1、1微分中值定理和微分中值定理和導數的應用導數的應用第四章第四章2 微分中值定理的核心是微分中值定理的核心是拉格朗日拉格朗日(lagrange)中值定理，中值定理，費馬定理費馬定理是它的預備定理，是它的預備定理，羅爾定理羅爾定理是它的特例，是它的特例，柯西定理柯西定理是它的推廣。是它的推廣。1. 1. 預備定理預備定理費馬費馬( (fermat) )定理定理. 0)( )( ),( )( 000 xfxxfxbaxf可導，則可導，則在點在點且且取得最值，取得最值，內一點內一點在在若函數若函數 費馬（費馬（fermat，1601-1665），），法法國人，與笛卡爾共同創立解析幾何。國人，與笛卡爾共

2、同創立解析幾何。因提出費馬大、小定理而著名于世。因提出費馬大、小定理而著名于世。第一節第一節 微分中值定理微分中值定理3xyo)(xfy 1 2 幾何解釋幾何解釋: :1. 1. 預備定理預備定理費馬費馬( (fermat) )定理定理. 0)( )( ),( )( 000 xfxxfxbaxf可導，則可導，則在點在點且且取得最值，取得最值，內一點內一點在在若函數若函數 曲線在最高點或最曲線在最高點或最低點如果有切線，則切低點如果有切線，則切線必然是線必然是水平水平的。的。4證明證明:達達到到最最大大值值證證明明。在在只只就就0)(xxf),()(,),()(0000 xfxxfbaxxxxf

3、 就就有有內內在在達達到到最最大大值值，所所以以只只要要在在由由于于, 0)()( 00 xfxxf即即;0 ,0 )()( 00時時當當從而從而 xxxfxxf;0 ,0 )()(00時時當當 xxxfxxf0 )()( lim)( 000 x0 xxfxxfxf這這樣樣.0 )()( lim)(000 x0 xxfxxfxf.0)(0 xf所所以以可導，可導，在點在點而而0)(xxf極限極限的保的保號性號性52. 2. 羅爾羅爾( (rolle) )定理定理xo yc aby f (x)ab幾何解釋幾何解釋: : 如果連續光滑的曲如果連續光滑的曲線線 y f (x) 在端點在端點 a、b

4、處的縱坐標相等。處的縱坐標相等。那么，在曲線弧上至那么，在曲線弧上至少有一點少有一點 c( , f( )，曲線在曲線在 c點的切線是點的切線是水平的。水平的。如果函數如果函數y f (x)滿足條件：滿足條件：(1)在閉區間在閉區間a, b上上連續，連續，(2)在開區間在開區間(a, b)內可導，內可導，(3) f (a) f (b)，則至則至少存在一點少存在一點 (a, b)，使得使得f ( ) 0。6證證.)1(mm 若若,)(連續連續在在baxf.mm 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mm 若若),

5、()(bfaf ),(afm 設設.)(),(mfba 使使，則則由費馬引理由費馬引理,.0)( f所以最大值和最小值不可能同時在端點取得。所以最大值和最小值不可能同時在端點取得。7注意：注意： f (x)不滿足條件不滿足條件(1) f (x)不滿足條件不滿足條件(3) f (x)不滿足條件不滿足條件(2)bxo yaabxo yababcxo yabab 如果定理的三個條件有一個不滿足，則定理的結如果定理的三個條件有一個不滿足，則定理的結論就可能不成立。論就可能不成立。8在在, 0 上上連連續續, ,), 0( 內內可可導導, , 且且0)()0( ff, , 例例1 1驗證驗證，xxfsi

6、n)( ，xxfcos)( ，0)2( f. ), 0(2 9 例例2 2 不求導數，判斷函數不求導數，判斷函數f (x) (x 1)(x 2)(x 3)的導的導數有幾個零點，以及其所在范圍。數有幾個零點，以及其所在范圍。 解解 f (1) f (2) f (3) 0，f(x)在在1, 2，2, 3上滿足羅爾上滿足羅爾定理的三個條件。定理的三個條件。 在在 (1, 2) 內至少存在一點內至少存在一點 1，使使 f ( 1) 0， 1是是 f (x)的一個零點。的一個零點。 在在(2, 3)內至少存在一點內至少存在一點 2，使使f ( 2) 0， 2也是也是f (x)的一個零點。的一個零點。 f

7、 (x) 是二次多項式，只能有兩個零點，分別在區是二次多項式，只能有兩個零點，分別在區間間(1, 2)及及(2, 3)內。內。思考：思考：f (x)的零點呢？的零點呢？10證證明明： 可可導導函函數數)(xf的的兩兩個個零零點點之之間間必必有有)()(xfxf 的的零零點點. . 例例3 3證證對對)(e)(xfxgx 使使用用羅羅爾爾定定理理, , ，)()(e)(xfxfxgx )(xf的的零零點點即即為為)(xg的的零零點點, , 由由羅羅爾爾定定理理可可知知, ,)(xf的的兩兩個個零零點點之之間間必必有有)(xg 的的零零點點, , 而而)(xg 的的零零點點即即為為)()(xfxf

8、 的的零零點點, , 結論得證結論得證. . 類類似似, ,欲欲證證)()(xfxf 存存在在零零點點, ,取取 )(e)(xfxgx 即即可可. . 11證證設設)(xf在在 1, 0上上連連續續, ,在在) 1, 0(內內可可導導, ,且且0) 1 ( f，證證明明：存存在在, ) 1, 0( 使使得得 .0)(1)( ff 作作輔輔助助函函數數 , )()(xxfxf 則則 , )()()(xfxxfxf 顯顯然然)(xf在在1, 0上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件, , 故故存存在在, ) 1, 0( 使使得得 .0)()()( fff例例4 4原原式式改改為為 .0)()(

9、ff 12證證設設)(),(xgxf在在,ba上上可可導導, ,0)( xg )(af,0)( bf 證證明明存存在在,),(ba 使使 .)()()()( gfgf 作作輔輔助助函函數數 ,)()()(xgxfxh 則則 ,)()()()()()(2xgxgxfxgxfxh 顯然顯然)(xh在在,ba上滿足羅爾定理的條件上滿足羅爾定理的條件, , 故存在故存在,),(ba 使使,0)( h 即即 .)()()()( gfgf 例例5 513 如果函數如果函數f (x)滿足：滿足：(1)在閉區間在閉區間a, b上連續，上連續，(2)在在開區間開區間(a, b)內可導，則至少存在一點內可導，則至

10、少存在一點 (a, b)內，使得內，使得幾何意義：幾何意義： 得到得到將羅爾定理條件中去掉將羅爾定理條件中去掉),()(bfaf 3. 3. 拉格朗日拉格朗日( (lagrange) )中值定理中值定理.,abcab行于弦行于弦該點處的切線平該點處的切線平在在至少有一點至少有一點上上在曲線弧在曲線弧.)()()(abafbff c2h h xo yababy=f (x)c1 14證明證明容容易易驗驗證證, ,)(xf滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件, , 于于是是),(ba , ,使使 即即 abafbff )()()( . . 作輔助函數作輔助函數 ，)()()()()()(axabaf

11、bfafxfxf ，0)()()()( abafbfff 15xxfln)( , ,在在e, 1 上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的條條件件, , 例例6 6，xxf1)( ，1e11e)1() e ( ff，e), 1(1e .1e)1() e ()( fff 使使16)10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式.，)()()(abfafbf 之之間間和和介介于于ba 或或)()()(ababafafbf ,10 , 特別地特別地,或或.的精確表達式的精確表達式增量增量 y 拉格朗日中值公式另

12、外的表達方式：拉格朗日中值公式另外的表達方式：abafbff )()()( 17如如果果在在),(ba內內恒恒有有0)( xf, ,則則)(xf在在),(ba內內為為一一常常數數. . 推論推論1 1),(, ),(2121xxxxba 內內任任取取兩兩點點在在)( )()()(211212xxxxfxfxf 則則，0)()(, 0)(12 xfxff . )()(12xfxf 即即由由21,xx的的任任意意性性可可知知, , )(xf常常數數, ,),(bax . . 證明證明在在,21xx上上對對)(xf使使用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 18如如果果)(xf和和)(xg在在),(ba

13、內內可可導導, ,且且在在),(ba內內恒恒有有)()(xgxf , ,則則在在),(ba內內)(xf和和)(xg最最多多相相差差一一個個常常數數. . 由由推推論論 1 1 知知 cxgxfx )()()( ， 作作輔輔助助函函數數 )()()(xgxfx , , 則則 0)()()( xgxfx , , 推論推論2 2證明證明即得即得結論。結論。19而而 2)0( f, , 故故 2)( xf, ,1, 1 x. . 證證明明恒恒等等式式 2arccosarcsin xx, , 1, 1 x 設設 xxxfarccosarcsin)( , ,1 , 1 x 01111)(22 xxxf,

14、,)1, 1( x cxf )( ,)1, 1( x 且且 2)1()1( ff, , 類似可得：類似可得：2cotarcarctan xx, ,rx . . 例例7 7證證由推論由推論1知知,20利用拉格朗日定理證明不等式利用拉格朗日定理證明不等式證明：證明：aababb1lnln1 ,)0(ba 令令 xxfln)( , ,在在),(ba上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 例例8 8證證，ababf lnln1)( ,ba ,111ab .1lnln1aababb 即得即得21例例9 9.)1ln(1,0 xxxxx 時時證證明明當當證證, 0)(條條件件上上滿滿足足拉拉格格朗朗日

15、日定定理理的的在在xtf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111 , 11111 x,11xxxx ),1ln()(ttf 設設.)1ln(1 xxxx 即得即得22不不妨妨設設yx , ,令令ttfsin)( , , 在在,yx上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理： 而而 1cos , , 故故 yxyx sinsin. . 在在上上式式中中令令0 y，即即得得結結論論. . ),(yx , ,使使 )(cossinsinyxyx , , 例例1010證證類似可證：類似可證： ，yxyx arctanarctanryx ,，yxyx sinsinryx ,推論推論，xx sinrx 234. 4. 柯西柯西( (cauchy) )中值定理中值定理 設函數設函數f (x)及