1、 第五章第五章 向量與矩陣的范數向量與矩陣的范數定義：定義： 設設 是實數域是實數域 或復數域或復數域 上上的的 維線性空間，對于維線性空間，對于 中的恣意一個向量中的恣意一個向量 按照某一確定法那么對應著一個實數，這按照某一確定法那么對應著一個實數，這個實數稱為個實數稱為 的范數，記為的范數，記為 ，并且要，并且要求范數滿足以下運算條件：求范數滿足以下運算條件： 1非負性：當非負性：當 只只需且僅有當需且僅有當 2 齊次性：齊次性： 為恣為恣意數。意數。VRnVC0,00,0,kkk3 三角不等式：對于三角不等式：對于 中的恣意兩個中的恣意兩個向量向量 都有都有例例 ： 在在 維線性空間維線

2、性空間 中，對于恣意的中，對于恣意的向量向量 定義定義V, nnC12(,)nna aaC11122211(1)(2)()(3)maxniiniiii naaa 證明：證明： 都是都是 上的范數，并且還有上的范數，并且還有引理引理Hoider不等式：設不等式：設nC12,12122(1)(2)(3)nnn1212,TTnnna aab bbC那么那么 其中其中 且且 。引理引理Minkowski不等式：設不等式：設那么那么 11111()()nnnpqpqiiiiiiiabab1,1pq111pq1212,TTnnna aab bbC111111()()()nnnppppppiiiiiiiab

3、ab其中實數其中實數 。幾種常用的范數幾種常用的范數定義：設向量定義：設向量 ，對恣，對恣意的數意的數 ，稱，稱為向量為向量 的的 范數。范數。常用的常用的 范數：范數：11范數范數 p 12,Tna aa1p 11()nppipiap 11niia1p 22范數范數也稱為歐氏范數。也稱為歐氏范數。3 范數范數 定理：定理：證明：令證明：令 ，那么，那么121 2221()()nHiia 1maxii na limpp1maxii nxa ,1,2,iiayinx于是有于是有另一方面另一方面11()nppipixy111111()npiinpppiiynyn11lim()1nppipiy故故由

4、此可知由此可知定義：設定義：設 是是 維線性空間維線性空間 上定義的兩種向量范數，假設存在兩個與上定義的兩種向量范數，假設存在兩個與 無關的正數無關的正數 使得使得1limmaxippi nxa nV,ab12,dd12,babddV定理：有限維線性空間定理：有限維線性空間 上的恣意兩個向上的恣意兩個向量范數都是等價的。量范數都是等價的。利用向量范數可以去構造新的范數。利用向量范數可以去構造新的范數。例例 ：設：設 是是 上的向量范數，且上的向量范數，且 ，那么由，那么由所定義的所定義的 是是 上的向量范數。上的向量范數。例例 ： 設設 數域數域 上的上的 維線性空間，維線性空間， VmCb,

5、( )m nACrank An,nabACanCVFn 為其一組基底，那么對于為其一組基底，那么對于 中的恣意一個向量中的恣意一個向量 可獨一地表示成可獨一地表示成又設又設 是是 上的向量范數，那么由上的向量范數，那么由所定義的所定義的 是是 上的向量范數。上的向量范數。 矩陣范數矩陣范數V12,n 121,nniinixXx xxFnFVXVV定義：對于任何一個矩陣定義：對于任何一個矩陣 ，用，用 表示按照某一確定法那么與矩陣表示按照某一確定法那么與矩陣 相相對應的一個實數，且滿足對應的一個實數，且滿足AA1非負性：當非負性：當 只需只需且僅有當且僅有當 2 齊次性：齊次性： 為恣為恣意復數

6、。意復數。3 三角不等式：對于恣意兩個同種外三角不等式：對于恣意兩個同種外形矩陣形矩陣 都有都有0,0AA0,0AA,kAk Ak,A BABABm nAC4矩陣乘法的相容性：對于恣意兩個可以矩陣乘法的相容性：對于恣意兩個可以相乘的矩陣相乘的矩陣 ，都有，都有那么我們稱那么我們稱 是矩陣是矩陣 的范數。的范數。例例 1：對于恣意：對于恣意 ，定義，定義可以證明如此定義的可以證明如此定義的 確實為矩陣確實為矩陣 的范的范數。數。,A BABA BAAm nAC11mnijijAaAA證明：只需求驗證此定義滿足矩陣范數的證明：只需求驗證此定義滿足矩陣范數的四條性質即可。非負性，齊次性與三角不四條性

7、質即可。非負性，齊次性與三角不等式容易證明。如今我們驗證乘法的相容等式容易證明。如今我們驗證乘法的相容性。設性。設 ，那么，那么,m pp nACBC11111111111111()()()()ppmnmnikkjikkjijkijkppmnikkjijkkppmnikkjikjkABa babababA B 例例 2 ：設矩陣：設矩陣 ，證明：，證明：是矩陣范數。是矩陣范數。證明：非負性，齊次性和三角不等式容易證明：非負性，齊次性和三角不等式容易證得。如今我們思索乘法的相容性。設證得。如今我們思索乘法的相容性。設 ，那么，那么n nAC,maxiji jAna,n nn nACBC,11,m

8、axmaxmaxmaxmaxmaxnnikkjikkji ji jkkikkji kk jikkji kk jABna bnabn nabnanbA B因此因此 為矩陣為矩陣 的范數。的范數。AA例例 3 ：對于恣意：對于恣意 ，定義，定義可以證明可以證明 也是矩陣也是矩陣 的范數。我們稱此的范數。我們稱此范數為矩陣范數為矩陣 的的Frobenious范數。范數。證明：此定義的非負性，齊次性是顯然的。證明：此定義的非負性，齊次性是顯然的。利用利用Minkowski不等式容易證明三角不等式。不等式容易證明三角不等式。如今我們驗證乘法的相容性。如今我們驗證乘法的相容性。 設設 ，那么，那么 m n

9、AC12211()mnijFijAaAAA,m ll nACBC22211111122111122111122()()()()()mnlmnlikkjikkjFijkijkmnllikkjijkkmlnlikkjikjkFFABa babababAB 于是有于是有 例例 4 ：對于恣意：對于恣意 ，定義，定義證明如此定義的證明如此定義的 是矩陣是矩陣 的范數。的范數。證明：證明： 首先留意到這樣一個根身手實，首先留意到這樣一個根身手實，即即由一個例題可知此定義滿足范數的性質。由一個例題可知此定義滿足范數的性質。n nAC12()HATr A AAA1122211()()mnHijijTr A

10、AaFFFABABFrobenious范數的性質：范數的性質：1假設假設 ，那么，那么2 3對于任何對于任何 階酉矩陣階酉矩陣 與與 階酉矩陣階酉矩陣 12nA2221niFiA21()()nHHiFiATR A AA AnmU 都有等式都有等式關于矩陣范數的等價性定理。關于矩陣范數的等價性定理。定理：設定理：設 是矩陣是矩陣 的恣意兩的恣意兩種范數，那么總存在正數種范數，那么總存在正數 使得使得VHFFFFFAUAAAVUAV,AA12,ddA12,m ndAAdAAC 誘導范數誘導范數定義：設定義：設 是向量范數，是向量范數， 是矩陣范是矩陣范數，假設對于任何矩陣數，假設對于任何矩陣 與向

11、量與向量 都有都有那么稱矩陣范數那么稱矩陣范數 與向量范數與向量范數 是相是相容的。容的。例例 1 ：矩陣的：矩陣的Frobenius范數與向量的范數與向量的2-范范數是相容的數是相容的.證明證明 : 由于由于 XAAXAXAXAX12211()mnijFijAa121 2221()()nHiiXxXX根據根據Hoider不等式可以得到不等式可以得到222211112211122111222()()()()()mnmnijjijjijijmnnijjijjmnnijjijjFAXa xa xaxaxAX 于是有于是有 例例 2 ：設：設 是向量的范數，那么是向量的范數，那么滿足矩陣范數的定義，

12、且滿足矩陣范數的定義，且 是與向量范是與向量范 相容的矩陣范數。相容的矩陣范數。證明：首先我們驗證此定義滿足范數的四證明：首先我們驗證此定義滿足范數的四條性質。非負性，齊次性與三角不等式易條性質。非負性，齊次性與三角不等式易證。如今思索矩陣范數的相容性。證。如今思索矩陣范數的相容性。22FAXAXX0maxiXAXAXiAX設設 ，那么，那么 0B 000000()maxmax()()maxmaxmaxmaxiXXBXXXXiiABXA BXBXABXBXXA BXBXBXXAXBXXXAB因此因此 確實滿足矩陣范數的定義。確實滿足矩陣范數的定義。 iA 最后證明最后證明 與與 是相容的。是相

13、容的。由上面的結論可知由上面的結論可知這闡明這闡明 與與 是相容的。是相容的。 定義：上面所定義的矩陣范數稱為由向量范定義：上面所定義的矩陣范數稱為由向量范數數 所誘導的誘導范數或算子范數。由所誘導的誘導范數或算子范數。由 iAXiiAXAXAXAXiAXX向量向量 P-范數范數 所誘導的矩陣范數稱為矩所誘導的矩陣范數稱為矩陣陣P-范數。即范數。即常用的矩陣常用的矩陣P-范數為范數為 ， 和和 。定理：設定理：設 ，那么，那么1我們稱此范數為矩陣我們稱此范數為矩陣 的列和范數。的列和范數。pX0maxppXpAXAX1A2AAm nAC11max(),1,2,mijjiAajnA2 表示矩陣表

14、示矩陣 的第的第 個特征值。我們稱此范個特征值。我們稱此范數為矩陣數為矩陣 的譜范數。的譜范數。3我們稱此范數為矩陣我們稱此范數為矩陣 的行和范數。的行和范數。例例 1 ：設：設 122max(),()HHjjjAA AA AHA AjA1max(),1,2,nijijAaimA210023120A計算計算 ， ， 和和 。解：解：1A2AAFA15A5A23FA215A500096069HA A由于由于所以所以 。練習練習 ：設：設 或或0110000iAi100010001A分別計算這兩個矩陣的分別計算這兩個矩陣的 ， ， 和和 。例例 2 ：證明：對于任何矩陣：證明：對于任何矩陣 都有都

15、有2A1AAFAm nAC11222222221HTHTHAAAAAAA AAAAA如何由矩陣范數構造與之相容的向量范數？如何由矩陣范數構造與之相容的向量范數？定理：設定理：設 是矩陣范數，那么存在向量范是矩陣范數，那么存在向量范數數 使得使得證明：對于恣意的非零向量證明：對于恣意的非零向量 ，定義向量范，定義向量范數數 ，容易驗證此定義滿足向，容易驗證此定義滿足向量范數的三個性質，且量范數的三個性質，且*AX*AXAX*HXX*HHAXAXAXAX例：知矩陣范數例：知矩陣范數求與之相容的一個向量范數。求與之相容的一個向量范數。解：取解：取 。設。設*11mnijijAAa010T12TnXx

16、xx那么那么矩陣的譜半徑及其性質矩陣的譜半徑及其性質定義：設定義：設 ， 的的 個特征值為個特征值為 ，我們稱，我們稱為矩陣為矩陣 的譜半徑。的譜半徑。例例 1 ：設：設 ，那么，那么1*1nHiiXXxXm nACnA12,n 12( )max,nAAm nAC( )AA這里這里 是矩陣是矩陣 的任何一種范數。的任何一種范數。例例 2 ：設：設 是一個正規矩陣，那么是一個正規矩陣，那么證明：由于證明：由于 AAA2( )AA222220022maxmax()( )HHHXXHAXXA AXAXXXA AA于是有于是有例例 3 ：設：設 是是 上的相容矩陣范數。上的相容矩陣范數。證明：證明：

17、1 2 為可逆矩陣，為可逆矩陣， 為為 的特征值的特征值那么有那么有2( )AAn nC1I AA11AA例例 5 ：假設：假設 ，那么，那么 均為可均為可逆矩陣，且逆矩陣，且這里這里 是矩陣是矩陣 的算子范數。的算子范數。 矩陣序列與極限矩陣序列與極限定義：設矩陣序列定義：設矩陣序列 ，其中，其中1A I A111()11IAAAAA( )kA( )( )kkm nijAaC ，假設，假設 個數列個數列都收斂，那么稱矩陣序列都收斂，那么稱矩陣序列 收斂。收斂。 進一步，假設進一步，假設那么那么 我們稱矩陣我們稱矩陣 為矩陣序列為矩陣序列 的極限。的極限。 mn( ),1,2,;1,2,kij

18、aim jn( )kA( )limkijijkaa( )limkijkAAaA( )kA例例 ：假設設：假設設 ，其中，其中那么那么( )( )2 2kkijAaC( )( )111221( )( )212221,(01)3(1),kkkkkkkaarrkkkarrakk( )103lim11kkAA 定理：定理： 矩陣序列矩陣序列 收斂于收斂于 的充分必的充分必要條件是要條件是其中其中 為恣意一種矩陣范數。為恣意一種矩陣范數。證明：取矩陣范數證明：取矩陣范數必要性：設必要性：設 ( )kAA( )lim0kkAA( )kAA11mnijijAa( )limkijkAAa那么由定義可知對每一對

19、那么由定義可知對每一對 都有都有從而有從而有上式記為上式記為, i j( )lim0(1,2,;1,2, )kijijkaaim jn( )11lim0mnkijijkijaa( )lim0kkAA充分性：設充分性：設那么對每一對那么對每一對 都有都有即即( )( )11limlim0mnkkijijkkijAAaa, i j( )lim0(1,2,;1,2, )kijijkaaim jn( )lim(1,2,;1,2, )kijijkaaim jn故有故有如今曾經證明了定理對于所設的范數成立如今曾經證明了定理對于所設的范數成立，假設，假設 是另外一種范數，那么由范數是另外一種范數，那么由范數

20、的等價性可知的等價性可知( )limkijkAAaA( )( )( )12kkkdAAAAdAA這樣，當這樣，當時同樣可得時同樣可得因此定理對于恣意一種范數都成立。因此定理對于恣意一種范數都成立。 同數列的極限運算一樣，關于矩陣序同數列的極限運算一樣，關于矩陣序列的極限運算也有下面的性質。列的極限運算也有下面的性質。1一個收斂的矩陣序列的極限是獨一的。一個收斂的矩陣序列的極限是獨一的。2設設( )lim0kkAA( )lim0kkAA( )( )lim,limkkkkAABB那么那么3設設，其中，其中 ，那么，那么 4設設 ，其中，其中 ( )( )lim,kkkaAbBaAbBa bC( )

21、( )lim,limkkkkAABB( )( ),km lkl nACBC( )( )limkkkABAB( )limkkAA( ),km nm mn nACPCQC那么那么5設設 ，且，且 ， 均可均可逆，那么逆，那么 也收斂，且也收斂，且例例 1：假設對矩陣：假設對矩陣 的某一范數的某一范數 ，那么那么( )limkkPA QPAQ( )limkkAA( )kAA( )1() kA( )11lim()kkAAA1A lim0kkA例例 2：知矩陣序列：知矩陣序列： 那么那么 的充要條件是的充要條件是 。證明：證明： 設設 的的Jordan規范形規范形其中其中2,kA AAlim0kkA(

22、)1AA1122diag(),(),()rrJJJJ1()(1,2, )1iiiiiiiddJir11122diag(),(),()kkkkrrAPJJJP于是于是顯然，顯然， 的充要條件是的充要條件是又因又因lim0kkAlim()0,1,2,kiikJir111111( )iiiidk dkkikikikkiiikkikid dccJc 其中其中(1)(1)()!0()lklkk kklclklclk 當當于是于是 的充要條件是的充要條件是 。因此因此 的充要條件是的充要條件是例例 3 ：設：設 是是 的相容矩陣范數，那么的相容矩陣范數，那么對恣意對恣意 ，都有，都有 矩陣的冪級數矩陣的冪

23、級數lim()0kiikJ1ilim0kkA( )1An nCn nAC1( )limkkkAA( )( )kkm nijAaC定義：設定義：設 ，假設，假設 個常數項級數個常數項級數都收斂，都收斂， 那么稱矩陣級數那么稱矩陣級數收斂。假設收斂。假設 個個常數項級數個個常數項級數mn( )1,1,2,;1,2,kijkaim jn( )(1)(2)( )1kkkAAAAmn( )1,1,2,;1,2,kijkaim jn都絕對收斂，都絕對收斂， 那么稱矩陣級數那么稱矩陣級數絕對收斂。絕對收斂。 例例 ： 假設設假設設 ，其中，其中( )( )2 2kkijAaC( )(1)(2)( )1kkk

24、AAAA( )( )111231111( )( )2122111111,(1),sin22kkkkkkkkkkkkkkaak kkaa那么矩陣級數那么矩陣級數是收斂的。是收斂的。( )(1)(2)( )1kkkAAAA( )( )kkm nijAaC定理：設定理：設 ，那么矩陣，那么矩陣級數級數絕對收斂的充分必要條件是正項級數絕對收斂的充分必要條件是正項級數收斂，其中收斂，其中 為恣意一種矩陣范數。為恣意一種矩陣范數。證明：取矩陣范數證明：取矩陣范數 ( )(1)(2)( )1kkkAAAA( )(1)(2)( )1kkkAAAAA( )( )11mnkkijijAa那么對每一對那么對每一對

25、都有都有因此假設因此假設收斂，那么對每一對收斂，那么對每一對 常數項級數常數項級數, i j( )( )kkijAa( )(1)(2)( )1kkkAAAA, i j( )(1)(2)( )1kkijijijijkaaaa都是收斂的，于是矩陣級數都是收斂的，于是矩陣級數絕對收斂。絕對收斂。 反之，假設矩陣級數反之，假設矩陣級數絕對收斂，那么對每一對絕對收斂，那么對每一對 都有都有( )(1)(2)( )1kkkAAAA( )(1)(2)( )1kkkAAAA, i j( )(1)(2)( )1kkijijijijkaaaa 于是于是根據范數等價性定理知結論對任何一種范數都根據范數等價性定理知結

26、論對任何一種范數都正確。正確。( )( )1111111mnmnkkkijijkkijijkAaa 定義：設定義：設 ，稱形如，稱形如的矩陣級數為矩陣冪級數。的矩陣級數為矩陣冪級數。()m nijAaC2( )0120kkkkkc Ac Ic Ac Ac A定理：設冪級數定理：設冪級數 的收斂半徑為的收斂半徑為為為 階方陣。假設階方陣。假設 ，那么矩陣冪級，那么矩陣冪級數數 絕對收斂；假設絕對收斂；假設 ，那么，那么 發散。發散。 0kkkc x,R An( )AR0kkkc A( )AR0kkkc A證明：證明： 設設 的的Jordan規范形為規范形為其中其中于是于是A1122diag(),(),()rrJJJJ1()(1,2, )1iiiiiiiddJir11122diag(),(),()kkkkrrAPJJJP111111( )iiiidk dkkikikikkiiikkikid dccJc 所以所以1001011220010()=()=diag(),(),()kkkkkkkkkkkkkKKkkrrKc Ac PJ PPc JPPc Jc Jc JP其中其中1111000001100( )iiiidk dkkkik kik kikkkkkikkkiikkk kikkkikd dcc cc ccc