1、夾角問題：夾角問題：lamb(1) , l m的夾角為 ，coscos, ab則 lamb 第1頁/共22頁夾角問題：夾角問題：(2) , l的夾角為 ，sincos, a u 則uu cos(-cos(- )= cos )= cos 2 2u cos(+cos(+ )= cos )= cos 2 2 ula la 第2頁/共22頁夾角問題：夾角問題：(3) , 的夾角為 ，u v 則coscos =cos =cos u v 第3頁/共22頁夾角問題：夾角問題：(3) , 的夾角為 ，u v 則coscos =cos =cos u v 第4頁/共22頁xyz 解解1 1：以點C為坐標原點建立空

2、間直角坐標系 如圖所示，設 則： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D11(,0,1),2AF 11 1(, 1)2 2D B 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F3030=.=.1010所以 與 所成角的余弦值為1BD1AF30100111111111111 90 , ,Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例1、 中，現將沿著平面的法向量平移到位置，已知取、的中點、 ，求與所成的角的余弦值.第5頁/共22頁0111111111111 90 ,

3、 ,Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例1、 中，現將沿著平面的法向量平移到位置，已知取、的中點、 ，求與所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解解2：第6頁/共22頁例例2、 空間四邊形空間四邊形ABCD中，中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB與與CD成成600角，求角，求AD與與BC所成的角大小所成的角大小.1AB 解 設ADABBCCD 2222 222ADABBCCDAB BCBC CDAB CD 1 1 1 00 14 2AD ()1AD BCABBCCD BC cos,1/ 2AD BC 第7頁/共22頁例例3 3、 的棱長為 1

4、.111.B CAB C求與 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解1 建立直角坐標系建立直角坐標系.11(010)則，- ， ，BC B 11 平面AB C的一個法向量為D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以與面所成的角的正弦值為。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF第8頁/共22頁例例3 3、的棱長為 1.111.B CAB C求與 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解2 A1xD1B1ADBCC1yzEF第9頁/共22頁 例例4、 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側棱正方形，側棱PD底面底面

5、ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點，作中點，作EFPB交交PB于點于點F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F第10頁/共22頁,2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。) 1,(),(zyxPFzyxF則的坐標為設點PBkPF 因為( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因為0131)1 ,() 1, 1 , 1 (kkkkkkk所以31k所以ABCDPEFXYZ1 1 2()3 3 3F，(3) 解 建立空間直角坐標系，設DC=1.第11頁/共22頁)

6、323131(，的坐標為點F)21,21, 0(的坐標為又點E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因為60 ,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小為 112(,)333FD 第12頁/共22頁 例例4、 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側棱正方形，側棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點，作中點，作EFPB交交PB于點于點F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一個法向量為的一個法向量為 解2 如圖

7、所示建立空間直角坐標系，設DC=1.1 1(0, )2 2DE 平面平面PBD的一個法向量為的一個法向量為G11( ,0)22CG 1cos,1/2DE GC cos1/ 2, 60第13頁/共22頁 例例4、 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側棱正方形，側棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點，作中點，作EFPB交交PB于點于點F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F 解3 設DC=1., 2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。第14頁/共22頁例例5 5

8、、 的棱長為 1.1.BD求二面角A-C的大小解解1 建立直角坐標系建立直角坐標系.A1xD1B1ADBCC1yz平面平面PBD1的一個法向量為的一個法向量為1(0,1,1)DA 平面平面CBD1的一個法向量為的一個法向量為1(1,0,1)DC 11cos,1/2DA DC cos1/ 2, 120 10 .BD二面角A-C的大小為12第15頁/共22頁的棱長為 1.1.BD求二面角A-C的大小解解2A1D1B1ADBCC1例例5 5、 第16頁/共22頁距離問題：距離問題：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 則則222121212()()()ABxxyyzz第17頁/共22頁距離問題：距離問題：asin, dAPAP a (2) 點點P與直線與直線l的距離為的距離為d , 則則第18頁/共22頁距離問題：