1、數學悖論與三次數學危機數學悖論與三次數學危機“古往今來，為數眾多的古往今來，為數眾多的悖論為邏輯思想的發展提供了食糧。悖論為邏輯思想的發展提供了食糧?！盢布爾巴基布爾巴基 什么是悖論？籠統地說，是指這樣的什么是悖論？籠統地說，是指這樣的推理過程：它看上去是合理的，但結果卻推理過程：它看上去是合理的，但結果卻得出了矛盾。悖論在很多情況下表現為能得出了矛盾。悖論在很多情況下表現為能得出不符合排中律的矛盾命題：由它的真，得出不符合排中律的矛盾命題：由它的真，可以推出它為假；由它的假，則可以推出可以推出它為假；由它的假，則可以推出它為真。由于嚴格性被公認為是數學的一它為真。由于嚴格性被公認為是數學的一

2、個主要特點，因此如果數學中出現悖論會個主要特點，因此如果數學中出現悖論會造成對數學可靠性的懷疑。造成對數學可靠性的懷疑。 如果這一悖論涉及面十分廣泛的話，如果這一悖論涉及面十分廣泛的話，這種沖擊波會更為強烈，由此導致的懷這種沖擊波會更為強烈，由此導致的懷疑還會引發人們認識上的普遍危機感。疑還會引發人們認識上的普遍危機感。在這種情況下，悖論往往會直接導致在這種情況下，悖論往往會直接導致“數學危機數學危機”的產生。按照西方習慣的的產生。按照西方習慣的說法，在數學發展史上迄今為止出現了說法，在數學發展史上迄今為止出現了三次這樣的數學危機。三次這樣的數學危機。希帕索斯悖論與第一次數學危機希帕索斯悖論與

3、第一次數學危機 希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發現密切希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發現密切相關。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是相關。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學家開普勒歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數學與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應用，同學與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應用，同時也是人類最早認識到的平面幾何定理之一。在時也是人類最早認識到的平面幾何定理之一。在我國，最早的一部天文數學著作我國，最早的一部天文數學著作周髀算經周髀算經中中就已有了關于

4、這一定理的初步認識。不過，在我就已有了關于這一定理的初步認識。不過，在我國對于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到國對于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明。明。 在國外，最早給出這一定理證明的在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯。因而國外一般是古希臘的畢達哥拉斯。因而國外一般稱之為稱之為“畢達哥拉斯定理畢達哥拉斯定理”。并且據說。并且據說畢達哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜畢達哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神

5、秘色彩的稱號：定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理百牛定理”。 畢達哥拉斯畢達哥拉斯 畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數萬物皆數”是該學派的哲學基石。而是該學派的哲學基石。而“一一切數均可表成整數或整數之比切數均可表成整數或整數之比”則是這一學則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢派的數學信仰。然而，具

6、有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的哥拉斯學派數學信仰的“掘墓人掘墓人”。 畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數了數學史上第一個無理數2 的誕生。小小的誕生。小

7、小2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。 實際上，這一偉大發現不但是對畢達實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對于當時所哥拉斯學派的致命打擊。對于當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這度的范圍內都可以表

8、示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！的！ 可是為我們的經驗所確信的，完全符可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的合常識的論斷居然被小小的2的存在的存在而推翻了！這應該是多么違反常識，而推翻了！這應該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在

9、當時直接導致了人們認識上的危機，在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱波，史稱“第一次數學危機第一次數學危機”。 歐多克歐多克 二百年后，大約在公元前二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢的年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德幾何幾何原本原本一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數這一以避開無理數這一“邏輯上的丑聞邏輯上的丑聞”，并保留住，并保留住與

10、之相關的一些結論，從而解決了由無理數出現與之相關的一些結論，從而解決了由無理數出現而引起的數學危機。但歐多克索斯的解決方式，而引起的數學危機。但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現無理數而實是借助幾何方法，通過避免直接出現無理數而實現的。這就生硬地把數和量肢解開來。在這種解現的。這就生硬地把數和量肢解開來。在這種解決方案下，對無理數的使用只有在幾何中是允許決方案下，對無理數的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數中就是非法的，不合邏輯的。的，合法的，在代數中就是非法的，不合邏輯的?；蛘哒f無理數只被當作是附在幾何量上的單純符或者說無理數只被當作是附在幾何量上的單純符號，而不被

11、當作真正的數。號，而不被當作真正的數。 一直到一直到18世紀，當數學家證明了基本常數如世紀，當數學家證明了基本常數如圓周率是無理數時，擁護無理數存在的人才圓周率是無理數時，擁護無理數存在的人才多起來。到十九世紀下半葉，現在意義上的多起來。到十九世紀下半葉，現在意義上的實數理論建立起來后，無理數本質被徹底搞實數理論建立起來后，無理數本質被徹底搞清，無理數在數學園地中才真正扎下了根。清，無理數在數學園地中才真正扎下了根。無理數在數學中合法地位的確立，一方面使無理數在數學中合法地位的確立，一方面使人類對數的認識從有理數拓展到實數，另一人類對數的認識從有理數拓展到實數，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了

12、第一次數學方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。危機。貝克萊貝克萊貝克萊悖論與第二次數學危機貝克萊悖論與第二次數學危機 第二次數學危機導源于微積分工具的使用。伴隨第二次數學危機導源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，運用這一工

13、具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。萊。 1734年，貝克萊以年，貝克萊以“渺小的哲學家渺小的哲學家”之名出版了一本之名出版了一本標題很長的書標題很長的書分析學家；或一篇致一

14、位不信神數學家的分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理的推理。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊。例如他指責牛頓，為計算比如說例如他指責牛頓，為計算比如說 x2 的導數，先將的導數，先將 x取取一個不為一個不為0的增量的增量 x ，由，由 (x + x)2 - x2 ，得到，得到 2xx + (x2) ，后再被，后再被 x 除，得到除，得到 2x

15、 + x ，最后突然令，最后突然令 x = 0 ，求得導數為，求得導數為 2x 。這是。這是“依靠雙重錯誤得到了不科學依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果卻正確的結果”。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈已死量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。 數學史上把貝克萊的問題稱之為數學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克

16、貝克萊悖論萊悖論”。籠統地說，貝克萊悖論可以表述?；\統地說，貝克萊悖論可以表述為為“無窮小量究竟是否為無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數學界引個矛盾。這一問題的提出在當時的數學界引起了一定的混亂，由此導致了第二次數學危起了一定的混亂，由此導致了第二次數學危機的產生。機的產生。牛頓牛頓萊布尼茲萊布尼茲 針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都

17、沒曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得完全成功。這使數學家們陷入了尷尬有獲得完全成功。這使數學家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應用中大獲成功，另境地。一方面微積分在應用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對微積分的取舍上到底何悖論。這種情況下對微積分的取舍上到底何去何從呢？去何從呢？ “向前進，向前進，你就會獲得信念！向前進，向前進，你就會獲得信念！”達朗貝爾吹起奮勇向前的號角，在此號角的達朗貝爾吹起奮勇向前的號角，在此號角的鼓舞下，十八世紀的數學家們開始不顧基礎鼓舞下，十八世紀的數學家們開始不顧基礎的不嚴格，論證

18、的不嚴密，而是更多依賴于的不嚴格，論證的不嚴密，而是更多依賴于直觀去開創新的數學領地。于是一套套新方直觀去開創新的數學領地。于是一套套新方法、新結論以及新分支紛紛涌現出來。法、新結論以及新分支紛紛涌現出來。 經過一個多世紀的漫漫征程，幾代數學家，經過一個多世紀的漫漫征程，幾代數學家，包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微數量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲得了空前豐富。積分理論獲得了空前豐富。18世紀有時甚至世紀有時甚至被稱為被

19、稱為“分析的世紀分析的世紀”。然而，與此同時十。然而，與此同時十八世紀粗糙的，不嚴密的工作也導致謬誤越八世紀粗糙的，不嚴密的工作也導致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數學家們的神經。數學家們的神經。 柯西柯西 到十九世紀，批判、系統化和嚴密論到十九世紀，批判、系統化和嚴密論證的必要時期降臨了。使分析基礎嚴密證的必要時期降臨了。使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步?？挛饔谝淮蟛?。柯西于1821年開始出版了幾本具年開始出版了幾本具有劃時代意義的書與論文。其中給出了分有劃時代意義的書與論文。其中

20、給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。如他開析學一系列基本概念的嚴格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。為一系列不等式的推導。 這就是所謂極限概念的這就是所謂極限概念的“算術化算術化”。后。后來，德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善來，德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的的我們目前所使用的“- ”方法。另外，在方法。另外，在柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。不過，在當時情況下，由于實數的嚴

21、礎上。不過，在當時情況下，由于實數的嚴格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。不可能完善?？挛髦?，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數理論，并于七十年代各自建立礎歸結為實數理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實數體系。魏爾斯特拉斯的理了自己完整的實數體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數列極限存在原理；戴論可歸結為遞增有界數列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理

22、用有理“基本序列基本序列”來定義無理數。來定義無理數。1892年，年，另一個數學家創用另一個數學家創用“區間套原理區間套原理”來建立實來建立實數理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起數理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹的極限理論與實數理論，完成了分來的嚴謹的極限理論與實數理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。析學的邏輯奠基工作。 數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上?？涨靶蹅サ拇髲B建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難

23、的工作重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作就這樣經過許多杰出學者的努力而勝利完成就這樣經過許多杰出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。次數學危機的徹底解決。 羅素悖論與第三次數學危機羅素悖論與第三次數學危機 康托爾康托爾 十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，但不久

24、這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。廈。因而集合論成為現代數學的基石。“一切數一切數學成果可建立在集合論基礎上學成果可建立在集合論基礎上”這一發現使數學這一發現使數學家們為之陶醉。家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“借助集合論概念，我們可以建造整個數借助集合論概念，我們可以建造整個數

25、學大廈學大廈今天，我們可以說絕對的嚴格性已經今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了達到了” 可是，好景不長。可是，好景不長。1903年，一個震年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素構造了一個集合羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于是否屬于S呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個合，或者不屬于某個集合。

26、因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果難境地。如果S屬于屬于S，根據，根據S的定義，的定義，S就就不屬于不屬于S；反之，如果；反之，如果S不屬于不屬于S，同樣根據，同樣根據定義，定義，S就屬于就屬于S。無論如何都是矛盾的。無論如何都是矛盾的。羅素羅素其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。序數悖論。1899年，康托爾自己發現了最大年

27、，康托爾自己發現了最大基數悖論。但是，由于這兩個悖論都涉及集基數悖論。但是，由于這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。引起了極大震動。 如如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說：傷

28、心地說：“一個科學家所遇到的最不合心一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過于是在他的工作即將結束時，其意的事莫過于是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置于這個境地。于這個境地。”戴德金也因此推遲了他的戴德金也因此推遲了他的什么是數的本質和作用什么是數的本質和作用一文的再版。可一文的再版?？梢哉f，這一悖論就象在平靜的數學水面上投以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。致了第三次數學危機。 危機產生后，數學家紛紛提出自己的解危機產生后，數學家紛

29、紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。除悖論，這就需要建立新的原則?！斑@些原這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。一切有價值的內容得以保存下來?！?908年，年，策梅羅在自已這一原則基礎上提出第一個公策梅羅在自已這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，后來經其他數學家改進，理化集合論體系，

30、后來經其他數學家改進，稱為稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。 除除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的如諾伊曼等人提出的NBG系統等。公理化集系統等。公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學