1、函數的實際應用1. 零點問題，在掌握二分法的解題步驟基礎上，學會分析轉化，能夠把與之有關的問題化歸為方程零點問題2. 函數模型的實際應用問題，主要抓住常見函數模型的訓練，如冪指對模型，二次函數模型，數列模型，分段函數模型等，解答的重點是在信息整理和建模上3. 掌握解函數應用題的方法與步驟：(1) 正確地將實際問題轉化為函數模型(建模)；(2) 用相關的函數知識進行合理的設計，確定最佳的解題方案，進行計算與推理(解模)；(3) 把計算或推理得到的結果代回到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問題進行總結作答(檢驗、作答)1. 函數f(x)exx2的零點為x0，則不小于x0的最小整數為_2.關于x的

2、方程x有負實根，則實數a的取值范圍是_3.某工廠的產值月平均增長率為p，則年平均增長率為_4.某人在2009年初貸款 m萬元，年利率為x，從次年初開始償還，每年償還的金額都是n萬元，到2012年初恰好還清，則n的值是_【例1】已知直線ymx(mR)與函數f(x)的圖象恰有3個不同的公共點，求實數m的取值范圍【例2】某村計劃建造一個室內面積為 800 m2的矩形蔬菜溫室在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留 1 m 寬的通道，沿前側內墻保留3 m寬的空地當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？【例3】 2014年青奧會水上運動項目將在J地舉行截至2010年底，投資集團

3、B在J地共投資100百萬元用于房地產和水上運動兩個項目的開發經調研，從2011年初到2014年底的四年間，B集團預期可從三個方面獲得利潤：一是房地產項目，四年獲得的利潤的值為該項目投資額(單位：百萬元)的20%；二是水上運動項目，四年獲得的利潤的值為該項目投資額(單位：百萬元)的算術平方根；三是旅游業，四年可獲得利潤10百萬元(1) B集團的投資應如何分配，才能使這四年總的預期利潤最大？(2) 假設從2012年起，J地政府每年都要向B集團征收資源占用費，2012年征收2百萬元，以后每年征收的金額比上一年增加10%.若B集團投資成功的標準是：從2011年初到2014年底，這四年總的預期利潤中值(

4、預期最大利潤與最小利潤的平均數)不低于總投資額的18%，問B集團投資是否成功？【例4】 已知函數f(x)x28x，g(x)6lnxm.(1) 求f(x)在區間t，t1上的最大值h(t)；(2) 是否存在實數m，使得yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由1. (2010·浙江)已知x0是函數f(x)2x 的一個零點若x1(1，x0)，x2(x0，)，則f(x1)f(x2)_0.(填“>”或“<”)2.(2011·北京)根據統計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)(A，c為常數)

5、已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A件產品時用時15分鐘，那么c和A的值分別是_3.(2010·浙江)某商家一月份至五月份累計銷售額達3 860萬元，預測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少達7 000萬元，則x 的最小值為_4.(2011·重慶)設m，k為整數，方程mx2kx20在區間(0,1)內有兩個不同的實根，則mk的最小值為_5.(2011·山東)某企業擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩

6、端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且l2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元設該容器的建造費用為y千元(1) 寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；(2) 求該容器的建造費用最小時的r.6.(2011·福建)某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y10(x6)2，其中3<x<6，a為常數，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1) 求a的值；(2) 若該商品的成本為3元/千克，

7、試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大(2011·湖南)(本小題滿分12分)如圖，長方形物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動，速度為v(v>0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(cR)E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：(1) P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設其值與|vc|×S成正比，比例系數為；(2) 其他面的淋雨量之和，其值為，記y為E移動過程中的總淋雨量，當移動距離d100，面積S時(1) 寫出y的表達式；(2) 設0v10,0c5，試根據c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少解析：(1) 由題意知，E

8、移動時單位時間內的淋雨量為|vc|，(2分)故y(3|vc|10). (6分)(2) 由(1)知，當0<vc時，y(3c3v10)15當c<v10時，y(3v3c10)15.故y( 8分) 當0<c時，y是關于v的減函數故當v10時，ymin20. (10分) 當<c5時，在(0，c上，y是關于v的減函數；在(c,10上，y是關于v的增函數；故當vc時，ymin. (12分)第4講函數的實際應用1. 下列命題正確的是_(填所有正確命題的序號) 若f(x)f(2x)，則f(x)的圖象關于點(1,0)對稱； 若f(x)f(2x)，則f(x)的圖象關于直線x1對稱； 若yf(

9、x1)是奇函數，則yf(x)關于點(1,0)對稱； 若yf(x1)是偶函數，則yf(x)關于直線x1對稱【答案】2. 已知二次函數yg(x)的導函數的圖象與直線y2x平行，且yg(x)在x1處取得最小值m1(m0)設函數f(x).(1) 若曲線yf(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；(2) k(kR)取何值時，函數yf(x)kx存在零點，并求出零點解： (1) 設g(x)ax2bxc，a0則g(x)2axb；又g(x)的圖象與直線y2x平行， 2a2， a1.又g(x)在x1時取最小值， 1， b2. g(1)abc12cm1， cm. f(x)x2.設P(x0，y0)，

10、則|PQ|2x(y02)2x22x2m22m. 22m2， m1或m1.(2) 由yf(x)kx(1k)x20，得(1k)x22xm0.(*)當k1時，方程(*)有一解x，函數yf(x)kx有一零點x；當k1時，方程(*)有兩解44m(1k)0.若m0，k1，函數yf(x)kx有兩個零點x；若m0，k1，函數yf(x)kx有兩個零點x；當k1時，方程(*)有一解44m(1k)0，k1， 函數yf(x)kx有一零點x.基礎訓練1. 1解析：f(0)0，f(1)0，x0(0,1)2. 解析：由1，得a5.3. (1p)1214. 解析：m(1x)3n(1x)2n(1x)n.n.例題選講例1解：作出

11、函數f(x)的圖象，可見要使直線ymx(mR)與函數f(x)的圖象恰有三個不同的公共點，只要yx21(x0)與直線ymx(mR)有兩個交點，即x21mx有兩個不等的正根，x22mx20有兩個不等的正根， 解得m.變式訓練(2011·北京)已知函數f(x)若關于x的方程f(x)k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是_【答案】(0,1)解析：f(x)(x2)單調遞減且值域為(0,1，f(x)(x1)3(x2)單調遞增且值域為(，1)，f(x)k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是(0,1)例2解：設溫室的長為x m，則寬為 m由已知得蔬菜的種植面積為S m2：S(x2)8004x88

12、084648(當且僅當x即x20時，取“”)答：當矩形溫室的邊長分別為20 m，40 m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積是648 m2.變式訓練某學校擬建一塊周長為400 m的操場如圖所示，操場的兩頭是半圓形，中間區域是矩形，學生做操一般安排在矩形區域，為了能讓學生的做操區域盡可能大，試問如何設計矩形的長和寬？解：設中間區域矩形的長、寬分別為x m、y m，中間的矩形區域面積為S m2.則半圓的周長為 m，因為操場周長為400 m，所以2x2×400，即2xy400. Sxy·(2x)·(y)·2，由解得當時等號成立答：設計矩形的長為100 m，寬約

13、為(63.7)m時，面積最大例3解：(1) 設B集團用于水上運動項目的投資為x百萬元，四年的總利潤為y百萬元，由題意，y0.2(100x)100.2x30，x0,100即y0.2(2.5)231.25，0,10所以當2.5，即x6.25時，ymax31.25.答：B集團在水上運動項目投資6.25百萬元，所獲得的利潤最大，為31.25百萬元(2) 由(1)知，在上繳資源占用費前，ymax31.25，ymin20.由題意，從2012年到2014年，B集團需上繳J地政府資源占用費共為2(11.111.12)6.62百萬元所以B集團這四年的預期利潤中值為6.6219.005.由于19.005%18%，

14、所以B集團投資能成功答：B集團在J地投資能成功注：若水上運動項目的利潤改為該項目投資額的算術平方根的k(k0)倍，如何討論？例4解：(1) f(x)x28x(x4)216.當t14，即t3時，f(x)在t，t1上單調遞增h(t)f(t1)(t1)28(t1)t26t7；當t4t1，即3t4時，h(t)f(4)16；當t4時，f(x)在t，t1上單調遞減，h(t)f(t)t28t.綜上，h(t)(2) 函數yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(x)g(x)f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點 (x)x28x6lnxm， (x)2x8(x0)，當x(0,1

15、)時，(x)0，(x)是增函數；當x(1,3)時，(x)0，(x)是減函數；當x(3，)時，(x)0，(x)是增函數；當x1或x3時，(x)0. (x)極大值(1)m7，(x)極小值(3)m6ln315. 當x充分接近0時，(x)0，當x充分大時，(x)0. 要使(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須即7m156ln3.所以存在實數m，使得函數yf(x)與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為(7,156ln3)高考回顧1. 解析：f(x)在(1，)單調遞增，f(x0)0，f(x1)0，f(x2)0.2. 60,16解析：由條件可知，xA時所用時間為常數，所以組裝

16、第4件產品用時必然滿足第一個分段函數，即f(4)30c60，f(A)15A16.3. 20解析：3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，x20.4. 13解析： 設f(x)mx2kx2，則方程mx2kx20在區間(0,1)內有兩個不同的根等價于因為f(0)2，所以f(1)mk20，故拋物線開口向上，于是m0,0k2m，令m1，則由k28m0，得k3，則m，所以m至少為2，但k28m0，故k至少為5，又m，所以m至少為3，又由mk252，所以m至少為4，依次類推，發現當m6，k7時，m，k首次滿足所有條件，故mk的最小值為13.5. 解：(1) 因為容器的體積為立方米，所以r3r2l，解得lr，由于l2r，因此0<r2，所以建造費用y2rl×34r2c2r××34r2c，因此y8r24cr2，定義域為(0,2(2) y16r8cr，由于c>3，所以c2>0，當r3時r，令m，則m>0，所以y(rm)(r2mrm2)當0<m<2即c>時，當rm時，y0；當r(0，m)時，y<0；當r(m,2)時，y>0，所以rm是函數y的極小值點，也是最小值點，當m2，即3<c時，當r(0,2)時，y<0，函數單調遞減，所以r2是函數y的最小值點綜