1、第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答第五節第五節 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉第四節第四節 按應力求解空間問題按應力求解空間問題第三節第三節 半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力第二節第二節 半半空間體受重力及均布壓力空間體受重力及均布壓力第一節第一節 按位移求解空間問題按位移求解空間問題第六節第六節 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬 第七節第七節 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉 第八節第八節 矩形截面桿的扭轉矩形截面桿的扭轉 例題例題習題的提示和答案習題的提示和答案教學參考資料教學參考資料第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 1. 取u,v,w為基本

2、未知函數。按位移求解按位移求解 2. 將應變用位移來表示，可以引用幾何方程。 將應力先用應變表示（應用物理方程），再代入幾何方程，也用位移來表示： 在直角坐標系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，即81 按位移求解空間問題按位移求解空間問題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答其中體積應變 )( ),;,( ,12,211awvuzyxzvywExuEyzx。zwyvxu按位移求解按位移求解 3. 將式 (a)代入平衡微分方程，得在V內求解位移的基本方程：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答其中拉普拉斯算子, 0211122xfuxE)( ),;,(bwvuzyx。2222222

3、zyxV V內基本方程內基本方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 4. 將式 代入應力邊界條件，得用位 移表示的應力邊界條件： yuxvmxulE2211。xsfzuxwn2),;,(wvuzyx)(c)(上在s 。uus)()(dsu上在)(a邊界條件 位移邊界條件仍為:第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2） 上的應力邊界條件(c),（3） 上的位移邊界條件(d)。 歸結：按位移求解空間問題，位移 u,v,w 必須滿足： sus按位移求解按位移求解這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。（1）V內的平衡微分方程(b),第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答優點 在空間

4、問題中，按位移求解方法尤為要： 3.近似解法中，按位移法求解得到廣泛的 應用。2.未知函數及方程的數目少。而按應力求 解時，沒有普遍性的應力函數存在。1.能適用于各種邊界條件。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 按位移求解空間軸對稱問題 在柱坐標 中，可以相似地導出： 位移 應滿足： ),(zzuu ,)( , 0211)1 (2, 021112222efuzEfuuEzz軸對稱問題（1）V內的平衡微分方程，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 軸對稱的拉普拉斯算子為。1222SuS其中體積應變;zuuuz軸對稱問題（2） 上的應力邊界條件。 （3） 上的位移邊界條件。第八章第八

5、章 空間問題的解答空間問題的解答1、試導出空間問題中上的應力邊界條件 （8-4）。2、試導出空間軸對稱問題中用位移表示的 平衡微分方程（書中式（8-4），并將 上的應力邊界條件用位移 來表示。 Sfs)(思考題s第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 設有半空間體，受自重體力 及邊界的均布壓力q。gfz82 半半空間體受重力空間體受重力 及均布壓力及均布壓力 問題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 采用按位移求解： , 0u, 0v )( azww。 考慮對稱性：本題的任何x面和y面均為對稱面，可設 位移u,v,w應滿足平衡微分方程及邊界條件。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題

6、的解答（1）將位移(a)代入平衡微分方程,前兩式 自然滿足，第三式成為常微分方程，。0dddd211122222gzwzwE)( 122112bBAzEw。求解方程積分兩次, 得第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,1Azgyx,Azgz。0 xyzxyz)(c相應的應力為求解方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2）在z=0的負z面，應力邊界條件為)( )(,0,00dqzzzzyzx。)( 0),(,1egzqgzqxyzxyzzyx。邊界條件由式(d)求出A，得應力解為第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答位移解為)( 122112fBgqzEgw。0)(hzw其中B

7、為z向剛體平移，須由約束條件確定。 若z=h為剛性層，則由 可以確定B。 若為半無限大空間體，則沒有約束條件可以確定B；第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 側面壓力與鉛直壓力之比，稱為側壓力系數。即。1zyzx)(g側壓力系數第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 當 時，側向變形最大，側向壓力也最大， 說明物體的剛度極小，接近于流體。 當 時，正應力不引起側向變形。說明物體的剛度極大，接近于剛體。21。zyx0討論：討論：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答思考題1、如果圖中的問題改為平面應力問題， 或平面應變問題，試考慮應如何按位 移求解？第八章第八章 空間問題的解答空間

8、問題的解答 2. 若將空間問題的伽遼金位移函數向平面 應變問題簡化，將得到什么形式的表達 式？再轉向平面應力問題，又將得到什 么形式的表達式？并與平面問題的位移 函數相比較（參見“彈性力學簡明教程學 習指導”和第二章教學參考資料）。 3. 試用伽遼金位移函數的表達式(8-9),導 出式(8-10)（參見“彈性力學簡明教程學習 指導”）。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 設有半空間體，在o點受有法向集中力F。 本題為空間軸對稱問題。應用柱坐標求解， 而位移 ,而 和 應滿足:, 0u uzu 8-3半空間體在邊界上受半空間體在邊界上受 法向集中力法向集中力 問題第八章第八章 空間問題的

9、解答空間問題的解答（1）平衡微分方程（書中（8-4）)( , 0211, 0211222auzuuz。zuuuz求解條件其中第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2）在z=0的邊界上，除原點o以外的應力 邊界條件為。00, 0zz, 00, 0zz, 0zF; 0d20Fzzz)(c)(b（3）由于z=0邊界上o點有集中力F的作用， 取出z=0至z=z的平板脫離體，應用圣 維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,21212zRRzERFu;122122RzERFuz 布西內斯克得出滿足上述全部條件的解答為)(d 由于軸對稱，其余的5個平衡條件均為自然

10、滿足。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,3212322RzzRRRF,221zRRRzRF,2353RFzz。5223RzFz。2122zR其中)(e第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 應力特征：; 0,應力R。應力 , 0Rzz 和)( 120fEFuzz。（3）水平截面上的全應力，指向F作用點 o。 邊界面上任一點的沉陷，（2）水平截面上的應力 與彈性常 數無關。（1）當 當第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 若單位力均勻分布在 的矩形面積上，其沉陷解為： 將F代之為 ，對 積分，便得到書上公式。baybaFdd1dy,分布力第八章第八章 空間問題的解答空間問題的

11、解答1.試由位移函數的表達式(8-11)，導出式 (8-12)。（參見“彈性力學簡明教程學習指導”）2. 試由拉甫位移函數的表達式(8-14)，導出式(8-15)。 （參見“彈性力學簡明教程學習指導”）思考題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答84按應力求解空間問題按應力求解空間問題 按應力求解空間問題的方法：按應力求解空間問題的方法：按應力求解形變可以通過物理方程用應力表示。位移要通過對幾何方程的積分，才能用形變 或應力表示，其中會出現待定的積分函 數。2. 其他未知函數用應力表示:1. 取x yz為基本未知函數。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 因此,位移邊界條件等用應力

12、表示時，既復雜又難以求解。所以按應力求解通常只解全部為 應力邊界條件 的問題。)(SS 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答3. 在V內導出求應力的方程 :;,222222222222222yxxyxzzxzyyzxyyxzxxzyzyz.2,2,2222yxyxzzxzxzyyzyzyxxzzxyzxyyyzxyzxxxyzxyz從幾何方程消去位移，導出六個相容方程：（2）相容方程（六個）:（1）平衡微分方程（三個）。V內方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 再代入物理方程，導出用應力表示的相容方程。(書中（8-12）。4. 假設全部為應力邊界條件，在 上，應滿足書中式（7-

13、5）。SS 應力邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（1）V內的三個平衡微分方程；SS 其中(1),(3) 是靜力平衡條件； (2),(4)是位移連續條件。 按應力求解歸納為按應力求解歸納為, 應力分量應滿足：按應力求解歸納（4）對于多連體，還應滿足位移單值條件。（3） 上的三個應力邊界條件（假設 全部為應力邊界條件）；（2）V內的六個相容方程；第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（1）物體滿足連續性條件 導出形變和位 移之間的幾何方程 導出相容方程。 對于相容方程說明如下：相容方程說明所以相容方程是位移的連續性條件。 （2）形變滿足相容方程 對應的位移存在 且連續 物體保

14、持連續；形變不滿足 相容方程 對應的位移不存在 物 體不保持連續。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3）相容方程的導出及對(2)的證明，可 參見有關書籍。)( ,0dd22aBxAfxf的解為)( 0dd233bcxBxAfxf。的解為例如：（4）相容方程必須為六個。相容方程和平 衡微分方程的數目大于未知函數的數 目，是由于微分方程提高階數所需要 的。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答式 是由方程 提高階數得出的，但式 增加的解 不是原式 的解。 幾何 方程中，形變為 0 階導數；但在相容方程中形變以 2 階導數出現。因為微分方程提高階數會增加解答，所以增加的方程數目正好用來

15、消去增加的解答。2cx)(b)(a)(b)(a第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 在按應力求解空間問題中，力學家提出了幾種應力函數，用來表示應力并簡化求解的方程。 應力函數 應用這些應力函數，也已求出了一些空問題之解。但這些應力函數不具有普遍性（不是普遍存在的）。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答思考題思考題1、試考慮：從空間問題的相容方程，可以 導出平面應變問題的相容方程，卻不能直 接導出平面應力問題的相容方程，為什么？ (見例題4)2、在表面均受到法向壓力q 作用的任意形狀的 空間體，其應力分量是 試證明這些應力分量是該 問題之解（對于多連體還應滿足位移單值條 件）。 ,

16、qzyx zxyz。0 xy第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉問題也是空間問題的一個特例。8-5等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉根據扭轉問題的特性來簡化空間問題，就建立了扭轉問題的基本理論（1854-1856年，圣維南）。扭轉問題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉問題扭轉問題的提出:; 0zyxfff, 0zyxfff（1）等截面柱體；（2）無體力作用，（3）柱體側面無面力作用， 柱體上下端面的面力，合成一對力 矩 M。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 引用按應力求解空間問題的方法應力應滿足3個平衡微分方程，6個相容方程及 上的應力邊界條件。SS 按應力求

17、解第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答因此只有 ，代入3個平衡微分方程得 1. 由扭轉問題特性, 上下端面（ ）上無面力 設 側面無任何面力，面z；0z,zfzyzx,。0 xyzyx設, 0 xzx。0yxzyzx, 0yzy)(a, 0zyxfff第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由式(a)前兩式，得 僅為（x,y）的 函數；第三式成為)( byxzyzx。)( ,cxyyxzyzx, 又由偏導數的相容性，存在一個應力函數,第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答對比式(b)和(c)，兩個切應力均可用一個扭轉應力函數 表示為),(yx,yzx。xzy)(d第八章第八章 空間

18、問題的解答空間問題的解答由此得出扭轉應力函數 應滿足的方程：。02zy, 02zx, 02x 2. 將式（d）代入6個相容方程，前三式和 第六式自然滿足，其余兩式為代入（d），得, 02y)( ,2eC C為待定常數。相容方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答而 得3. 考察側面邊界條件前兩式自然滿足，第三式成為)0, 0(zyxfffn。0szyzxml,ddsyl ,ddsxm。0ddddddSsxxsyyS邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 在S上為常數。又由于 中常數不影響應力， 得 的側面邊界條件為 )( 0fs。, 0,zyxFFF, 0,yxMM。MMz

19、考察上端面（z=0）的邊界條件。在小邊界z=0上，應用圣維南原理，有第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 在z=0負面上， 只有 。 條件自然滿足，而其余三個條件為, 0z0,yxzMMF, 0yF, 0dd0Azzxyx, 0zM。MyxxyAzzyzxdd0, 0 xF, 0dd0yxAzzy)(gzyzx,第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 將式 代入，并應用條件 ，經過運算（見書P.168），式 的前兩式自然滿足，而由后一式得出關于 的端面邊界條件為。MyxAdd)(h)(d)( f)(g第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉問題歸納為求一個扭轉應力函數 ， 應

20、滿足： ; 02 。0s。MyxAdd歸納（1）A內方程（2）側面S上邊界條件 （3）端面上邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 注解：yx,（3）扭轉問題中 的變量為x,y，仍屬 于二維問題。（2）空間問題按應力求解的全部條件均已 考慮并滿足。（1）另一端面上的邊界條件自然滿足。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 求位移分量： 根據上面的應力，代入物理方程，可以求出對應的形變；再代入幾何方程，并進行積分，求出對應的位移為,Kyzu,Kxzv )(i其中 ，為單位桿件長度的扭角。dzdK 求位移第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答)( 22jGK。)( 2kGKC。

21、并且還得出對比式 （e），得出常數C的物理意義，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答思考題1. 試考慮：上面建立的分析方法是精確 的理論還是近似的理論，其中提出的 一些假設是否完全成立？ 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答86扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬 對于物理現象不同，但數學描述相同的問題，可以應用比擬方法來求解。薄膜問題薄膜問題 設有一薄膜，張在水平邊界上，并受到微小的氣體壓力q。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答薄膜斜率在 面分別為薄膜斜率在 面分別為 薄膜只能承受均勻拉力 ，不能承受彎矩，扭矩，剪力和壓力。取出一個微小單元abcd, 各邊上的作用力均為

22、，但薄膜的斜率不同。TFxy;d,xxzzxxz。yyzzyyzd,TF薄膜問題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答平衡條件：，0zFxxzzxyFxzyFTTddd。0dddddyxqyyzzxxFyzxFTT第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答得出薄膜垂度z的方程： )( 2aFqzT。 )( 0bzs。)( dd22cyxzVA。)( ,dyzixziyx。薄膜在x，y向斜率為 薄膜與邊界平面（xy面）之間的2倍 體積是薄膜的邊界條件為薄膜比擬第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉問題 薄膜問題未知函數A內方程從數學上看，薄膜問題和扭轉問題的數學方程相同，比較如下：

23、)(扭轉應力函數)(薄膜垂度zGK22TFqz2 0s 0sz邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答邊界條件切應力/斜率MyxAdd2VyxzA2dd2yzxyziyxzyxzix扭轉問題 薄膜問題于是求扭轉應力函數 的問題，可以化為求薄膜垂度z的問題：只要使M對應于2V，則,yzxi,xzyi。TFqGK 2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 薄膜比擬的應用：薄膜比擬的應用：（3）通過薄膜比擬, 提出扭轉應力函數的 假設。（2）通過薄膜比擬, 直接求解薄壁桿件的 扭轉問題。（1）通過薄膜比擬試驗, 求解扭轉問題。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉問題已歸結為

24、求扭轉應力函數 ， 應滿足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,2C , 0s。MyxAdd2)(a)(b)(c87 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉 求的條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 式 中的C為常數，其特解十分簡單；而式 的通解為調和函數。C可以由式 求出。 )(a)(c)(a第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 橢圓截面桿受M的扭轉，可以由式(a),(b),(c)求解。 1. 為了滿足式(b) ，可取 )( , 12222dbyaxm。012222sbyax在橢圓邊界上橢圓截面桿第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答2. 將式(d)代入(a) ，解出3.

25、再將式(d)及(e)代入式 (c)，求出)( )(22222eCbabam。)( . 23322fbaMbaC從而得出第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答求出單位長度桿件的扭角：,12222byaxabM,23yabMyzx。xbaMxzy32)(g。GbaMbaGCK33222第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 z 向的位移為可見橫截面不保持為平面。只有當a=b 的圓截面時，w=0，才保持為平面。Mxybabaw3322第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答對于 的狹矩形截面，從薄膜比擬來看,(1)在邊界條件中，長邊上應嚴格滿足)(ba ba )( ;02aby88矩形截面

26、桿的扭轉矩形截面桿的扭轉 而短邊(x=b)是 次要的，可忽略。狹矩形截面桿1. 狹矩形截面桿 的扭轉 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2）在方程中，應主要考慮 y 向的導數， 而可忽略x向的導數，C2)(dd22bCy。)(b。42221byC)(a由式 和 ，可得可簡化為第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3）將 代入 求出 狹矩形桿的解答為,dd2MyxA)(c.63abMC.432231ybabM)(d1第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,63yabMzy; 0zx,32maxabM。GabMK33)(f)(ba)( . ,12gyxF矩形截面桿2.一般矩形截

27、面桿 的扭轉 以狹矩形桿解答為基礎，再迭加一個修正解的方法,進行求解：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 應滿足條件是2, 022 , 02s。MyxAdd22; 02 F , 02byF ;432232ybabMFax。MyxFAdd21)(h由上式可導出F應滿足的條件:第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 從式（h）可解出F，再由式（g）得 ，然后求出應力等解答（用雙曲函數和三角函數的級數表示）。書中列出了簡化的結果，見式（8-34）和（8-35）。2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答3. 薄壁桿件的扭轉),(ba )( f。GabMK33,32maxabM（2）從薄

28、膜比擬可見，當狹矩形的a,b相同 時，直線形和曲線形截面的薄膜是相 似的，它們的 相同。K,（1）薄壁桿件截面都是狹矩形 可以直接引用式 的解答。薄壁桿件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3）對于若干個狹矩形組成的構件，), 2 , 1(33iGbaMKiii。iiiibaGKMM33b.總扭矩是各個截面的扭矩之和， 由此解出,33iiiiibaMb)( 33ibaGMKiii。a.各個截面的扭角相同，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（4）閉口薄壁桿件的扭轉 設閉口薄壁桿的厚度為 ，中心線長為s，中心線包圍的面積為A，應用薄膜比擬，取外邊界 上， 則內邊界上的 不能再任意選

29、擇，應取 ，如圖，相當于有一塊無重鋼板懸掛于邊界上。由薄膜比擬：1s ; 01s hs2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,22AhVM。AMh2扭矩解出切應力yxozxzoyqTFTF hs(b)開口薄壁桿件(a)閉口薄壁桿件,h第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由此得出切應力)( 2jAM。2s,sindqAsFsThsin。TsFqdsAh其中 ，代入得 為了求扭角K, 可考慮內邊界 上無重鋼板的平衡條件：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由薄膜比擬， 代入上式，求出,2GKFqT)( d42ksGAMKs。GAMsK24當薄壁桿厚度 為常量時，第八章第八章 空間

30、問題的解答空間問題的解答思考題 試比較：矩形中心線的邊長為ab，厚度為的矩形的閉口薄壁桿件,和矩形開口薄壁件的切應力和扭角。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答例題1例題2例題3例題4例題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 解：引用“彈性力學簡明教程學習指導”8-2中關于空間位移勢函數 的解法， 應滿足泊松方程 例題1 試證明位移勢函數能解任意彈性體受均布壓力q的問題。),(222zyxAC2及邊界條件。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答取 滿足泊松方程。由式（8-8）從 求出應力分量, 在邊界面上，設法線的方向余弦為l,m,n, 則面力分量是將應力代入三個邊界條件，并

31、求出)(222zyxA,2Azyx。0 xyzxyz,lqfx,mqfy。nqfz。qA2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由此，得解答 對于多連體，還應從應力求出位移，并校核多連體中的位移單值條件是否滿足。顯然，位移單值條件是滿足的。, qzyx。0 xyzxyz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 設有無限大彈性體（空間體），在體內一小洞中受有集中力F 的作用，如圖(a)，試用拉甫位移函數 求解應力分量，其中 AR。2122)(zRRzFoz)(aozzz)(b例題2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答及邊界條件。 將代入方程，顯然是滿足的。再將代入應力公式（8-16）

32、，求出應力分量。 ).1(0222224z其中 解：引用“彈性力學簡明教程學習指導”8- 3中關于拉甫位移函數 的 解法，應滿足重調和方程 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 為了校核小洞中受集中力的邊界條件，在點o附近切出一薄板，圖(b)，應用圣維南原理來考慮此薄板的平衡條件。由于應力分量都是軸對稱的，且 對于z=0的面又是反對稱的，只須考慮下列平衡條件：zz z, 02d2)(0Fzzz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答而,3)21 (533RzRzAz。)1(8FA從而得出各應力分量為代入后得第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,)21 ()1 (83RzF,3)2

33、1 ()1 (8533RzRzFz。3)21 ()1 (8523RzRFz,3)21 ()1 (8523RzRzF第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答其中 而 均為調和函數，滿足),(32101zyxxu),(32102zyxyv),(32103zyxzw,)1 (413210,。0, 0, 0, 032221202 例題3 用代入法證明，下列的位移表達式是無體力時平衡微分方程的解答，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由于 都是調和函數，代入無體力的平衡方程均能滿足。H.Neuber等曾用這一形式的解答求出一批回轉體的解。 解：當無體力時，平衡微分方程是),(,0)211()1

34、(22zyxuxE。zwyvxu3210,其中體積應變第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答例題4 平面應力解答的近似性試從空間問題按應力求解的方法，來導出和考察平面應變問題和平面應力問題的基本理論。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答解： （1）對于平面應變問題，在常截面的很長柱體（可以假設為無限長），只有x,y方向的體力、面力和約束且沿z方向不變的條件下，由于任一橫截面（z面）均為對稱面，可以推論出，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答從式 可以得出，在式 中， 表示等式左邊的物理量僅為x,y的函數。),(, 0, 0yxfxyyxzyzxz)(b)()(ba 、。),()

35、(),(,yxfyxfyxzxyyx)(c)()()(cba、),(yxf);,(, 0yxfvuw)(a第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 將式 代入空間問題的平衡微分方程、相容方程、應力和位移邊界條件，可以得出平面應變問題的全部方程和條件，而其余的方程和條件均為自然滿足。例如，將式 代入空間問題的相容方程（書中式（8-10）、（8-11）得出)()()(cba、)(b,22222yxxyxyyx)(d而其余五式全部自然滿足。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 因此，從空間問題的基本理論，可以導出平面應變問題的理論。 （2）對于平面應力問題，在很薄的板，只受x,y方向的體力、

36、面力和約束，且不沿板厚方向（z向）變化；又在板面上無任何面力的條件下，由板面的邊界條件, 0),(2zzyzxz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 假設在彈性體內因此，只有平面應力 和 ，并進一步假設這就是平面應力問題。由上兩式，還可得出。0),(zyzxzyx ,xy。),(),(yxfxyyx)(e)( f),(),(yxfxyyx)(g。及),()(yxfEyxz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答將式 代入空間問題的相容方程（書中式 ），除了得出式 外，還得出)()()(gfe、)118()108(、)(d。0,0,022222yxxyzzz)(h第八章第八章 空間問題的

37、解答空間問題的解答 在一般的情況下，由式 得出的 顯然不能滿足相容方程 。 由此可見，平面應力問題的假設 不能保證所有的相容條件都得到滿足。因此，平面應力問題的理論是近似性的。)(g),(yxfz)(h),(),( , 0(yxfxyyxzyzxz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 但是Clebsch,A.證明，在條件 下從空間問題理論得出滿足所有相容方程的精確解答，是一般平面應力問題（假設 的解答，再補充一個沿板厚拋物線變化的修正解（與 成正比）。對于充分薄的板，)(e),(),(, 0),(yxfxyyxzyzxz 和2z第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 因此，平面應力問

38、題的解答，顯然不能滿足所有的相容條件，但對薄板卻仍是一個很好的近似解。讀者可參閱 8-4的詳細證明。11修正解遠小于第一部分平面應力問題的解，且只影響邊界附近的局部區域。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 8-2提示：同上題。應力應滿足平衡微分方程、相容方程及應力邊界條件（設 若為多連體，還應滿足位移單值條件。 8-1提示：應力應滿足平衡微分方程、相容方程及應力邊界條件（設 )。柱體的側面，在（x,y）平面上應考慮為任意形狀的邊界（n=0,l,m為任意的），并應用一般的應力邊界條件。第八章第八章 習題的提示和答案習題的提示和答案ss ),ss第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答

39、由于空間體為任意形狀，因此，應考慮一般的應力邊界條件（7-5）：法線的方向余弦為 l,m,n ，邊界面為任意斜面，受到法向壓力q 作用。為了考慮多連體中的位移單值條件，應由應力求出對應的位移，然后再檢查是否滿足單值條件。 8-3見8-2的討論。 8-4從書中式（8-2）和（8-12）可以導出。由結論可以看出位移分量和應力分量等的特性。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 8-5 為了求o點以下h處的位移，取出書中式（8-6）的，并作如下代換 Zh，R2a2， FdFq2dp,然后從oa 對 積分。 8-6 引用布西內斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是 zu。FEuzz201)(（1）求

40、矩形中心點的沉陷，采用圖8-9（a） 的坐標系， 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 代入并積分，,22yx yxqFddd,)d42ln()1 (dd)1 (dd)1 (2/2/2222222/2/2/2/2222/2/2/2/2220yyyaayaEqyxxyEqyxEyxqbbbbaabbaa 再應用部分積分得到，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答。)harsinharsin()1 (220abababEq a/2 a/2 b/2 b/2o22yx dxdyxyyxba22yx dydx(a)(b)第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答。)sinharsinhar()

41、1 (dd)1 (2002220abababEqyxyxEqab （2）求矩形角點處的沉陷，采用圖8-9(b) 的坐標系，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答8-8 題中 能滿足兩個圓弧處的邊界條件 。 然后，相似于上題進行求式 解。 的兩倍。8-7 題中 已滿足邊界條件 再由 便可求出切應力及扭角等。, 0)(s,222AMdxdyGK及BA為, 0)(s第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答8-9 分別從橢圓截面桿導出圓截面桿的解 答，和從矩形截面桿導出正方形截面 桿的解答；并由 ，得出 代入后進行比較即可得出。 8-10 參見8-8的討論。22raar第八章第八章 空間問題的解

42、答空間問題的解答 （一）本章的學習重點及要求 1、本章介紹空間問題的位移法和應力法，其思路和步驟與平面問題相似。讀者可對照平面問題來學習和理解。 2、空間問題的位移法比應力法尤為重要。一是因為位移法可以適用于各種邊界條件的問題；二是位移法的未知函數數目比應力法少，而在空間問題中，又沒有如第八章第八章 教學參考資料教學參考資料第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答平面問題那樣，有普遍性的應力函數存在。 在近似解法中，位移法得到廣泛的應用。 3、為了便于空間問題的求解，力學家和數學家提出了一些應力函數、位移勢函數和位移函數等來表示應力或位移，使相應的微分方程得到簡化，并從而得出了一些解答。但讀

43、者應注意，這些函數都是人為假定的和有局限性的，并不能作為空間問題的一般解，因為并不能保證這些函數在任何情況下都存在。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 4、扭轉問題 是空間問題中的一個專門問題。扭轉問題的理論，是從空間問題的基本方程出發，考慮扭轉問題的特性而建立起來的。扭轉問題的應力函數 （x,y）是x,y坐標變量的函數，所以仍然是二維問題。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 （二）本章的內容提要 1.在直角坐標系（x,y,z）中，按位移求解一般的空間問題時，取u,v,w為基本未知函數，它們應滿足 （1）用位移表示的平衡微分方程，, 0211122xfuxE),;,(wvuz

44、yx第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,zwyvxu。2222222zyxyuxvmxulE2211。xsfzuxwn2),;,(wvuzyx)(上在S （2）用位移表示的應力邊界條件，其中第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 2.在柱坐標系 中，按位移求解空間軸對稱問題時，取 為基本未知函數，它們僅為 的函數，應滿足)(上在uS ),(wvuuus。),(zzuu ,z , 02111222fuuE。0211122zzfuzE （1）用位移表示的平衡微分方程， （3）位移邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 3.在直角坐標系 中，按應力求解一般的空間問題時，取 為

45、基本未知函數，它們應滿足),(zyxxyzxyzzyx,),(0zyxfzyxxzxyxx。 （1）區域v內的平衡微分方程， （2）用位移表示的應力邊界條件。 （3）位移邊界條件。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 （3）在邊界上的應力邊界條件（假設全部為應力邊界條件 ），),)(1 ()1 (,)2(11)1 (22222zfyfzyzfyfxfxyzyzzyxx),(zyx。zyxSS ),()(zyxfnmlxSzxyxx。其中 （2）區域V內的相容方程，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 （4）若為多連體，還應滿足位移單值條件。 4.對于常截面桿的扭轉問題，可歸結為求解

46、一個扭轉應力函數 它應滿（1）截面區域A內的泊松方程，),(yx。GK22, 0)(S。MdxdyA2 式中K為單位長度柱體的扭角。 切應力公式是（2）邊界條件，。xyzyzx,第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 以下（三）（七）均參見“彈性力學簡明教程學習指導” （三）空間問題的位移勢函數和位移函數 按位移求解空間問題，也可以引用位移勢函數和位移函數，以簡化求解的方法。讀者同樣應注意，這些人為假定的位移勢函數或位移函數，不具有普遍性，只能用來解決某些問題。但作為解決問題的思路和方法，是值得我們參考和借鑒的。 1.用位移勢函數求解空間問題假設位移u,v,w 是有勢的函數，它們可以第八章

47、第八章 空間問題的解答空間問題的解答),(1zyxxEu。),(02zyxx。)(a,2C )(b式(a)可以歸并為將上式代入用位移表示的平衡微分方程（82），若不計體力，則得分別用位移勢函數(x,y,z)的導數來表示，即第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 求解的方法是：（1）由 求出 勢函數；（2）由 求位移（式（86）及應力（式（88）；, 02)78( ),(,222zyxzyxyzx。)88( 02將式（86）代入應力公式（81），則應力也可以用位移勢函數表示為 其中C為任意常數。若取C=0，則上式成為拉普拉斯方程， 為調和函數，即第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3

48、）使位移和應力滿足 和 上的邊界條件。 位移勢函數的局限性是， 是人為假定的，且體積應變 因此，它只適用于彈性體內各點均無體積應變的情形（如純剪切問題）。 2、用伽遼金位移函數求解空間問題 伽遼金假定位移可以表示為如下形式，uSS ,02第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答。)(121),(121),(121222zyxxEwzyxyEvzyxxEu其中,均為x,y,z函數。由于(x,y,z)具有對等性，上式也用對等的公式表示。 將位移表達式（89）代入用位移表示的平衡微分方程(82)，若不計體力，則得 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答)108(0,0,0444。式（810）是

49、,應滿足的方程，可見它們都是重調和函數。 應力也可以用位移函數來表示。于是，求解空間問題的位移u,v,w就化為求解,函數的問題，它們都應滿足重調和方程（810），并在邊界上滿足相應的邊界條件。引用這種位移函數，其未知函第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答數的數目并沒有減少，但使它們應滿足的方程簡化了。 力學家曾應用上述位移勢函數和位移函數解出一些空間問題的解答，有時還采用二者組合的方式來解。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答。zEuEuz1,1)118( 。0,022z代入用位移表示的空間軸對稱問題的平衡微分方程（書中式（a），若不計體力，得 （四）空間軸對稱問題的位移勢函數和位移函數 1、對于空間軸對稱問題，當不計體力時，位移分量可以用位移勢能數(,z)表