1、1 復變函數與積分變換 中國石油大學中國石油大學 理學院理學院2序言序言v函數論是數學研究中的一個十分重要的函數論是數學研究中的一個十分重要的領域。其中包括領域。其中包括兩大分支兩大分支：一是：一是實變函實變函數論數論（研究以實數作為自變量的函數，（研究以實數作為自變量的函數，高等數學研究的就是這一類函數）；另高等數學研究的就是這一類函數）；另一是一是復變函數論復變函數論（研究以復數為自變量（研究以復數為自變量的函數）這門課就是介紹一下復變函數的函數）這門課就是介紹一下復變函數論。論。3先先從從二次方程二次方程談起談起解方程 ；其中 242bbacxa 公式公式：v此公式早此公式早于于公元前四

2、百年，已被公元前四百年，已被巴比巴比倫倫人人發現發現和使用。和使用。v在在中中國國的古籍的古籍九章算術九章算術中，亦有提及中，亦有提及與與二二次方程有次方程有關關的的問題問題。v復變函數的產生和發展簡史：復變函數的產生和發展簡史： 20axbxc0.a 4由二次方程到三次方程由二次方程到三次方程v由由于實際應于實際應用上的需要，亦由用上的需要，亦由于于人人類類求知求知欲欲的的驅使驅使，很自然地，人很自然地，人類類就就開始尋找開始尋找三次方程的解法。三次方程的解法。v即即尋找尋找方程方程 一般根式解。一般根式解。v很可惜，很可惜，經過經過了差不多二千年的了差不多二千年的時間時間，依然沒，依然沒有

3、很大的有很大的進展進展！320axbxcxd5 怪怪杰杰v卡丹卡丹諾諾 (Girolamo Cardano; 1501 1576)v一一個個多才多多才多藝藝的的學學者者v一一個放蕩不羈的無賴個放蕩不羈的無賴v他精通他精通數學數學、醫學醫學、語語言學言學、天文、天文學學、占星、占星學學v一生充一生充滿傳奇滿傳奇，人，人們稱們稱他為他為怪怪杰杰。6 怪怪杰杰v1545 1545 年，年，卡丹卡丹諾諾在他的在他的著作著作大術大術（Ars Ars MagnaMagna）中，介）中，介紹紹了解了解三三次方程的方法。次方程的方法。v從此從此，解三次方程的，解三次方程的方法，就被方法，就被稱為稱為卡卡丹丹諾

4、諾公式公式。7卡丹卡丹諾諾公式公式解方程解方程 公式：公式： 232333223223nnmnnmx例一例一解解 x3 + 6x = 20注意注意：m = 6、n = 20 x = 331010810108 = 2 3.xmxn8卡丹卡丹諾諾公式公式解方程解方程 公式：公式： 例二例二解解 x3 = 15x + 4注意：注意：m = 15、n = 4 x = 2121212133（無無解）解）但非常明但非常明顯顯，x = 4 是方程的一是方程的一個個解！解！3.xmxn232333223223nnmnnmx9另另辟蹊徑辟蹊徑v韋達韋達（Franois Vite; Franois Vite; 1

5、540 1540 1603 1603）v法法國國人，人，律律師師兼兼業余數業余數學學家。家。v在三角在三角學學、代、代數學數學、方、方程理程理論論及及幾幾何何學學都有都有杰杰出貢獻出貢獻。v1591 1591 年，利用年，利用恒恒等式等式 cos3cos3A A = 4cos = 4cos3 3A A 3cos3cosA A，解三次方程。，解三次方程。10 虛數虛數v笛卡笛卡爾爾（Ren Decartes; Ren Decartes; 1596 1596 1650 1650）v法法國國著名的哲著名的哲學學家家v坐坐標幾何標幾何的的創創始人始人v1637 1637 年，他年，他稱稱一一個負數個負

6、數的的開開方方為為 虛數虛數(imaginary(imaginary number)number)。v但他不承但他不承認虛數認虛數是是數數字的字的一一種種。11 一開始人們對復數的認識僅僅在于一種一開始人們對復數的認識僅僅在于一種形式上的表示，對復數的概念及性質了解得形式上的表示，對復數的概念及性質了解得不清楚，用它們進行計算時就有一些矛盾的不清楚，用它們進行計算時就有一些矛盾的結果產生。例如：在萊布尼茲和貝努里的工結果產生。例如：在萊布尼茲和貝努里的工作中就有因為輕易引進復對數而產生的悖論：作中就有因為輕易引進復對數而產生的悖論：值得一提的是值得一提的是12 xdxxx0211arctanx

7、dxxixii01121)(12121210lnlnlnixixiixixiixxixiiln21 這樣取這樣取X =1，得，得112114iiilnarctan21141)ln(iii12124122iiiiiln0181lni矛盾！矛盾！13 一大突破一大突破v棣美弗棣美弗（Abraham de Abraham de Moivre; 1667 Moivre; 1667 1754 1754）v法法國數學國數學家，早期概家，早期概率理率理論論著作者之一著作者之一v最著名的成就，是最著名的成就，是發發現現棣美弗定理，棣美弗定理，把三角函把三角函數數引入引入復數復數運算運算之中。之中。14復變函數

8、復變函數的引入的引入v歐拉歐拉（Leonhard Euler, Leonhard Euler, 1707 - 17831707 - 1783）v瑞士瑞士數學數學家。家。v13 13 歲歲入大入大學學，1717歲歲取取得得碩士學碩士學位，位，3030歲歲右眼右眼失明，失明，6060歲歲完全失明。完全失明。v著作非常多，深入每著作非常多，深入每個個數學數學分支，分支，對后世對后世影影響響深遠深遠。15復變函數復變函數的引入的引入v1748 1748 年，年，歐拉歐拉發現發現了了復復指指數函數數函數和三角函和三角函數數的的關關系系，並並寫寫出以下公式：出以下公式：v17771777年，在他的著作年，

9、在他的著作微分公式微分公式中，首次使中，首次使用用 i i 來表示來表示虛數虛數。v他他創立創立了了復變函數論復變函數論，并并把它把它們應們應用到水力用到水力學學、地圖制圖學地圖制圖學上。上。cossinixexix16幾何解釋幾何解釋v17971797年，年，挪威挪威數學家數學家維塞爾維塞爾（Caspar Wessel; Caspar Wessel; 1745 1745 1818 1818）提出）提出復數復數的的幾何解釋幾何解釋。實軸實軸虛軸虛軸Oa + bir= r (cos + i sin)v18061806年，年，法法國國數學家數學家阿根阿根（Jean Robert Jean Robe

10、rt Argand; 1768 Argand; 1768 18221822）亦提出）亦提出類似類似的的解解釋釋。v自此，人自此，人們們亦亦稱復數稱復數平面平面為為阿根阿根圓圓。17代代數數基本定理基本定理v高斯高斯（Carl Friedrich Carl Friedrich Gauss; 1777 - 1855Gauss; 1777 - 1855）v德德國國數學數學家，人家，人稱稱數數學學王子。王子。v1818歲時歲時，運運用一些用一些復數復數運算運算原理，以尺規原理，以尺規畫畫出出正十七正十七邊邊形。形。v2020歲歲取得博士取得博士學學位，並位，並成功地成功地證證明了代明了代數數基基本定理

11、。本定理。v確定復數的名稱。確定復數的名稱。18拉普拉斯，歐拉和達朗貝爾是復變函數論的先驅拉普拉斯，歐拉和達朗貝爾是復變函數論的先驅。17771777年年3 3月，歐拉向彼得堡科學院提交了一篇論月，歐拉向彼得堡科學院提交了一篇論文，論文中考慮了復變函數的積分文，論文中考慮了復變函數的積分( ),( )( , )( , )f z dzf zu x yiv x y 其其中中滿滿足足方方程程,uvuvxyyx 比歐拉更早，達朗貝爾在比歐拉更早，達朗貝爾在17521752年關于流體力學論年關于流體力學論文中已經得到這兩個方程，有的教科書成這兩個文中已經得到這兩個方程，有的教科書成這兩個方程為達朗貝爾方

12、程為達朗貝爾歐拉方程。歐拉方程。19 十九世紀，復變函數的理論經過法國數學家十九世紀，復變函數的理論經過法國數學家Cauchy、德國數學家、德國數學家 Rieman和和Weierstrass的巨大的巨大努力，已經形成了非常系統的理論，并且深刻地滲入努力，已經形成了非常系統的理論，并且深刻地滲入到數學學科的許多分支。例如，著名的到數學學科的許多分支。例如，著名的代數學基本定代數學基本定理：理：101100 (0)nnnnazaza z aa （其中系數都是復數），在復數域內恒有（其中系數都是復數），在復數域內恒有n個解。個解。用復變函數理論來證明是非常簡潔的。用復變函數理論來證明是非常簡潔的。一

13、元一元n次方程次方程 柯西，黎曼，維爾斯特拉斯是復變函數論柯西，黎曼，維爾斯特拉斯是復變函數論的奠基者。的奠基者。20 我國數學家我國數學家楊樂、張廣厚楊樂、張廣厚在在單復變函數的值單復變函數的值分布理論和漸進值理論分布理論和漸進值理論的研究中取得了具有世界的研究中取得了具有世界水平的成果，他們的研究進一步充實了復變函數水平的成果，他們的研究進一步充實了復變函數論的理論。論的理論。 近幾十年來，復變函數論又有了很大的進展，近幾十年來，復變函數論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家龐加萊、阿達馬都做了大量的研究工作，數學家龐

14、加萊、阿達馬都做了大量的研究工作，開拓了復變函數更廣闊的領域。開拓了復變函數更廣闊的領域。21 現在，復變函數理論及方法在數學及工程現在，復變函數理論及方法在數學及工程技術中有著廣泛的應用。比如，在復變函數理論技術中有著廣泛的應用。比如，在復變函數理論最先得到成功應用的最先得到成功應用的流體力學、電磁學、平面彈流體力學、電磁學、平面彈性力學性力學這三個領域中，復變函數方法已經發展成這三個領域中，復變函數方法已經發展成為解決有關問題的幾種經典方法之一。為解決有關問題的幾種經典方法之一。 復變函數不僅在其他學科得到廣泛應用，而復變函數不僅在其他學科得到廣泛應用，而且在數學領域里，許多分支也都應用它

15、的理論，且在數學領域里，許多分支也都應用它的理論，他已經深入到他已經深入到微分方程、積分方程、概率論和數微分方程、積分方程、概率論和數論論等學科，對他們的發展有很大的影響。等學科，對他們的發展有很大的影響。復變函數的應用復變函數的應用 22第一章第一章 復數與復變函數復數與復變函數主要內容1 1、復數及其表示方法、復數及其表示方法2 2、復數運算、復數運算3 3、平面點、平面點集集4 4、復變函數的連續性、復變函數的連續性23注注: :(1)(1)兩個復數相等，是指二者實部、虛部分別相同；兩個復數相等，是指二者實部、虛部分別相同； (2)(2)兩個復數之間無法比較大小，除非都是實數兩個復數之間

16、無法比較大小，除非都是實數. .1.1 復數及其四則運算復數及其四則運算,.zxiyx y形如的表達式，稱為復數，其中為實數1 1、復數的概念、復數的概念其中其中.12 ii為為虛虛數數單單位位，);Re( zx 實部實部);Im( zy 虛部虛部. ziyxiyx的的共共軛軛復復數數，記記為為為為 共軛共軛24 加、減加、減：);()(212121yyixxzz 乘乘 法法：);()(1221212121yxyxiyyxxzz 注注:.)(22yxiyxiyxzz 2 2、復數的四則運算、復數的四則運算則則設設,222111iyxziyxz 除法：除法：).0(222222112222221

17、2121 zyxyxyxiyxyyxxzzz25 容易證明容易證明:復數的運算滿足分配律、交換律、復數的運算滿足分配律、交換律、結合律結合律. 另外，還經常用到以下性質：另外，還經常用到以下性質：;)1(2121zzzz ;)2(2121zzzz );0()()3(22121 zzzzzRe( )Im( )z+ z = 2z , z-z = 2iz .提示：提示：.11, 1 yx(4)(4)例如，設例如，設1(3)1, .53xi yix yi 求實數例如：設例如：設zzziiz ,4321求求26有序實數對有序實數對(x,y)平面上一點平面上一點P實軸、實軸、 虛軸、復平面虛軸、復平面Z

18、Z 平面、平面、 w w 平面平面1.1.復平面復平面復數的幾種常見表示法復數的幾種常見表示法xyOzxiy復數復數 zxiy代數表代數表示示27OxyXYPrz=x+iyz x iy ()P xy點，OP 2.2.復數的向量表示復數的向量表示模模 ： 輻角：輻角：r幾何表示幾何表示 28:.A rg022| z |=| O P |= r =x+ y,z(z)記記 作作模模 : :輻輻 角角 0tan(Arg )，時時yzz =.x顯然顯然為整數為整數. 0Argz = =+ 2k, k 29復數向量表示的重要意義：復數向量表示的重要意義： 能夠將代數問題化為幾何問題，從而使問題能夠將代數問題

19、化為幾何問題，從而使問題變得直觀變得直觀, 由此立即得到下面不等式：由此立即得到下面不等式：還容易看出還容易看出=, a r g= -a r g.zzzzoxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得303、 復數的三角表示復數的三角表示cossinxryr根據根據上式稱為復數的上式稱為復數的三角表示三角表示.xiyxzyrOxy可以得到可以得到).sin(cosirz 4、 復數的指數表示復數的指數表示由歐拉公式由歐拉公式sincosiei 可以得到復數的指數表示式可以得到復數的指數表示式:.irez 31(1) 南極、

20、北極的定義南極、北極的定義0 取取一一張張復復平平面面, , 再再做做一一個個與與復復平平面面切切于于原原點點的的球球面面 , , z =通通過過作作垂垂直直于于復復平平面面的的 直直線線與與球球面面相相交交于于另另一一點點 , , O N, 北北極極我我們們稱稱為為NxyONSz南南極極與與北北極極對對應應的的稱稱為為, ,也也可可用用 表表示示. . NOS5、 復數的球面表示復數的球面表示32xxONSzP(z)z 球面上的點球面上的點, 除去北極除去北極 N 外外, 與復平面內與復平面內的點之間存在著一一對應的關系的點之間存在著一一對應的關系. 我們可以用我們可以用球面上的點來表示復數

21、球面上的點來表示復數.(2) 復球面的定義復球面的定義 用來表示復用來表示復數的這個球面稱數的這個球面稱為為復球面復球面. 全體復數與全體復數與復球面復球面-N成一成一一對應關系一對應關系.33因而球面上的北極因而球面上的北極 N 就是復數就是復數 的幾何表示的幾何表示.xxONSzP(z)z(3) 擴充復平面的定義擴充復平面的定義我們規定我們規定: : 北極北極N N與與一個模為一個模為無窮大的無窮大的假想的點對應假想的點對應這個假想的點稱這個假想的點稱為為“復數無窮遠復數無窮遠點點” 記作記作 . .復平面加上復平面加上 后稱為擴充復平面，記作后稱為擴充復平面，記作C C 34 () (0

22、), 0 (), (0,)0aaaaaaaaaaa 但可為注：如不聲明，我們討論的都是有限復平面。注：如不聲明，我們討論的都是有限復平面。關于關于的運算，規定如下：的運算，規定如下： , 0, , 。其其它它運運算算如如: :我我們們不不規規定定其其意意義義00仍然不確定。仍然不確定。35例例1. 1. 下列方程各表示什么曲線？下列方程各表示什么曲線？4） 寫出直線的復數形式方程寫出直線的復數形式方程. .1）2zi ，2）22zizi ，解：解：1)、2)的關鍵是知道復數模的幾何意義，的關鍵是知道復數模的幾何意義，所以：所以：1）表示圓周，）表示圓周， 2）表示直線）表示直線.(3)(3)4

23、i zizi ，3） 注：復數的各種表達式可以互相轉換，在討論具注：復數的各種表達式可以互相轉換，在討論具體問題時應靈活選用體問題時應靈活選用. .363 3）化為實方程，為此代入）化為實方程，為此代入zxiy，得，得33334xixiyyixxyiyi化簡，得化簡，得264xy，表示一條直線，表示一條直線. .4 4）由）由,zxiyzxiy 得得z+zz-zx=,y=,22i代入直線方程代入直線方程ax + by+ c = 0,a -bia+ biz+z+ c = 0.22因而直線的方程為因而直線的方程為0zz，其中，其中 為實數為實數. .37112255 ,34 , ()().1212

24、z=-i z= -+izzzzzz例例令令求求及及2 2. . I Im m12557345:ziizi 解解411ii 例例 3 3. . 求求1,1iii 提提示示：3822222.121212z + zz - zzz例例4 4證證明明: :31(1);(2)(12 )(23);1cossin(3)(13) ;(4).cossiniiiiii例例5 5求求下下列列復復數數的的實實部部、虛虛部部和和共共軛軛復復數數. .sincos)();()()()(;)( 22434322283211iiii 39本講小結：本講小結：1 1、復數的各種表示法、復數的各種表示法2 2、復數的四則運算、共軛

25、運算、復數的四則運算、共軛運算作業：P15 1（2,3,4）；2（2,4,5）；4.40 1.3 1.3 復數的乘冪與方根運算復數的乘冪與方根運算1、乘積與商乘積與商,)sin(cos,)sin(cos212222211111iierirzerirz 設設;),sin()cos()sin)(cossin(cos)(212121212211212121 ierrirriirrzz則則因此因此121 21212Arg()Arg()Arg()| z z |= r r ,z z=z+z注意多值性注意多值性41)()()(2121zArgzArgzzArgxyO1z2z21zz2ArgzArgzArgz22ArgzArgzarg2Argzzk(0, 1, 2,)k 判斷下列說法是否正確？判斷下列說法是否正確？幾何解釋幾何解釋(T)(F)42除法運算除法運算10z2211=zzzz2211=zzzz2211Arg = Arg + Arg zzzz2211=,zzzz2211Arg = Arg -Arg zzzz21(-)2211=i zrezr或者或者集合等式集合等式43例：已知正三角形的