1、 感應電機的動態分析與矢量控制感應電機的動態分析與矢量控制第一節第一節 三相坐標系中感應電機的動態方程三相坐標系中感應電機的動態方程第二節第二節 坐標變換與空間矢量坐標變換與空間矢量第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型第四節第四節 三相感應電動機起動過程的動態分析三相感應電動機起動過程的動態分析第五節第五節 感應電動機的矢量控制感應電動機的矢量控制第一節第一節 三相坐標系中感應電機的動三相坐標系中感應電機的動態方程態方程 建立三相感應電機動態數學模型時的假設建立三相感應電機動態數學模型時的假設： 忽略空間諧波，各繞組產生的磁動勢在空間上正弦分布；

2、不考慮磁路飽和，并忽略鐵耗，各繞組的自感和互感均與繞組內的電流大小無關； 定、轉子表面光滑，不計齒槽的影響； 不考慮頻率和溫度變化對繞組電阻的影響。 三相感應電機物理模型三相感應電機物理模型 三相感應電機物理模型如圖10-1所示。 正方向規定正方向規定 規定各繞組電壓、電流、磁鏈等的正方向符合電動機慣例電動機慣例 。第一節第一節 三相坐標系中感應電機的動三相坐標系中感應電機的動態方程態方程一、電壓方程一、電壓方程二、磁鏈方程二、磁鏈方程三、轉矩方程和機械運動方程三、轉矩方程和機械運動方程四、三相坐標系中感應電機的動態數學模型四、三相坐標系中感應電機的動態數學模型 三相坐標系中感應電機的動態方程

3、由電壓方程電壓方程、磁鏈方程磁鏈方程、轉矩方程轉矩方程和機械運動方程機械運動方程組成。 一、電壓方程一、電壓方程 三相轉子繞組的電壓方程為一、電壓方程一、電壓方程 三相定子繞組的電壓平衡方程為 tRiutRiutRiuddddddCsCCBsBBAsAA（10-1） tRiutRiutRiuddddddcrccbrbbaraa（10-2） 一、電壓方程一、電壓方程或簡寫成將電壓方程寫成矩陣形式，并以微分算子p代替符號d /dt有 （10-3） （10-3a） cbaCBAcbaCBArrrssscbaCBA000000000000000000000000000000piiiiiiRRRRRRu

4、uuuuuRiup二、磁鏈方程二、磁鏈方程或寫成 二、磁鏈方程二、磁鏈方程 每個繞組的磁鏈都是它本身的自感磁鏈和其它繞組對它的互感磁鏈之和，因此六個繞組的磁鏈可表達為cbaCBAcccbcacCcBcAbcbbbabCbBbAacabaaaCaBaACcCbCaCCCBCABcBbBaBCBBBAAcAbAaACABAAcbaCBAiiiiiiLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（10-4） （10-4a） Li 二、磁鏈方程二、磁鏈方程轉子各繞組的自感和互感為 定子各繞組的自感和互感為（10-8） （10-9） lsmsCCBBAALLLLLmsACCBB

5、ACABCAB21LLLLLLLlrmslrmrccbbaaLLLLLLLmsmraccbbacabcab2121LLLLLLLL（10-10） （10-11） 定、轉子繞組之間的互感為 cosmscCCcbBBbaAAaLLLLLLL)120cos(msbCCbaBBacAAcLLLLLLL)120cos(msaCCacBBcbAAbLLLLLLL（10-12） （10-13） （10-14） 二、磁鏈方程二、磁鏈方程式中 將式（10-8）（10-14）代入式（10-4），可得完整的磁鏈方程 。常寫成分塊矩陣的形式 （10-15） （10-16） rsrrrssrssrsiiLLLLTCBA

6、sTcbarTCBAsiiiiTcbariiiilsmsmsmsmslsmsmsmsmslsmsss212121212121LLLLLLLLLLLLL二、磁鏈方程二、磁鏈方程 值得注意的是，L Lrs和L Lsr兩個分塊矩陣互為轉置，且均與轉子位置角有關，它們的元素都是變參數，這是系統非線性的一個根源。 （10-17） （10-18） lrmsmsmsmslrmsmsmsmslrmsrr212121212121LLLLLLLLLLLLLcos)120cos()120cos()120cos(cos)120cos()120cos()120cos(cosmsTsrrsLLL二、磁鏈方程二、磁鏈方程

7、其中，L Ldi i /dt 項是由于電流變化引起的感應電動勢，(L L / )i i 項是由于定、轉子相對位置變化產生的與轉速成正比的旋轉電動勢。 （10-19） 如果把磁鏈方程代入電壓方程，可以得到展開后的電壓方程iLiLRiiLiLRiLiRiutttpdddddd)(三、轉矩方程和機械運動方程三、轉矩方程和機械運動方程 考慮到機械位移角m=/pn，pn為電機的極對數，則有 三、轉矩方程和機械運動方程三、轉矩方程和機械運動方程 根據機電能量轉換原理，若整個電機內的磁共能為W，則電磁轉矩Te應當等于磁共能對轉子機械角位移m的偏導數（電流恒定時）。在線性電感的條件下，磁共能為 LiiiTT2

8、121WW（10-20） iLLiiLi002121rssrTnTn.constn.constmeppWpWTii（10-21） 三、轉矩方程和機械運動方程三、轉矩方程和機械運動方程代入式（10-21），得又考慮到 （10-22） （10-22a） cbaCBATrTsTiiiiiiiiirsrTssrsTrne21iLiiLipT 將式（10-18）代入式（10-22）并展開，得)120sin()()120sin()(sin)(bCaBcAaCcBbAcCbBaAmsneiiiiiiiiiiiiiiiiiiLpT 系統的機械運動方程為 tpJpRTTddnnLe（10-23） 四、三相坐標系

9、中感應電機的動態四、三相坐標系中感應電機的動態數學模型數學模型 這是一組變系數非線性微分方程，在用數值法求解時常寫成狀態方程的標準形式 四、三相坐標系中感應電機的動態數學模型四、三相坐標系中感應電機的動態數學模型 匯總上述電壓方程（10-19）、磁鏈方程（10-15）、運動方程（10-23）和轉矩方程（10-21）或（10-22），再結合角速度方程=d/dt，即得到三相坐標系中感應電機的動態數學模型，用微分方程表示為 ttpJpRTptdddd21ddnnLTniLiiLiLRiu（10-24） 四、三相坐標系中感應電機的動態四、三相坐標系中感應電機的動態數學模型數學模型 式中，x和 分別為狀

10、態向量及其對時間的導數；v為輸入向量；A A為系統矩陣；B B為控制矩陣。 寫成矩陣形式時為（10-25） tTpRpJpttdd)21(dd)(ddLnTnn11iLiuLiLRLiBvAxx（10-26） x 四、三相坐標系中感應電機的動態四、三相坐標系中感應電機的動態數學模型數學模型（10-27） （10-28） ixt ddxx LTuv0100200)(T2n1JRJpLiLRLA0000n1JpLB第二節第二節 坐標變換與空間矢量坐標變換與空間矢量一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎 1.1.線性變換與功率不變約束線性變換與功率不變約束 2.2.坐標變換與電機繞組等效坐標變換與電機繞組

11、等效二、空間矢量二、空間矢量三、坐標變換三、坐標變換 1. 1. 三相靜止坐標系與兩相任意旋轉坐標系的坐標變換三相靜止坐標系與兩相任意旋轉坐標系的坐標變換 2.2.常用坐標系和坐標變換常用坐標系和坐標變換 3.3.滿足功率不變約束的坐標變換滿足功率不變約束的坐標變換一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎 所謂坐標變換坐標變換就是將方程中的一組變量用一組新的變量來代替，或者說用新的坐標系去替換原來的坐標系，以便使分析、計算得以簡化。若新、舊變量之間為線性關系，則變換為線性變換線性變換，電機分析中用到的坐標變換都是線性變換。 以前述感應電機動態方程為例，在轉速恒定的情況下

12、，通過適當的坐標變換，可以將原來坐標系下含有時變系數的電感矩陣變成常數陣，相應的電壓方程變成常系數微分方程，使解析求解得以實現。一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎1.1.線性變換與功率不變約束線性變換與功率不變約束 設有一線性電路，其電壓方程的矩陣形式為 ziu （10-29） 現進行坐標變換，將原有的電壓u、電流i變換成新的電壓u 和電流i ，設電壓變換矩陣為Cu，電流變換矩陣為Ci，理論上電壓和電流可以采用不同的變換矩陣，即Cu和Ci可以不同，但在電機分析中，通常取Cu和Ci為同一矩陣C，于是有 uCuiCi（10-30） （10-31） 一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎 為使原變量與新變量

13、之間存在單值對應關系，變換矩陣C必須是方陣，且其行列式的值必須不等于零，這樣逆矩陣C-1才能存在。 根據式（10-29）（10-31），用新變量表示時的電壓方程為 （10-33） （10-32） )(11izizCCuCuzCCz1式中，z為變換后的阻抗矩陣 矩陣C、u、i中的元素可以是實數（實變量），也可以是復數（復變量），下面僅以它們為實數（實變量）為例來討論坐標變換的功率不變約束。 一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎變換前輸入（或輸出）電路的瞬時功率為 變換后的瞬時功率為（10-35） （10-34） 若要保證變換前后功率不變，則應有 將式（10-30）（10-31）代入式（10-34），

14、可得niiiiu1Tui niiiiu1TuiuiuiTT（10-36） uCCiuCiCui)()()(TTTT（10-37） 一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎 欲滿足式（10-36），必須使上式中其中，I 為單位矩陣。即應有（10-39） （10-38） 滿足式（10-39）的變換稱為正交變換正交變換。 需要說明的是，坐標變換不一定要滿足功率不變約束。若變換前后功率不守恒，只需在計算功率和電磁轉矩時引入相應的系數進行修正即可。目前廣泛應用的派克（Park）變換就是功率不守恒的坐標變換。ICCT1T CC一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎2. 2. 坐標變換與電機繞組等效坐標變換與電機繞組等效

15、 從物理意義上看，電機分析中的坐標變換可以看作電機繞組的等效變換。進行坐標變換的目的是使方程簡化，三相坐標系中電機動態方程復雜的主要原因在于：由于三相繞組非正交，三相定子繞組之間及三相轉子繞組之間存在復雜的耦合關系；同時由于定、轉子繞組有相對運動，使定、轉子繞組間的互感隨著時間變化。為了簡化方程，可以設想用兩相正交繞組代替（或等效）三相定、轉子繞組，這樣就可以消除定子繞組之間及轉子繞組之間的互感，如果進一步使定、轉子繞組相對靜止，例如將轉子繞組用靜止繞組等效，則定、轉子繞組間的互感將變為常數，從而使微分方程大為簡化。 一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎 在感應電機中，最重要的就是旋轉磁場的產生。

16、以定子繞組為例，不管繞組的具體結構和參數如何，只要其產生磁場的空間分布、轉速、轉向相同，它與轉子的相互作用情況就相同，即在轉子中產生感應電動勢、電流及電磁轉矩的情況相同，也就是說從轉子側只能看到定子繞組產生的磁場，而看不到產生磁場的定子繞組本身。對轉子繞組有同樣的結論，從定子側只能看到轉子繞組產生的磁場，而看不到轉子繞組的具體結構。因此，從產生磁場的角度看，不同結構形式或參數的繞組是可以相互等效的，在感應電機分析中通常將籠型轉子等效成繞線轉子進行分析、計算也正是基于這一點。 一、坐標變換基礎一、坐標變換基礎u三相靜止繞組、兩相靜止繞組和兩相旋轉繞組間的等效三相靜止繞組、兩相靜止繞組和兩相旋轉繞

17、組間的等效 可見，以產生同樣的旋轉磁動勢為準則，三相靜止繞以產生同樣的旋轉磁動勢為準則，三相靜止繞組、兩相靜止繞組和兩相旋轉繞組可以彼此等效組、兩相靜止繞組和兩相旋轉繞組可以彼此等效。從坐標變換的角度看，就是三相靜止坐標系下的iA、iB、iC和兩相靜止坐標系下的i、i以及兩相旋轉坐標系下的id、iq可以相互等效，它們之間準確的等效關系，就是坐標變換關系。 圖圖10-2 10-2 交流電機的繞組等效交流電機的繞組等效 二、空間矢量二、空間矢量二、空間矢量二、空間矢量 空間矢量的概念在交流電機分析與控制中具有非常重要的作用。將各相的電壓、電流、磁鏈等電磁量用空間矢量表達，可以使三相感應電機的動態方

18、程表達更簡潔，為電機的分析與控制帶來方便，并有助于對交流電機的矢量控制、直接轉矩控制、PWM方法中電壓空間矢量調制（SVPWM）等問題的理解，特別是利用空間矢量的概念可以方便地確定不同坐標系間的變換系數，即變換矩陣C，實現不同坐標系間的坐標變換。二、空間矢量二、空間矢量u 空間矢量的基本概念空間矢量的基本概念 我們知道，在空間按正弦規律分布的物理量可以用空間矢量表示，并按矢量運算法則進行運算。交流電機中，若某相繞組x通以電流ix，在忽略空間諧波的條件下，該相繞組產生的磁動勢在空間按正弦分布，可用空間矢量Fx表示，矢量的長度表示基波磁動勢的幅值Fx，矢量所在的位置和方向表示磁動勢正波幅所在的位置

19、和方向。對單相繞組而言，由于其基波磁動勢幅值位置固定在繞組軸線上，故相應的矢量Fx在矢量圖中的位置固定不變，始終在繞組軸線上，只是矢量的長度隨時間變化，方向時而正，時而負。二、空間矢量二、空間矢量 在三相交流電機中，定子為三相對稱繞組，其軸線分別為A、B、C，在空間互差120，若繞組電流分別為iA、iB、iC，它們產生的基波磁動勢用空間矢量表示分別為FA、FB、FC，如圖10-3所示，將三個磁動勢矢量按矢量運算法則相加，可以得到一個新矢量F F，有 cbaFFFFCBACBAFFF（10-40） F F代表了三相繞組的基波合成磁動勢，F F的長度對應于三相合成磁動勢的幅值F，F F的空間位置與

20、三相基波合成磁動勢幅值在空間的位置一致?？紤]到交流繞組基波磁動勢幅值Fx與電流ix之間的關系為 二、空間矢量二、空間矢量 式（10-43）表明，雖然三相電流iA、iB、iC不是在空間按正弦規律分布的空間正弦量，而是時間變量，它們也可以用位于各相繞組軸線上長度等于該相電流瞬時值的空間矢量表示，并按矢量運算法則運算。 （10-41） 式中xFxnW1x24ikipNkFnW1F24pNkk 則式（10-40）可以寫成 式中FCBAFCFBFAF)(icbacbaFkiiikikikikCBACBAFiiicbaFiiiik（10-42） （10-43） 二、空間矢量二、空間矢量 從物理意義上看，電

21、流矢量i iA、i iB、i iC分別代表了各相電流產生的磁動勢矢量F FA、F FB、F FC，相應地其合成矢量i i代表的是三相合成磁動勢F F，i i的空間位置對應于合成磁動勢基波幅值的空間位置，i i的長度i與合成磁動勢的幅值F成正比。 由于合成磁動勢F F綜合反映了三相繞組的磁動勢F FA、F FB、F FC，由此不難理解，電流合成矢量i i可以綜合反映三相電流iA、iB、iC的瞬時值，因此，我們可以以合成矢量i i為基礎，通過引入系數k，定義一個新的電流矢量i i=ki i，稱為電流綜合空間矢量電流綜合空間矢量，簡稱電流綜合矢量電流綜合矢量或電流空間電流空間矢量矢量。系數k可以取不

22、同的值，相應地綜合矢量有不同的定義方法。二、空間矢量二、空間矢量ui i 在在A A、B B、C C軸線上的投影軸線上的投影 按照矢量運算法則，i i在A相繞組軸線的投影iA應為i iA、i iB、i iC三個矢量在A軸投影的代數和，即 （10-44） 式中，i0稱為零軸分量零軸分量或零序分量零序分量0ACBAACBACBAA2331232121240cos120cosiiiiiiiiiiiiiCBA031iiii（10-45） 同理可得i i在B、C軸的投影分別為 二、空間矢量二、空間矢量 由式（10-44）（10-47）可知，若三相繞組為中性點隔離的Y聯接，則iA+iB+iC=0，i0=0

23、，i i在三相繞組軸線的投影分別為3iA/2、3iB/2、3iC/2，比各繞組的實際電流大了3/2倍，鑒于此，為了方便，在三相系統中常在三相系統中常將綜合矢量定義中的系數將綜合矢量定義中的系數k k取為取為2/32/3，即有（10-46） （10-47） 0BB23iii0CC23iii)(3232CBAiiiii（10-48） 二、空間矢量二、空間矢量 這樣，在iA+iB+iC=0的前提下，i i在三相繞組軸線的投影即為iA、iB、iC。若iA+iB+iC0，則i i在三相繞組軸線的投影iA、iB、iC分別為扣除零軸分量后的三相電流瞬時值，即有 （10-49） 0AAiii0BBiii0CC

24、iii 式（10-49）實際上意味著綜合矢量綜合矢量i i及合成矢量及合成矢量i i 中中不含有零軸分量的信息不含有零軸分量的信息。 從物理概念上講，零軸分量是三相電流中的零序分量，在三相對稱系統中，零序電流不產生合成氣隙磁動勢。 而從數學的角度看，確定綜合矢量i i只需要兩個獨立變量，故不可能與三個獨立變量iA、iB、iC 建立一一對應的關系。二、空間矢量二、空間矢量 因此，iA、iB、iC中只有兩個獨立變量，可以與合成矢量i i或綜合矢量i i 建立一一對應的關系。 但扣除零軸分量后的三相電流iA、iB、iC情況有所不同，由式（10-49）和式（10-45）可知 030CBACBAiiii

25、iii 綜合前述分析，可以得到如下結論： 而i或i在三相軸線A、B、C的投影即為扣除零軸分量后的三相電流瞬時值iA、iB、iC。 iiiii)(32CBA二、空間矢量二、空間矢量u兩相坐標系中的綜合矢量兩相坐標系中的綜合矢量 類似地可以在兩相坐標系中定義綜合矢量，如圖10-4所示，有兩相對稱繞組x、y，其軸線分別為x和y，在空間互差90電角度，繞組電流分別為ix、iy，相應的空間矢量為i ix、i iy ，則i ix、i iy的矢量和i i為 （10-52） 即為兩相系統中的電流綜合空間矢量。從物理意義上看，i i代表了兩相繞組產生的氣隙合成磁動勢。在兩相系統中，由于坐標軸正交，矢量i i與兩

26、相電流ix、iy之間存在簡單的對應關系，不需進一步處理。 yxiii二、空間矢量二、空間矢量u其他電磁量的綜合矢量其他電磁量的綜合矢量 同理，其它時間變量，如電壓u、磁鏈等均可以用空間矢量表示，其綜合矢量的定義與式（10-48）或（10-52）相同，只需將其中的變量“i”換成“u”或“”即可。也就是說，電機的定、轉子電壓、電流、電機的定、轉子電壓、電流、磁鏈、磁動勢、電動勢、磁通、磁密等電磁量均可以用磁鏈、磁動勢、電動勢、磁通、磁密等電磁量均可以用空間矢量表示，這些矢量有些在空間上實際存在，如磁空間矢量表示，這些矢量有些在空間上實際存在，如磁動勢、磁密等；有些在空間上不存在，但代表著實際存動勢

27、、磁密等；有些在空間上不存在，但代表著實際存在的矢量，如定、轉子電流矢量代表著實際存在的定、在的矢量，如定、轉子電流矢量代表著實際存在的定、轉子磁動勢矢量；還有一些矢量在空間不存在，也不代轉子磁動勢矢量；還有一些矢量在空間不存在，也不代表實際存在的矢量，僅僅是一種數學處理，如電壓、電表實際存在的矢量，僅僅是一種數學處理，如電壓、電動勢、磁鏈等。動勢、磁鏈等。 二、空間矢量二、空間矢量u空間矢量的復數表示空間矢量的復數表示 為了便于進行數學運算，空間矢量常用復數表示，在三相系統中常取A軸為實軸，虛軸領先實軸以90電角度，則A、B、C軸上的單位矢量a a= ，b b= ，c c= ，為了表示方便，

28、常令a= ，則 a a= a0，b b = a，c c =a2，綜合矢量i i可以表示為 （10-53） 也可以表示為j0ej120ej240ej120e)aa(32C2BAiiii)aa(32C2BAiiii（10-54） 二、空間矢量二、空間矢量 根據式（10-1）、式（10-2），若將三相坐標系中感應電機的定、轉子電壓、電流、磁鏈均用空間矢量表示，則其定、轉子電壓方程可以寫成如下形式的矢量方程（10-55） 需要注意的是，電壓、電流等時間量的空間矢量不電壓、電流等時間量的空間矢量不同于電機穩態分析中的時間相量同于電機穩態分析中的時間相量 。 但但穩態時穩態時各時間量的綜合空間矢量與它們的

29、時間相各時間量的綜合空間矢量與它們的時間相量相對應，可以相互轉換或代替量相對應，可以相互轉換或代替。 （10-56） tRddssssiutRddrrrriu三、坐標變換三、坐標變換三、坐標變換三、坐標變換 1. 1. 三相靜止坐標系與兩相任意旋轉坐標系的坐標變換三相靜止坐標系與兩相任意旋轉坐標系的坐標變換 圖10-5給出了三相靜止坐標系A、B、C和兩相任意旋轉坐標系x、y。在圖示時刻，x軸超前A軸角。 利用綜合矢量進行坐標變換的原則是：變換前后所產利用綜合矢量進行坐標變換的原則是：變換前后所產生的綜合矢量保持不變生的綜合矢量保持不變。 這樣，對于電流的變換來講，從物理概念看可以使變換前后的合

30、成磁動勢保持確定的比例關系，通過適當選擇兩相系統與三相系統繞組的匝數比，可以保持變換前后合成磁動勢不變。 三、坐標變換三、坐標變換 按上述原則，兩相系統中電流ix、iy形成的電流綜合矢量i i也就是三相系統中的等效電流iA、iB、iC的綜合矢量，而在三相系統中電流綜合矢量i i在A、B、C軸的投影是相電流扣除零軸分量后的電流瞬時值iA、iB、iC，因為i i=i ix+i iy，根據矢量運算法則，i i在某相繞組軸線上的投影應等于其分矢量i ix、i iy在該軸上的投影的代數和，因此有 )120sin()120cos()120sin()120cos(sincosyxCyxByxAiiiiiii

31、ii（10-57） （圖10-5）三、坐標變換三、坐標變換 考慮零軸分量，并寫成矩陣形式，兩相任意旋轉坐標系到三相坐標系的變換關系為（10-59） 0yx2r/3s0yxCBA1)120sin()120cos(1)120sin()120cos(1sincosiiiiiiiiiCCBA3s/2rCBA0yx212121)120sin()120sin(sin)120cos()120cos(cos32iiiiiiiiiC 其逆變換為（10-58） 三、坐標變換三、坐標變換 上述三相系統與兩相系統的坐標變換常稱為派克（派克（ParkPark）變換變換。在Park變換中，C C3s/2r=C C2r/3

32、s-1C C2r/3sT，因此不滿足功率不變約束。 式（10-58）和式（10-59）的坐標變換關系不限于三相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換，也可用于三相旋轉坐標系到某兩相坐標系的變換，只要為相應時刻x軸與A軸的夾角即可。這一點也適用于下面討論的其它坐標變換關系。 三、坐標變換三、坐標變換2. 2. 常用坐標系和坐標變換常用坐標系和坐標變換 1 1）兩相靜止坐標系）兩相靜止坐標系0 0坐標系坐標系 若上述x、y坐標系在空間靜止不動，且x軸與A軸重合，即=0，如圖10-6所示，則為兩相靜止坐標系，常稱為坐標系坐標系，考慮到零軸分量，也稱為0 0坐標系坐標系。 從三相靜止坐標系到兩相靜止坐標系的

33、變換稱為三相-兩相變換，簡稱3/2變換。由式（10-59），可得 CBA0212121232302121132iiiiii（10-60） 三、坐標變換三、坐標變換 令C C3/2表示從三相靜止坐標系到兩相靜止坐標系的變換矩陣，則 相應地，從兩相坐標系到三相坐標系的變換矩陣為（10-61） 2121212323021211322/3C123211232110112/33/2CC（10-62） 三、坐標變換三、坐標變換 在實際應用中，上述坐標變換關系?？蛇M一步簡化。例如，在交流調速系統中，交流電機通常為中性點隔離的三相星型連接（Y接），有iA+iB+iC=0，則i0=0，因此可將零軸分量去掉。同時

34、，由于三相電流中只有兩相獨立，三相系統中的電流可以只用iA、iB表達，而將C相電流用iC =-（iA+iB）代入。相應的坐標變換關系簡化為（10-63） BA323101iiiiBA232101iiii（10-64） 三、坐標變換三、坐標變換 2 2）兩相旋轉坐標系）兩相旋轉坐標系dqdq0 0坐標系坐標系 若上述x、y坐標系在空間旋轉，且其x軸為電機某轉子繞組軸線，稱為d軸，相應地y軸改稱q軸，這樣的兩相坐標系稱為dqdq坐標系坐標系，或dq0dq0坐標系坐標系，其中“0”表示零軸分量。 由式（10-58）和式（10-59），dq0坐標系與ABC坐標系之間的坐標變換關系為 （10-65） 0

35、qd2r/3s0qdCBA1)120sin()120cos(1)120sin()120cos(1sincosiiiiiiiiiCCBA3s/2rCBA0qd212121)120sin()120sin(sin)120cos()120cos(cos32iiiiiiiiiC（10-66） 三、坐標變換三、坐標變換 式中，=dt+0，為t時刻d軸超前A軸的電角度；為轉子的轉速；0為t=0時刻d軸領先A軸的電角度。 在交流電機分析與控制中，也常使dq0坐標系與電機的某旋轉磁鏈（磁場）同步旋轉或以電源基波角頻率旋轉，由于此時dq0坐標系的轉速為同步速，故稱為兩相兩相同步旋轉坐標系同步旋轉坐標系。 三、坐標

36、變換三、坐標變換 3）坐標系與坐標系與dqdq坐標系間的坐標變換坐標系間的坐標變換 在交流電機控制中，常需在兩相靜止坐標系和兩相旋轉坐標系dq之間進行變換。兩相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換，稱作兩相兩相- -兩相旋轉變換兩相旋轉變換或矢量旋轉矢量旋轉變換變換，簡稱旋轉變換旋轉變換（常用VR表示）或2s/2r2s/2r變換變換。利用綜合矢量的概念，由圖10-7易得 （10-67） （10-68） qdcossinsincosiiiicossinsincosr2/ s2C兩相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換矩陣為三、坐標變換三、坐標變換兩相旋轉坐標系到兩相靜止坐標系的變換為（10-69） （1

37、0-70） 相應的變換矩陣qdcossinsincosiiiiTr2/s21r2/s2s2/r2cossinsincosCCC三、坐標變換三、坐標變換3. 3. 滿足功率不變約束的坐標變換滿足功率不變約束的坐標變換 前面討論的三相坐標系與兩相坐標系之間的坐標變換（Park變換）不滿足功率不變約束，變換前后功率不守恒。以ABC到dq0的變換為例，變換前的三相電壓為uA、uB、uC，電流為iA、iB、iC，相應的三相瞬時功率為CCBBAA3iuiuiup（10-71） 變換后在dq0坐標系中的電壓為ud、uq、u0，電流為id、iq、i0，功率為 00qqdd2iuiuiup（10-72） 三、坐

38、標變換三、坐標變換 根據式（10-65）的坐標變換關系，將ABC系統中的電壓、電流用dq0坐標系中的量表達，代入式（10-71）并整理，得 （10-73） 顯然，p3p2（10-74） 00qqdd332323iuiuiup 為了使變換前后功率不變，可以作如下變量代換，令00qqdd00qqdd3,23,233,23,23iiiiiiuuuuuu三、坐標變換三、坐標變換代入式（10-73），則（10-75） 考慮到ABC到dq0的變換關系式（10-66），id、iq、i0與iA、iB、iC的變換關系為（10-76） 電壓ud、uq、u0與uA、uB、uC的變換關系同上。 00qqdd3iuiu

39、iup)(31)120sin()120sin(sin32)120cos()120cos(cos32CBA0CBAqCBAdiiiiiiiiiiii三、坐標變換三、坐標變換 式（10-76）即為滿足功率不變約束的坐標變換。將式（10-76）寫成矩陣形式，并去掉上角標“”，得（10-77） 滿足功率不變約束的三相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換矩陣為（10-76a） CBA0qd212121)120sin()120sin(sin)120cos()120cos(cos32iiiiii212121)120sin()120sin(sin)120cos()120cos(cos323s/2rC三、坐標變換三

40、、坐標變換其逆變換（10-79） C C2r/3s為滿足功率不變約束的兩相旋轉坐標系到三相靜止坐標系的變換矩陣 （10-78） 0qd2r/3sCBAiiiiiiC21)120sin()120cos(21)120sin()120cos(21sincos3213s/2r2r/3sCC 由式（10-79）和式（10-77）可知，C C2r/3s= C C3s/2r-1= C C3s/2rT，是正交變換，滿足功率不變約束條件。 三、坐標變換三、坐標變換 令式（10-77）、式（10-79）中的=0，可得滿足功率不變約束的三相靜止坐標系與兩相靜止坐標系之間的變換矩陣（10-81） （10-80） 21

41、21212323021211322/3C212321212321210132T2/312/33/2CCC三、坐標變換三、坐標變換（10-82） )(32CBAiiii 滿足功率不變約束的正交變換的變換關系也可以由綜合矢量導出，只是由式（10-74）可知，正交變換與Park變換相比，其d、q坐標軸中的兩相電壓、電流均增大了 倍，這意味著其綜合矢量的長度應比Park變換中增大 倍，由式（10-48），與正交變換相對應的三相坐標系中綜合矢量的系數應由2/3擴大 倍，變成 ，即對應于正交變換，三相坐標系中電流綜合矢量應定義為 23232332三、坐標變換三、坐標變換 Park變換和滿足功率不變約束的變

42、換（正交變換）各有特色。Park變換的最大特點是，在零軸分量為零的條件下，某物理量（如電流）綜合矢量在三相繞組軸線上的投影即為該量的瞬時值。而在正交變換中，由于綜合矢量的長度擴大了 倍，故其在三相繞組軸線上的投影不等于該量的瞬時值，而是放大了 倍。 目前，Park變換與正交變換應用都十分廣泛，閱讀有關文獻時要注意區分，本教材后面的討論中將采用正交變換。 2323第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動兩相坐標系中感應電機的動態數學模型態數學模型概述概述一、兩相任意旋轉坐標系中的數學模型一、兩相任意旋轉坐標系中的數學模型 二、兩相靜止坐標系（二、兩相靜止坐標系（坐標系）上的動態數學模型坐標系）上的

43、動態數學模型三、兩相同步旋轉坐標系上的動態數學模型三、兩相同步旋轉坐標系上的動態數學模型四、兩相坐標系上的狀態方程四、兩相坐標系上的狀態方程第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型概述概述 前面建立的三相坐標系上的感應電機動態數學模型十分復雜，其中一個主要原因是三相繞組之間存在互感，使電感矩陣比較復雜。如果通過坐標變換，將其變換到兩相坐標系上，由于坐標軸互相垂直，意味著等效兩相繞組正交，兩繞組間的互感為零，從而可以使方程得以簡化。兩相坐標系可以是靜止的，也可以是旋轉的，在本節討論中，我們首先建立以任意轉速旋轉的兩相坐標系中的數學模型，進而導出兩相靜止坐

44、標系和兩相同步旋轉坐標系中感應電機的動態數學模型。 第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型一、兩相任意旋轉坐標系中的數學模型一、兩相任意旋轉坐標系中的數學模型 在這里，兩相任意旋轉坐標系用dq（或dq0）表示。我們前面建立的三相坐標系上的數學模型中，定子邊的量處于三相靜止坐標系，而由于轉子是三相旋轉繞組，因此未加變換的三相轉子變量是三相旋轉坐標系中的量，為建立兩相任意旋轉坐標系上的數學模型，應把定子和轉子的電壓、電流、磁鏈都變換到dq0坐標系，變換后的定子各量用下角標“s”表示，轉子各量用下角標“r”表示。 1. 1. 電壓方程電壓方程 采用滿足功率

45、不變約束的坐標變換，由式（10-76）和式（10-77）可得，定子電壓、電流和磁鏈的變換關系分別為 第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 將式（10-1）三相靜止坐標系（ABC）上的電壓方程寫成矩陣形式為 TCBA3s/2rTs0sqsduuuuuuCTCBA3s/2rTs0sqsdiiiiiiCTCBA3s/2rTs0sqsdC（10-83） （10-84） （10-85） CBACBAsCBAddtiiiRuuu將式（10-86）代入式（10-83），得（10-86） 第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數

46、學模型 由式（10-78）得（10-87） （10-88） 則（10-89） CBA3s/2rCBA3s/2rss0sqsdddtiiiRuuuCCs0sqsd2r/3ss0sqsd13s/2rCBACCs0sqsd2r/3ss0sqsd2r/3sCBAddddddCCttt第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型由式（10-79），對C C2r/3s各元素求導得 （10-90） （10-91） 將式（10-89）、式（10-90）代入式（10-87），整理得 ttdd0)120cos()120sin(0)120cos()120sin(0cossin3

47、2dd2r/3sCttiiiRuuudd000001010dds0sqsds0sqsds0sqsdss0sqsd第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 令d/dt=dqs，為dq0坐標系相對于定子的角速度，則（10-92） （10-93） 同理，變換后的轉子電壓方程為s0s0ss0sddqssqsqssqsqdqssdsdssdpiRupiRupiRur0r0rr0rddqrrqrqrrqrqdqrrdrdrrdpiRupiRupiRu式中，dqr為dq0坐標系相對于轉子的角速度，設轉子轉速為，則dqsdqr（10-94） 第三節第三節 兩相坐標系中

48、感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 2. 2. 磁鏈方程磁鏈方程 將三相定子磁鏈A、B、C變換到dq0坐標系是三相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換，設某時刻d軸領先A軸s角，則其變換關系如式（10-85）所示，其中 （10-95） 將轉子磁鏈a、b、c變換到dq0坐標系的rd、rq、r0是從旋轉的三相坐標系abc到dq0的變換，變換矩陣可以寫作C C3r/2r，C C3r/2r在形式上與C C3s/2r相同，只是角應為d軸與轉子a軸的夾角r，即有 212121)120sin()120sin(sin)120cos()120cos(cos32ssssss3s/2rC第三節第三

49、節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型（10-97） 則總的磁鏈變換式為Tcba3r/2rTr0rqrdC212121)120sin()120sin(sin)120cos()120cos(cos32rrrrrr3r/2rC（10-96） cbaCBA3r/2r3s/2rr0rqrds0sqsd00CC（10-98） 第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型（10-99） 由式（10-15）得（10-100） cbaCBArrrssrsscbaCBAiiiiiiLLLL 注意，電感矩陣L Lsr、L Lrs中的角為轉子a

50、軸領先定子A軸的角度，因此有=s-r，而電流iA、iB、iC與isd、isq、is0的變換關系為 Ts0sqsd13s/2rTCBAiiiiii C第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型（10-101） ia、ib、ic與ird、irq、ir0的坐標變換關系為（10-102） Tr0rqrd13r/2rTcbaiiiiii C 將式（10-99）（10-101）代入式（10-98），得 r0rqrds0sqsd13r/2rrr3r/2r13s/2rrs3r/2r13r/2rsr3s/2r13s/2rss3s/2rr0rqrds0sqsd13r/2r1

51、3s/2rrrrssrss3r/2r3s/2rr0rqrds0sqsd0000iiiiiiiiiiiiCLCCLCCLCCLCCCLLLLCC第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型分塊矩陣中的各元素如下lslsmslsmssssssslsmsmsmsmslsmsmsmsmslsmsssssss13s/2rss3s/2r000230002321)120sin()120cos(21)120sin()120cos(21sincos32212121212121212121)120sin()120sin(sin)120cos()120cos(cos32LLLL

52、LLLLLLLLLLLLLCLC第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型同理 lrlrmslrms13r/2rrr3r/2r0002300023LLLLLCLC00002300023msms13r/2rsr3s/2rLLCLC00002300023msms13s/2rrs3r/2rLLCLC第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型（10-103） 則dq0坐標系上的磁鏈方程為式中，Lm為dq坐標系中位于同一坐標軸上的定子與轉子等效繞組間的互感；Ls為dq坐標系定子等效兩相繞組的自感；Lr為dq坐標系轉子等效兩相

53、繞組的自感。 r0rqrds0sqsdlrrmrmlsmsmsr0rdrds0sqsd00000000000000000000000000iiiiiiLLLLLLLLLLmsm23LLlsmlsmss23LLLLLlrmlrmsr23LLLLL第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 3. 3. 轉矩方程轉矩方程 根據式（10-22a），得三相坐標系上的轉矩方程為 （10-104） 零軸分量在化簡過程中完全抵消了，即零軸分量不產生電磁轉矩。)120sin()()120sin()(sin)(bCaBcAaCcBbAcCbBaAmsneiiiiiiiiii

54、iiiiiiiiLpT)(rqsdrdsqmneiiiiLpT 將式（10-100）和式（10-101）代入上式，并考慮到=s-r，經過化簡，可得dq0坐標系上的轉矩公式為第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 由電壓方程（10-92）、（10-93）和磁鏈方程（10-103）可見，零軸分量是獨立的，與零軸分量是獨立的，與dqdq軸分量軸分量之間無相互影響之間無相互影響，也不產生電磁轉矩，即其不參與機也不產生電磁轉矩，即其不參與機電能量轉換，因此在兩相坐標系中通常不考慮零軸分電能量轉換，因此在兩相坐標系中通常不考慮零軸分量量。其實在許多應用中零軸分量

55、為零，即使其不為零，由于它與d、q軸分量無相互影響，如果有必要可以單獨列方程予以處理。 若采用Park變換，所得的電壓方程、磁鏈方程均與前述相同，轉矩方程中應有一個3/2的系數。 第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型二、兩相靜止坐標系（二、兩相靜止坐標系（坐標系）上的動態數學模型坐標系）上的動態數學模型 兩相靜止坐標系上的數學模型是兩相任意旋轉坐標系的數學模型當轉速為零時的特例。在兩相任意旋轉坐標系數學模型中，令dqs=0，相應地dqr= -，將下角標d、q改成、，并不計零軸分量，根據式（10-92）和式（10-93），可得坐標系上的電壓方程為 r

56、rrrrrrrrrsssssssspiRupiRupiRupiRu（10-105） 第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 由式（10-103）得坐標系上的磁鏈方程為（10-106） rrssrmrmmsmsrrss00000000iiiiLLLLLLLL或寫成rrsmrrrsmrrmsssrmsssiLiLiLiLiLiLiLiL（10-106a） 第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型把式（10-106）代入式（10-105），電壓方程變為（10-107） 由式（10-104），坐標系上的電磁轉矩為 （

57、10-108） rrssrrrmmrrrmmmssmssrrss0000iiiipLRLpLLLpLRLpLpLpLRpLpLRuuuu)(rsrsmneiiiiLpT 上述方程加上機械運動方程式便是坐標系上感應電坐標系上感應電機的動態數學模型機的動態數學模型。第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 圖10-9為變換到坐標系后的三相感應電機物理模型，原本靜止的三相定子繞組A、B、C可等效為兩相靜止繞組s、s，原本旋轉的三相轉子繞組a、b、c，從產生磁場的角度也可以等效為空間靜止的兩相繞組r、r。值得注意的是，r、r繞組不同于真正的靜止繞組，會產生速度

58、電動勢項，故稱為偽靜止繞組偽靜止繞組。 偽靜止繞組具有以下兩個特點：一方面繞組中的電流產生在空間靜止的磁場（磁動勢）；另一方面除了因磁場變化在繞組中產生變壓器電動勢外，還會由于繞組導體旋轉而在繞組中產生速度電動勢。仔細回顧一下直流電機電樞繞組的電動勢和磁動勢，不難發現，直流電機的電樞繞組就是偽靜止繞組，因此偽靜止繞組是類似直流電機電樞繞組的帶換向器的旋轉繞組。 第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型三、兩相同步旋轉坐標系上的動態數學模型三、兩相同步旋轉坐標系上的動態數學模型 在兩相任意旋轉坐標系上的數學模型中，令坐標系的轉速dqs等于同步角速度1，相

59、應地，dq坐標系相對于轉子的轉速dqr=1-=s，即轉差角速度。在不考慮零軸分量的情況下，兩相同步旋轉坐標系上的動態方程如下： 電壓方程為rdsrqrqrrqrqsrdrdrrdsd1sqsqssqsq1sdsdssdpiRupiRupiRupiRu（10-109） 第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型磁鏈方程為（10-110） rqrdsqsdrmrmmsmsrqrdsqsd00000000iiiiLLLLLLLL或寫成rqrsqmrqrdrsdmrdrqmsqssqrdmsdssdiLiLiLiLiLiLiLiL（10-110a） 第三節第三節

60、 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 將式（10-110）代入式（10-109），并寫成矩陣形式，得到同步dq坐標系上的電路方程式為 （10-111） 轉矩方程式為（10-112） rqrdsqsdrrrsmmsrsrrmsmmm1sss1m1ms1ssrqrdsqsdiiiipLRLpLLLpLRLpLpLLpLRLLpLLpLRuuuu)(rqsdrdsqmneiiiiLpT 上述方程加上機械運動方程式便是同步同步dqdq坐標系坐標系上感應電機的動態數學模型上感應電機的動態數學模型。 第三節第三節 兩相坐標系中感應電機的動態數學模型兩相坐標系中感應電機的動