1、第二章 一元函數微分學及其應用第一節第一節 一元函數的導數與微分一元函數的導數與微分第二節第二節 導數的應用導數的應用第一節 一元函數的導數與微分一、導數的定義一、導數的定義二、求導法則和基本求導公式二、求導法則和基本求導公式三、函數的微分三、函數的微分1.導數的定義導數的定義 引例引例一、導數的定義 m,n為曲線為曲線c上不同點，作割線上不同點，作割線mn當點當點n沿曲線沿曲線c趨于點趨于點m時，如果割線時，如果割線mn繞點繞點m旋旋轉而趨于極限位置轉而趨于極限位置m， 直線直線mt就稱為曲線就稱為曲線c在點在點m處的切線處的切線 t0 xxoxy)(xfy cnm極限位置即極限位置即. 0

2、, 0 nmtmn).,(),(00yxnyxm設設的斜率為的斜率為割線割線mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxmnc沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線mt.)()(limtan000 xxxfxfkxx 導數的概念導數的概念,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導數處的導數在點在點數數并稱這個極限為函并稱這個極限為函處可導處可導在點在點則稱函數則稱函數時的極限存在時的極限存在之比當之比當與與如果如果得增量得增量取取相應地函數相應地函數時時仍在該鄰域內仍在該鄰域內點點處取得

3、增量處取得增量在在當自變量當自變量有定義有定義的某個鄰域內的某個鄰域內在點在點設函數設函數.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx ,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即.,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點導數是因變量在點點導數是因變量在點 x.)(,)(內可導內可導在開區間在開區間就稱函數就稱函數處都可導處都可導內的每點內的每點在開區間在開區間如果函數如果函數ixfi

4、xfy 關于導數的說明：關于導數的說明：2.左、右導數左、右導數3. 可導與連續的關系可導與連續的關系定理定理 凡可導函數都是連續函數凡可導函數都是連續函數. .證證,)(0可導可導在點在點設函數設函數xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續連續在點在點函數函數xxf)0(0 x 連續函數不存在導數舉例連續函數不存在導數舉例注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立. 步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極

5、限求極限例例1 1.)()(的導數的導數為常數為常數求函數求函數ccxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即4. 求導舉例求導舉例例例2 2.)(的導數的導數為正整數為正整數求函數求函數nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設函數設函數解解hxhxxhsin)sin(l

6、im)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例4 4.)1, 0()(的導數的導數求函數求函數 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee oxy)(xfy t0 xm幾何意義：幾何意義：)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxmxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxx

7、fyy 5. 導數的幾何意義導數的幾何意義定理定理并且并且可導可導處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導處可導在點在點如果函數如果函數,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu二、求導法則和基本求導公式求導法則和基本求導公式1. 導數的運算法則導數的運算法則例例1 1.tan的導數的導數求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos

8、)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例2 2.sec的導數的導數求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得2. 反函數的求導法則反函數的求導法則11( )( )0,( ),1( ).( )yxxyiyyxixy如果函數在某區間 內單調、可導且那么它的反函數在對應區間內也可導 且有即即 反函數的導數等于直接函數導數的倒數反函數的導數等于直接函數導數的倒數.3. 基本初等函數的求導

9、法則基本初等函數的求導法則xxxxxxxctansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc4. 復合函數的求導法則復合函數的求導法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或導數為導數為的的則復合函數則復合函數而而設設利用上述公式及法則初等函數求導問題可完全解決利用上述公式及法則

10、初等函數求導問題可完全解決.注意注意: :初等函數的導數仍為初等函數初等函數的導數仍為初等函數.)(形式稱為顯函數形式稱為顯函數xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數的顯化隱函數的顯化問題問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?y xf.和 之間的關系以 (x,y)=0的形式表現的函數稱為隱函數5、隱函數和由參數方程確定的函數的導數、隱函數和由參數方程確定的函數的導數 隱函數的導數隱函數的導數隱函數求導過程隱函數求導過程: :.,)()(定的函數定的函數稱此為由參數方程所確稱此為由參數方程所確間的函數關系間的函數關系與與確定確定若參數方程若參數方程xytyt

11、x ),()(1xttx 具有單調連續的反函數具有單調連續的反函數設函數設函數)(1xy ,)()(中中在方程在方程 tytx參數方程所確定的函數的導數參數方程所確定的函數的導數, 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設函數再設函數由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即6. 高階導數高階導數.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處處的的二二階階導導數數在在點點為為函函數數則則稱稱存存在在即即處處可可導導在在點點的的導導數數如如果果函函數數xxfxfxxfxx

12、fxfxxfxfx 記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 三階導數的導數稱為四階導數三階導數的導數稱為四階導數, 二階導數的導數稱為三階導數二階導數的導數稱為三階導數, 高階導數的概念高階導數的概念記作記作階導數階導數的的函數函數階導數的導數稱為階導數的導數稱為的的函數函數一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二階和二階以上的導數統稱為二階和二階以上的導數統稱為高階導數高階導數.)(;)(,稱為一階導數稱為一階導數稱為零階導數稱為零階導數相應地相應地xfxf 由高階導數的定義逐步求高階導數由高階導數的定義逐步

13、求高階導數.例例sin ,yx設解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得求正弦函數與余弦函數的求正弦函數與余弦函數的n階導數階導數. 高階導數的計算高階導數的計算三、函數的微分1. 微分的定義微分的定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xadyxdfdyxxxfyxaxxfyxaxoxaxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記記作作的的微微分分相相應應于于自自變變量量增增量量在在點點為為函函數數并并且

14、且稱稱可可微微在在點點則則稱稱函函數數無無關關的的常常數數是是與與其其中中成成立立如如果果在在這這區區間間內內及及在在某某區區間間內內有有定定義義設設函函數數.的線性主部的線性主部叫做函數增量叫做函數增量微分微分ydy ( (微分的實質微分的實質) ).(,)()(000 xfaxxfxxf 且且處可導處可導在點在點數數可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點在點函數函數定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxay ,)(xxoaxy xxoaxyxx )(limlim00則則.a ).(,)(00 xfaxxf 且且可導可導在點在點即函數即函數2. 可導與

15、可微的關系可導與可微的關系(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導導在在點點函函數數xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00axfxxf 且且可微可微在點在點函數函數).(.0 xfa 可微可微可導可導.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記作記作微分微分稱為函數的稱為函數的的微分的微分在任意點在任意點函數函數3. 微分的運算法則微分的運算法則dxxfdy)( 求法求法: : 計算函數的導數計算函數的導數, 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1)基本初等函數的微分公式基本初等

16、函數的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdcdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2) 微分的四則運算法則微分的四則運算法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdcducuddvduvud arc3)復合函數的微分法則復合函數的微分法則4. 微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用, 0)()(00很小時很小時且且處的導數處的導數在點在點若若xxfxxfy .)(0 xxf 0