1、高考數學專題復習：立體幾何專題（理）一、山東省高考試題分析高考試卷中， 立體幾何把考查的立足點放在空間圖形上，突出對空間概念和空間想象才能的考查；立體幾何的基礎是對點、線、面的位置關系的爭論和爭論，進而爭論幾何體；高考命題時， 突出空間圖形的特點，側重于直線與直線、直線與平面、兩個平面的位置的關系以及空間角、面積、體積的運算的考查，以便檢測考生立體幾何的學問水平和才能；高考試題中題型分布及分值比例（以下是近三年考題、考點、分值分布統計表）卷型題序分值考查的題型及學問點09年4、5、185+5+12=22幾何體三視圖、面面垂直的判定、線面平行的判定、二面角10年3、195+12=17線面垂直與平

2、行的判定與性質、線面角、幾何體的體積11年11、195+12=17幾何體的三視圖、線面平行的證明、以及二面角從上表可以看出：立體幾何均分在20 分左右， 高考的命題堅持以穩固大局，掌握難度，貫徹“說明”要求，命題的穩固主要表現在：考查的重點及難點穩固，高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質與判定，線、面間的角的運算作為考查的重點；同時在創新方面做了一些有益的嘗試；1充分、必要條件與點線面位置關系的綜合高考對簡潔規律用語中的充分、必要條件的考查，主要通過與其它部分的綜合問題出現，而與立體幾何相綜合的問題最為普遍，通過這種形式主要考查對充分、必要條件的懂得和立體幾何部分

3、的幾何體、點線面的位置關系等嚴密性問題（ 09 年理 5）已知 ， 表示兩個不同的平面，m 為平面 內的一條直線，就“”是“ m”的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c充要條件d 既不充分也不必要條件【解析】： 由平面與平面垂直的判定定理知，假如m 為平面 內的一條直線，m，就；反過來就不肯定所以“”是“ m”的必要不充分條件答案： b（ 10 年理 3）在空間，以下命題正確選項（）（a ）平行直線的平行投影重合（ b）平行于同始終線的兩個平面平行（c）垂直于同一平面的兩個平面平行（d ）垂直于同一平面的兩條直線平行【解析】由空間直線與平面的位置關系及線面垂直與平行的判定與性質定理可以很簡

4、潔得出答案 d.此題考查空間直線與平面的位置關系及線面垂直與平行的判定與性質，屬基礎題；【點評】：此類題目主要考查了立體幾何中垂直關系的判定和充分必要條件的概念解決此類問題的關鍵是弄清晰點線面之間的位置關系的判定此類小題是很簡潔出錯的題目，解答時要特殊留意2三視圖與幾何體的面積、體積的綜合空間幾何體的結構與視圖主要培育觀看才能、歸納才能和空間想象才能，識別三視圖 所表示的空間幾何體，柱、錐、臺、球體及其簡潔組合體的結構特點與新增內容三視圖的綜合會重點考查， 從近三年高考題來看，三視圖是出題的熱點，題型多以挑選題、 填空題為主，屬中等偏易題隨著新課標的推廣和深化，難度逐步有所增加（ 09 年理

5、4）一空間幾何體的三視圖如下列圖,就該幾何體的體積為.a. 223b.423c.223323d.43【解析】 :該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,22圓柱的底面半徑為1,高為 2,體積為 2,四棱錐的底面邊長為2 ，高為3 ，所以體積為12 2323所以該幾何體的體積為23323. 答案 :c322正 主視圖2側左視圖【點評】 此題考查了立體幾何中的空間想象才能,由三視圖能夠想象得到空間的立體圖,并能精確地運算出幾何體的體積.俯視圖（11 年理 11） 右圖是長和寬分別相等的兩個矩形給定以下三個命題：存在三棱柱，其正 主 視圖、俯視圖如右圖；存在四棱柱，其正 主 視圖、俯視圖如下圖；存在圓

6、柱，其正 主 視圖、俯視圖如右圖其中真命題的個數是（ a） 3（ b） 2（ c） 1（ d） 0【點評】： a. 此題考查同學的空間想象才能，無論是命題形式與考查深度令人觀賞；應當說以來，立體幾何刪去了傳統的球面距離、球的切接問題、空間距離等明顯降低了立正（主）視圖俯視圖體幾何的難度； 但是， 空間想象才能為考試說明的第三才能；因此， 此題特別好， 難度適當，形式自然，目的明確；3幾何體與線、面位置關系的綜合以空間幾何體為載體考查直線與平面平行或垂直、平面與平面平行或垂直的判定與性質定理，能用判定定理和性質定理證明線線平行或垂直、線面平行或垂直、面面平行或垂直，多以挑選題和解答題形式顯現，解

7、答題中多以證明線線垂直、線面垂直、面面垂直為主，屬中檔題4空間向量與空間角和距離的綜合用空間向量解決立體幾何問題的基本步驟：（ 1）用空間向量表示問題中涉及的點、直 線、平面， 建立立體圖形與空間向量的聯系，從而把立體幾何問題轉化為向量問題（幾何問題向量化）；（2）通過向量運算，爭論點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾我有等問題（進行向量運算）；（ 3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義（回來幾何問題） （ 09 年理 18）如圖， 在直四棱柱abcd-a 1 b 1 c 1 d 1 中， 底面 abcd為等腰梯形， ab/cd ，ab=4 ， bc=cd=2 ，aa 1

8、=2，e、e 1 、f 分別是棱ad 、aa 1 、ab 的中點（ 1）證明：直線ee 1 / 平面 fcc 1 ；d1c1a 1b1e1dc（ 2）求二面角b-fc 1 -c 的余弦值eafb解析：解法一： （ 1）在直四棱柱abcd-a 1 b 1 c 1 d 1 中，取 a 1b 1d 1c1的中點 f1，連接 a 1d， c1f1， cf1，由于 ab=4 ， cd=2 ，且 ab/cd ，a 1/所以 cd= a 1f1， a 1f1cd 為平行四邊形，所以cf1/a 1d ，e1又由于 e、e 1 分別是棱ad 、aa 1 的中點，所以ee 1/a 1d ，af1b 1pdceof

9、b所以 cf1/ee 1，又由于ee1平面 fcc 1 ， cf1平面 fcc 1 ，所以直線 ee 1 /平面 fcc 1 （ 2）由于 ab=4 ， bc=cd=2 ， 、f 是棱 ab 的中點，所以bf=bc=cf ， bcf 為正三角形，取cf 的中點o，就 ob cf，又由于直四棱柱abcd-a 1 b 1 c 1 d 1 中， cc 1平面abcd ，所以 cc1 bo ，所以 ob 平面 cc 1f，過 o 在平面 cc 1f 內作 opc1f，垂足為 p，連接 bp，就 opb 為二面角b-fc 1 -c 的一個平面角，在 bcf 為正三角形中， ob3 ，在 rt cc 1f

10、 中， opf cc 1f，opof op122 ，cc1c1 f22222在 rt opf 中，bpop2ob21314， cos2opbop27 ，所以二面角b-fc 1227-c 的余弦值為7bp1472zd 1c1解法二 :（ 1）由于 ab=4 ， bc=cd=2 ， f 是棱 ab 的中點，所以 bf=bc=cf ， bcf 為正三角形，由于 abcd為 等腰梯形，所以bac= abc=60 °，取 af 的中點 m ，連接 dm ，就 dm ab ，所以 dm cd ，a 1b 1e1dcy以 dm 為 x 軸， dc 為 y 軸， dd 1 為 z 軸建立空間直角坐標

11、系，eamfb1就 d（ 0，0，0），a（3 ，-1，0），f（3 ，1，0），c（0，2，0），cx（ 0，2，2），e（3 ，1，0）， e221（3 ，-1， 1），所以 ee13 ,1 ,1 ， cf223,1,0 ， cc10,0,2fc13,1,2設平面 cc 1f 的法向量為nx, y, z 就n cf03 xy0所以n cc10z0取 n1,3,0 ，就n ee13113100 ，所以nee1 ，所以直線ee1 /22平面 fcc 1 （ 2） fby10,2,00，設平面bfc1 的法向量為n1 x1, y1, z1 ，就n1fb0所以n1fc103x1y12 z1，取 n

12、12,0,3 ，就0n n12130032，2| n |1322，| n1 |22037，所以cosn, n1n n127 ，| n | n1 |277由圖可知二面角b-fc 1-c 為銳角，所以二面角b-fc71 -c 的余弦值為7【點評】：此題主要考查直棱柱的概念、線面位置關系的判定和二面角的運算考查空間想象才能和推理運算才能， 以及應用向量學問解答問題的才能， 向量法求二面角是一種特殊的方法， 由于它不但是傳統方法的有力補充， 而且仍可以另辟溪徑， 解決傳統方法難以解決的求二面角問題向量法求二面角通常有以下三種轉化方式：先作、證二面角的平面角aob ，再求得二面角的大?。幌惹蠖娼莾蓚€半

13、平面的法向量n1，n2 （留意法向量的方向要分布在二面角的內外），再求得二面角的大小為向量夾角或其補角；先分別在二面角兩個半平面內作棱的垂線（垂足不重合），又可轉化為求兩條異面直線的夾角二、20xx 年高考猜測分析透析高考試題，可以看出本專題的熱點為：（1） 直線和平面平行、垂直的判定與性質；（2） 兩個平面平行、垂直的判定與性質；（3） 異面直線所成的角、直線和平面所成的角及二面角；（4） 幾何體的表面積、體積，留意與三視圖的交匯，以及割補思想、等價轉化思想在求體積方面的應用；（5） 利用空間向量來證明平行和垂直關系（包括線線垂直、平行；線面垂直、平行；面面垂直、平行）及利用空間向量解決求空

14、間角；（6） 棱柱、棱錐、球的概念和性質，棱柱、棱錐的復現率較高，在迎考中應連續關注；（7） 查找截面外形，多面體的外切球、內接球，計數問題，折疊問題也值得我們留意； 從近幾年高考來看，一般以1 2 個客觀題來考查線面關系的判定、表面積與體積、空間幾何體的性質與識圖等，以 1 個解答題來考查線面關系的證明以及角的運算在高考中屬于中檔題目而三視圖作為新課標的新增內容，在近三年高考中，有2 次在此學問點命題，主要考查三視圖和直觀圖，特殊是通過三視圖來確定原圖形的相關量估計今后高考中，在命題規律出現如下：（一）客觀題仍以幾何體的的三視圖與表面積與體積的運算、空間線面關系與命題、充要條件的結合為主猜測

15、 1 空間幾何體的三視圖與其表面積、體積的求解相結合仍會是20xx年高考的命題熱點；1、 如某幾何體的三視圖（單位：cm ）如下列圖，就此幾何體的體積是cm3 2、已知一幾何體的三視圖如下，正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意挑選4 個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4 個頂點，這些幾何形體是（寫出全部正確結論的編號）矩形；不是矩形的平行四邊形；有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四周體；每個面都是等腰三角形的四周體；每個面都是直角三角形的四周體ab正視圖a俯視圖側視圖猜測 2 空間線面關系的判定與命題、充要條件相結合會是今后高考命題的一個趨勢1、平面平面的一個充

16、分條件是（）a. 存在一條直線l， l， lb. 存在一個平面，/，/c. 存在一個平面，d.存在一條直線l， l， l /2、已知三條不重合的直線m、n、l ，兩個不重合的平面,，有以下命題如 m / n, n, 就m/；如 l, m且l/ m,就/；如 m,n, m/,n /,就/； 如,m, n,nm, 就n；其中正確的命題個數是a 1b 2c 3d 4（二）解答題考查線面關系的位置關系和空間角猜測3 解答題仍會以常規多面體（棱柱和棱錐）為載體，重點考查線面關系的規律推理與空間角的求解、 空間向量的基本運算以及空間想象才能和規律推理才能和應用空間向量解決數學問題的意識和才能.1、在三棱柱

17、abc a1b1c1 中，底面是邊長為恰是 bc的中點（）求證： a1a bc；2 3 的正三角形，點a1 在底面abc上的射影oa1c1b（）當側棱aa1 和底面成45°角時，求二面角a1 ac b 的大小余弦值；d1（）如d為側棱 a a上一點，當a1 d為何值時， bd a c 11 1daacob2、已知梯形abcd中， ad bc， abc =bad =， ab=bc=2ad=，4 e、f 分別是 ab、cd上2的點， efbc， ae = x， g是 bc的中點；沿ef 將梯形 abcd翻折，使平ad面 aefd平面 ebcf 如圖 .(1) 當 x=2 時，求證： bd

18、 eg ；ef(2) 如以 f、b、c、d 為頂點的三棱錐的體積記為fx，求 fx的最大值；bc(3) 當 fx取得最大值時，求二面角d-bf-c 的余弦值 .adefbcg三、立體幾何專題練習1、某師傅需用合板制作一個工作臺，工作臺由主體和附屬兩部分組成，20主體部分全封閉，附屬部分是為了防止工件滑出臺面而設置的三面護墻，其大致外形的三視圖如右圖所示單位長度 : cm,就按圖中尺寸， 做成的工作臺用去的合板的面積為（制作過程合板的損耗和合板厚度忽視不計）（）8080正視圖側視圖a.40000cm22c.16002217 cmb.40800cm2d.41600 cm280俯視圖2、設 x 、

19、y 、 z 是空間不同的直線或平面，對以下四種情形：x 、 y 、 z 均為直線；x 、 y 是直線， z 是平面；z 是直線，x 、 y 是平面；x 、 y 、 z 均為平面；其中使“ x z 且 y zx y ”為真命題的是（）a b c d 3、一個幾何體的三視圖如右圖，其中主視圖和左視圖都是邊長為1 的正三角形，那么這個幾何體的側面積為（）12ab222cd 444、已知,是兩個不同的平面，m， n 是兩條不同的直線，給出以下命題：如 m, m，就；如 m, n, m /，n /,就/；假如 m, n, m、n是異面直線，那么 n與相交；如m, n / m，且n, n，就n /且n /

20、其中正確的命題是（）.a b c5、如圖，已知abcda1b1c1d1 是底面為正方形的長方體，ad1 a1d 60 ， ad14 ，點p 是 ad1 上的動點 （ 1）試判定不論點p 在adbcad1 上的任何位置，是否都有平面pb1 pa1 垂直于平面（ 2）當 p 為aa1d1 ？并證明你的結論；a1ad 的中點時，求異面直線aa 與 b p 所成角的余弦值；111d1（ 3）求pb1 與平面aa1 d1 所成角的正切值的最大值b 1c16、如圖，在四棱錐pabcd中，底面為直角梯形，ad / bc ,bad90 ， pa 垂直于底面abcd ，paadab2 bc2 , m, n 分別

21、為pc ,pb 的中點；1 求證： pbdm ；（ 2）求 bd 與平面 admn 所成的角；（ 3）求截面 admn 的面積；【參考答案】 ： 1d， 2c， 3a ，4d5、解：（ 1 ）不論點 p 在ad1 上的任何位置，都有平面b1pa1 垂直于平面aa1 d1證明如下：由題意知，b1 a1a1d1 ，b1 a1a1 a又aa1a1d1a1b1 a1平面 aa1 d1又 a1b1平面 b1pa1平面 b1 pa1平面 aa1d1（2） 解法一： 過點 p 作 pea1 d1 ，垂足為e ，連結b1e （如圖），就pe aa1 ，b1pe 是異面直線aa1 與 b1p 所成的角在 rt aa1d1 中 ad1a160a1 ad130ad a ba d1 ad2 ,a e1 a d1 ，bc1111121112pb eb a 2a e 25 1111a 1ed 1又 pe1aa13 2b1c 1在 rt b1 pe 中，b1p5322cospe36b1peb1p224異面異面直線aa 與 b p 所成角的余弦值為6 114解法二： 以a1 為原點，a1b1 所在的直線為x 軸建立空間直角坐標系如圖示，就a1 0，0，0 ，a0，0，23 ，b12，0，0 ， p0，1，3 ，a1 az0，0，23 ，adb1 p2，