyyxxjzjjkzyyxxh )()(exp)(exp)(exp),(0022002 2020)()(2exp)exp(1yyxxzkjjkzjz 這一式子正好是基爾霍夫衍射公式經(jīng)過近似得到的這一式子正好是基爾霍夫衍射公式經(jīng)過近似得到的上面的討論可知，兩種方法，一個(gè)是在空域，一個(gè)是在頻域，上面的討論可知，兩種方法，一個(gè)是在空域，一個(gè)是在頻域，但最終的結(jié)果是一致的。下面對菲涅耳衍射公式作進(jìn)一步的討但最終的結(jié)果是一致的。下面對菲涅耳衍射公式作進(jìn)一步的討論。論。 0020200000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzk

36、jyxUjkzjzyxU 上式實(shí)際上是孔徑平面上的光場復(fù)振幅分布與球面子波的卷積上式實(shí)際上是孔徑平面上的光場復(fù)振幅分布與球面子波的卷積, ,展開指數(shù)中的二次項(xiàng)，則有展開指數(shù)中的二次項(xiàng)，則有 )(2exp)(exp1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxzjyxzkjyxU zyzxyxj ,00)(2exp2021-11-2437 )(2exp)(exp1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxzjyxzkjyxU )(2exp)exp(122yxzkjjkzj

37、z 2200000,( ,) exp()2xyzkF U x yjxyz zyzxyxj ,00)(2exp上式我們可以看作是上式我們可以看作是傅里葉變換傅里葉變換形式的菲涅耳衍射公式形式的菲涅耳衍射公式它表明菲涅耳衍射區(qū)觀察平面上的場分布，除了與（它表明菲涅耳衍射區(qū)觀察平面上的場分布，除了與（x x0 0,y,y0 0) )無關(guān)無關(guān)的振幅和相位因子以外，恰好是函數(shù)的振幅和相位因子以外，恰好是函數(shù) )(2exp),(0202000yxzkjyxU的傅里葉變換的傅里葉變換其頻率是其頻率是,xyzz2021-11-24392.5.2 2.5.2 菲涅耳衍射例子菲涅耳衍射例子泰伯效應(yīng)泰伯效應(yīng)1836

38、1836年，泰伯（年，泰伯（Talbot)Talbot)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：用單色平面發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：用單色平面波垂直照射一周期性物體（比如，透射光柵）時(shí)，在物體后波垂直照射一周期性物體（比如，透射光柵）時(shí)，在物體后面周期性距離上出現(xiàn)物體的像。這種自成像效應(yīng)就稱為面周期性距離上出現(xiàn)物體的像。這種自成像效應(yīng)就稱為泰伯泰伯效應(yīng)效應(yīng)。它不是一種透鏡成像，而是。它不是一種透鏡成像，而是衍射成像衍射成像。目前在光學(xué)和。目前在光學(xué)和電子顯微鏡等方面得到了廣泛的應(yīng)用。電子顯微鏡等方面得到了廣泛的應(yīng)用。z光柵光柵平面波平面波TzTz2Tz3z光柵光柵平面波平面波TzTz2Tz3一維的周期性物體，其復(fù)振

39、幅透過率為一維的周期性物體，其復(fù)振幅透過率為 nnnxdnjcxg002exp)(0 2, 1, 0 n式中式中d d為周期。當(dāng)采用為周期。當(dāng)采用單位振幅單位振幅的平面波垂直照明，緊靠物體的平面波垂直照明，緊靠物體后的光場分布，即為后的光場分布，即為)(00 xg，它可以看作頻率取離散值，它可以看作頻率取離散值)0 ,/(dn的無窮多個(gè)平面波的疊加，的無窮多個(gè)平面波的疊加，c cn n表示各個(gè)平面波分量的相對振幅和表示各個(gè)平面波分量的相對振幅和相位分布。相位分布。 現(xiàn)討論與物體平面相距現(xiàn)討論與物體平面相距z z的觀察平面上的光場分布，這是一的觀察平面上的光場分布，這是一個(gè)菲涅耳衍射問題。對這個(gè)

40、問題從頻域研究比較方便。將上式個(gè)菲涅耳衍射問題。對這個(gè)問題從頻域研究比較方便。將上式作傅里葉變換便得物分布的空間頻譜為作傅里葉變換便得物分布的空間頻譜為 nnndncG)()(0 由菲涅耳衍射傳遞函數(shù)的表達(dá)式得由菲涅耳衍射傳遞函數(shù)的表達(dá)式得)exp()exp()(2 zjjkzH 觀察平面上得到的場分布的頻譜為觀察平面上得到的場分布的頻譜為 nnndncG)()( )exp()exp(2 zjjkz nnndnc)( )exp()exp(22dnzjjkz 當(dāng)當(dāng)z z滿足條件滿足條件mdz 212 3,2, 1 m 22mdz 1)exp(22 dnzj )0 ,/(dn不同頻率不同頻率成分的

41、平面波在觀察平面上引入的相移除了一成分的平面波在觀察平面上引入的相移除了一常數(shù)因子外，都是常數(shù)因子外，都是2 2 的整數(shù)倍。在這一特殊情況下，的整數(shù)倍。在這一特殊情況下， nnndncG)()( )exp()exp(2 zjjkz nnndnc)( )exp( jkz對上式作傅里葉逆變換，就可得到觀察平面上的場分布為對上式作傅里葉逆變換，就可得到觀察平面上的場分布為)exp(2exp)(jkzxdnjcxgnnn )exp()(0jkzxg 20)()(xgxI 因此，在因此，在 22dzT 的整數(shù)倍距離上，可觀察到物體的像的整數(shù)倍距離上，可觀察到物體的像 22dzT 泰伯距離泰伯距離 考點(diǎn)！

42、考點(diǎn)！數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)：mmd1 . 0 mm4105 mmzT40 此時(shí)，可在此時(shí)，可在 z=40mm 80mm 120mm ,z=40mm 80mm 120mm ,等位置可觀察到自成像等位置可觀察到自成像. .如果在光柵所產(chǎn)生的泰伯自成像后面放一塊周期相同的檢測光如果在光柵所產(chǎn)生的泰伯自成像后面放一塊周期相同的檢測光柵，可以觀察到清晰的莫爾條紋。在兩個(gè)光柵之間若存在相位柵，可以觀察到清晰的莫爾條紋。在兩個(gè)光柵之間若存在相位物體，由莫爾條紋的變化可測量物體的相位的起伏。這是物體，由莫爾條紋的變化可測量物體的相位的起伏。這是泰伯泰伯效應(yīng)效應(yīng)的重要應(yīng)用之一。的重要應(yīng)用之一。2021-11-2444菲涅

43、耳衍射公式菲涅耳衍射公式 202000)()(2exp)exp(1),(yyxxzkjjkzjzyyxxh 二次曲面來代替球面的惠更斯子波二次曲面來代替球面的惠更斯子波 002020000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU )(2exp)exp(122yxzkjjkzjzyzxyxzkjyxUF,0202000)(2exp),(其頻率是其頻率是zyzx ,2021-11-2445菲涅耳衍射區(qū)菲涅耳衍射區(qū)1、展開第三項(xiàng)遠(yuǎn)小于、展開第三項(xiàng)遠(yuǎn)小于1rad2、展開第三項(xiàng)遠(yuǎn)小于、展開第三項(xiàng)遠(yuǎn)小于2 28)()(232max2020zyyxx2max202

44、03)()(81yyxxz18)()(232max2020zyyxx2max20203)()(82yyxxz2021-11-244605101520253035404550050100150200250300350(x,y),units:mm; =632.8nmz0=1/(8)*max(x-x0)2+(y-y0)22Fresnel Diffraction Estimation2021-11-24472.5.3 2.5.3 夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射一、夫瑯和費(fèi)衍射公式一、夫瑯和費(fèi)衍射公式 )(2exp)exp(1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp

45、),(dydxyyxxzjyxzkjyxU 當(dāng)觀察平面離開孔徑的距離當(dāng)觀察平面離開孔徑的距離z z進(jìn)一步增大，使其不僅滿足進(jìn)一步增大，使其不僅滿足菲涅菲涅耳衍射近似條件，而且滿足下面條件耳衍射近似條件，而且滿足下面條件2)(2max0202 yxzkmax0202)(21yxz 與菲涅爾衍射相同的條件下與菲涅爾衍射相同的條件下z1.4223e+04 mm這時(shí)，觀察平面所在的區(qū)域稱為這時(shí)，觀察平面所在的區(qū)域稱為夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)。在上面的在上面的近似近似下，下，1)(2exp0202 yxzkj菲涅耳衍射成為菲涅耳衍射成為夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射 )(2exp)exp(1),(22yx

46、zkjjkzjzyxU 0000000)(2exp),(dydxyyxxzjyxU )(2exp)exp(1),(22yxzkjjkzjzyxU 000,(,)xyzF Uxy上式表明，觀察平面上的場分布正比于孔徑平面上透射光場上式表明，觀察平面上的場分布正比于孔徑平面上透射光場分布的傅里葉變換。頻率取值與分布的傅里葉變換。頻率取值與觀察平面坐標(biāo)觀察平面坐標(biāo)的關(guān)系為的關(guān)系為zyzx ,2021-11-2450 )(2exp)exp(1),(22yxzkjjkzjzyxU yzxyxU ,000),(F F上式表明，觀察平面上的場分布正比于孔徑平面上透射光場上式表明，觀察平面上的場分布正比于孔徑

47、平面上透射光場分布的傅里葉變換。頻率取值與觀察平面坐標(biāo)的關(guān)系為分布的傅里葉變換。頻率取值與觀察平面坐標(biāo)的關(guān)系為zyzx ,考慮到積分號前的相位因子，這一變換關(guān)系還不是正確的，但考慮到積分號前的相位因子，這一變換關(guān)系還不是正確的，但它并不影響觀察平面上衍射圖樣的強(qiáng)度分布。它并不影響觀察平面上衍射圖樣的強(qiáng)度分布。 20002),(1),(yxUzyxI F F202),(1 zyzxAz ),(0zyzxA 是孔徑平面上是孔徑平面上透射光透射光場復(fù)振幅的頻譜。略去常系數(shù)場復(fù)振幅的頻譜。略去常系數(shù)衍射圖樣的強(qiáng)度分布直接等于孔徑透射光場分布的衍射圖樣的強(qiáng)度分布直接等于孔徑透射光場分布的功率譜功率譜。菲

48、涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射的區(qū)別菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射的區(qū)別 yzxyxzkjyxU ,0202000)(2exp),(F F ),(000yxUF F),(0zyzxA 隨著距離隨著距離z z的增大，觀察平面上光場的函數(shù)分布會(huì)發(fā)生變化。的增大，觀察平面上光場的函數(shù)分布會(huì)發(fā)生變化。考慮軸上觀察點(diǎn)，沿考慮軸上觀察點(diǎn)，沿z z方向是亮暗交替變化的。方向是亮暗交替變化的。夫瑯和費(fèi)衍射的圖樣不隨夫瑯和費(fèi)衍射的圖樣不隨z z變化變化 ，僅產(chǎn)生大小的變化。，僅產(chǎn)生大小的變化。 由于光波長的值很小，夫瑯和費(fèi)衍射所要求的條件實(shí)際上相當(dāng)苛刻由于光波長的值很小，夫瑯和費(fèi)衍射所要求的條件實(shí)際上相當(dāng)苛刻要在較近距離上觀

49、察到要在較近距離上觀察到夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，關(guān)鍵是要消除菲夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，關(guān)鍵是要消除菲涅耳衍射分式中的積分相位因子涅耳衍射分式中的積分相位因子 )(2exp2020yxzjk的影響。的影響。我們可以用向觀察平面會(huì)聚的球面波照明孔徑，我們也可以我們可以用向觀察平面會(huì)聚的球面波照明孔徑，我們也可以利用透鏡的會(huì)聚性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)這一要求。這將在下一節(jié)中作詳利用透鏡的會(huì)聚性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)這一要求。這將在下一節(jié)中作詳細(xì)的討論。細(xì)的討論。2021-11-24532.5.4 2.5.4 夫瑯和費(fèi)衍射應(yīng)用舉例夫瑯和費(fèi)衍射應(yīng)用舉例 由前面知道，觀察平面上的光場分布正比于孔徑平面上透由前面知道，觀察平面上的光場分布正比于孔

50、徑平面上透射光場分布射光場分布U U0 0（x x0 0,y,y0 0) )的傅里葉變換。的傅里葉變換。 而而U U0 0（x x0 0,y,y0 0) )又等于照明孔的入射光場分布與孔徑又等于照明孔的入射光場分布與孔徑復(fù)振幅復(fù)振幅透過率透過率的乘積。的乘積。 因此，實(shí)際影響衍射現(xiàn)象的因素必然包括兩個(gè)方面：因此，實(shí)際影響衍射現(xiàn)象的因素必然包括兩個(gè)方面：照明照明光波的性質(zhì)以及孔徑的特點(diǎn)。光波的性質(zhì)以及孔徑的特點(diǎn)。在分析夫瑯和費(fèi)衍射圖樣時(shí)，在分析夫瑯和費(fèi)衍射圖樣時(shí)，不應(yīng)忽略照明光源的性質(zhì)。不應(yīng)忽略照明光源的性質(zhì)。2021-11-2454 孔徑的概念可以推廣到一般透明或半透明的平面型物孔徑的概念可以

51、推廣到一般透明或半透明的平面型物體。其透過率函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)，光波通過物體時(shí)，其振體。其透過率函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)，光波通過物體時(shí)，其振幅和相位都有要受到物體調(diào)制，使幅和相位都有要受到物體調(diào)制，使透射光波攜帶物體信息透射光波攜帶物體信息向前傳播向前傳播。在特殊情況下，例如，物體是一幅僅有光密度。在特殊情況下，例如，物體是一幅僅有光密度變化變化 的透明片，它只改變?nèi)肷涔獠ǖ恼穹桓淖兤湎嗟耐该髌桓淖內(nèi)肷涔獠ǖ恼穹桓淖兤湎辔环植迹覀兎Q它為位分布，我們稱它為振幅型物體振幅型物體。 如果物體由于折射率不均勻或厚度起伏，只改變?nèi)肷淙绻矬w由于折射率不均勻或厚度起伏，只改變?nèi)肷涔獠ǖ南辔环植?/p>

52、，而不改變其振幅分布，則稱之為光波的相位分布，而不改變其振幅分布，則稱之為相位相位型物體型物體。 顯然，物體的透過率直接反映了顯然，物體的透過率直接反映了物體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)物體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。為了能。為了能夠從衍射圖樣直接了解物體透過率的性質(zhì)，或者對不同物體的夠從衍射圖樣直接了解物體透過率的性質(zhì)，或者對不同物體的衍射圖樣作出比較，有必要衍射圖樣作出比較，有必要排除復(fù)雜照明光波排除復(fù)雜照明光波的影響，一致采的影響，一致采用單色平面波垂直照明物體。設(shè)平面的振幅為用單色平面波垂直照明物體。設(shè)平面的振幅為A A，則，則),(),(00000yxtAyxU 由夫瑯和費(fèi)衍射公式，觀察平面上光場的分布為由夫瑯和費(fèi)衍

53、射公式，觀察平面上光場的分布為 )(2exp)exp(),(22yxzkjjkzjzAyxU yzxyxt ,00),(F F )(2exp)exp(),(22yxzkjjkzjzAyxU )(, yzxT)(, yzxT稱為物體的頻譜，這是透過率的傅里葉變換。稱為物體的頻譜，這是透過率的傅里葉變換。000000)(2exp),(),(dydxyyxxzjyxtzyzxT 實(shí)際的輻射探測器，包括從人眼在內(nèi)，都只能對光強(qiáng)產(chǎn)生響應(yīng)。實(shí)際的輻射探測器，包括從人眼在內(nèi)，都只能對光強(qiáng)產(chǎn)生響應(yīng)。因此，我們更為關(guān)心是衍射圖樣的強(qiáng)度分布：因此，我們更為關(guān)心是衍射圖樣的強(qiáng)度分布： ),(yxI22),( zyz

54、xTzA 觀察平面上直接得到觀察平面上直接得到物體的功率譜。物體的功率譜。夫瑯和費(fèi)衍射是實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的物理手段夫瑯和費(fèi)衍射是實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的物理手段，這一重要事實(shí)，這一重要事實(shí)是我們對物體作頻譜分析的基礎(chǔ)。是我們對物體作頻譜分析的基礎(chǔ)。一、矩孔衍射與單縫衍射一、矩孔衍射與單縫衍射矩形孔的復(fù)振幅透過率可以表示為矩形孔的復(fù)振幅透過率可以表示為 byrectaxrectyxt0000),(0 x0y0 xy0zzab2021-11-2458 byrectaxrectyxt0000),(0 x0y0 xy0zzab bcacabTsinsin),( zbyczaxczabyxI 222sinsin)

55、,(0/ II1zax /121 2 其中央亮斑的寬度為其中央亮斑的寬度為azx 2 bzy 2 2021-11-2459當(dāng)矩孔在當(dāng)矩孔在x x0 0方向?qū)挾确较驅(qū)挾萢 a減小，則觀察平面上減小，則觀察平面上x x 方向上所有斑方向上所有斑的寬度都將增大，即該方向衍射光的彌散斑范圍增大。這的寬度都將增大，即該方向衍射光的彌散斑范圍增大。這一現(xiàn)象很容易用傅里葉變換的相似性定理解釋。一現(xiàn)象很容易用傅里葉變換的相似性定理解釋。假若假若ba,ba,矩形孔變成了平行于矩形孔變成了平行于y y軸的狹縫。衍射圖樣將集軸的狹縫。衍射圖樣將集中在中在x x軸上，衍射光僅沿垂直于狹縫方向擴(kuò)展。我們只要作軸上，衍射

56、光僅沿垂直于狹縫方向擴(kuò)展。我們只要作一維的計(jì)算。一維的計(jì)算。0/ II1zax /121 2 其中央亮斑的寬度為其中央亮斑的寬度為azx 2 bzy 2 二、雙縫衍射二、雙縫衍射0y0 x0yx0zzad adxrectadxrectyxt22),(0000 22000dxdxaxrect 利用傅里葉變換的卷積定理和位移定理得利用傅里葉變換的卷積定理和位移定理得 djdjacaT expexpsin)( )cos(sin2daca 采用單位復(fù)振幅照明孔徑，觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射采用單位復(fù)振幅照明孔徑，觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射復(fù)振幅分布為復(fù)振幅分布為 22exp)exp(2),(xzkjjkz

57、jzayxU )(zxT 2021-11-2462 zdxzaxczayxI 222cossin2),(強(qiáng)度為強(qiáng)度為這是單縫衍射圖樣與雙光束干涉這是單縫衍射圖樣與雙光束干涉相互調(diào)制相互調(diào)制的結(jié)果。為了直觀的結(jié)果。為了直觀地分析物體的頻譜，我們在下面用圖解方法進(jìn)行分析。地分析物體的頻譜，我們在下面用圖解方法進(jìn)行分析。 22exp)exp(2),(xzkjjkzjzayxU )(zxT axrect02a 2a2d 2d0 x 2200dxdx )cos(2d acasin 0 aT 2d 2d0 x)(0 xtzx d1a10/ II2021-11-24652. 6 2. 6 透鏡的傅里葉變換性

58、質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 我們已經(jīng)知道，對一個(gè)平面的透射物體進(jìn)行傅里葉變我們已經(jīng)知道，對一個(gè)平面的透射物體進(jìn)行傅里葉變換運(yùn)算的物理手段是實(shí)現(xiàn)它的夫瑯和費(fèi)衍射。但其條件換運(yùn)算的物理手段是實(shí)現(xiàn)它的夫瑯和費(fèi)衍射。但其條件是相當(dāng)苛刻的。要想在是相當(dāng)苛刻的。要想在近距離近距離觀察夫瑯和費(fèi)衍射，可以觀察夫瑯和費(fèi)衍射，可以借助透鏡來實(shí)現(xiàn)。也就是說透鏡可以用來實(shí)現(xiàn)物體的傅借助透鏡來實(shí)現(xiàn)。也就是說透鏡可以用來實(shí)現(xiàn)物體的傅里葉變換。里葉變換。 透鏡是光學(xué)系統(tǒng)最基本的元件，正是由于透鏡在一透鏡是光學(xué)系統(tǒng)最基本的元件，正是由于透鏡在一定條件下能實(shí)現(xiàn)傅里葉變換，才使得傅里葉分析方法在定條件下能實(shí)現(xiàn)傅里葉變換，才使得傅里葉

59、分析方法在光學(xué)中得到了非常廣泛的應(yīng)用。光學(xué)中得到了非常廣泛的應(yīng)用。2.6.12.6.1透鏡的相位調(diào)制作用透鏡的相位調(diào)制作用為了研究透鏡對入射波前的作用，我們引入透鏡的復(fù)振幅透為了研究透鏡對入射波前的作用，我們引入透鏡的復(fù)振幅透過率過率),(),(),(11yxUyxUyxt ),(1yxU緊靠透鏡前的光場分布緊靠透鏡前的光場分布),(1yxU 緊靠透鏡后的光場分布緊靠透鏡后的光場分布),(1yxU),(1yxU pqSS S S、S S 滿足成像關(guān)系滿足成像關(guān)系2021-11-2467如圖是透鏡對點(diǎn)光源成像的過程，若不考慮有限孔徑的衍射如圖是透鏡對點(diǎn)光源成像的過程，若不考慮有限孔徑的衍射效應(yīng)，

60、也不考慮像差，一個(gè)位于光效應(yīng)，也不考慮像差，一個(gè)位于光 軸上軸上S S點(diǎn)的單色點(diǎn)光源通過點(diǎn)的單色點(diǎn)光源通過透鏡后會(huì)聚在光軸上，得到它的點(diǎn)像。透鏡后會(huì)聚在光軸上，得到它的點(diǎn)像。2.6.12.6.1透鏡的相位調(diào)制作用透鏡的相位調(diào)制作用),(),(),(11yxUyxUyxt ),(1yxU),(1yxU pqSS 從波面?zhèn)鞑ミ^程中發(fā)生的變化來看，從波面?zhèn)鞑ミ^程中發(fā)生的變化來看，透鏡的作用是使一個(gè)發(fā)散球面波變透鏡的作用是使一個(gè)發(fā)散球面波變換為會(huì)聚球面波。換為會(huì)聚球面波。),(1yxU),(1yxU pqSS 傍軸條件下，位于傍軸條件下，位于S S點(diǎn)的單色點(diǎn)光源點(diǎn)的單色點(diǎn)光源發(fā)射出的發(fā)散球面波在緊靠透