1、4 4 羅朗羅朗( (laurentlaurent) )級數級數& 一一 預備知識預備知識& 二二 雙邊冪級數雙邊冪級數& 三三 函數展開成雙邊冪級數函數展開成雙邊冪級數& 四四 展開式的唯一性展開式的唯一性由由3 知知, f (z) 在在 z - z0r 內解析，則在該圓域內解析，則在該圓域內內, , f (z)可展開成可展開成 z - z0的冪級數。若的冪級數。若 f (z) 在在z0點點不解析，但在圓環域不解析，但在圓環域 r1z - z0r2 內解析，那么，內解析，那么，f (z)能否用能否用級數表示呢？級數表示呢？先看一個例子先看一個例子:例如，例如，

2、.11010:,1, 0)1(1)(內內處處處處解解析析及及圓圓環環域域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111內內 容容 簡簡 介介zzzzzfz 111)1(1)(,10時時當當)1(1111)1(1)(,110zzzzzfz 時時當當 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在r 1z - z0r2 內解析內解析, , f (z) 可可以展開成級數，只是這個級數含有負冪次項以展開成級數，只是這個級數含有負冪次項,即即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz本

3、節將討論在以本節將討論在以z 0為中心的圓環域內解析的函數為中心的圓環域內解析的函數的級數表示法。它是后面將要研究的解析函數在的級數表示法。它是后面將要研究的解析函數在孤立奇點鄰域內的性質以及定義留數和計算留數孤立奇點鄰域內的性質以及定義留數和計算留數的基礎。的基礎。一一 預備知識預備知識cauchy 積分公式的推廣到復連通域積分公式的推廣到復連通域，：、且且作作圓圓周周：解解析析內內在在設設rzzrddkkrrrzzkrzzkrzzrdzf 01210201201,:,:.:)(dz0r1r2rrk1k2d1z有，有，對對1dz dzfidzfizfkk 12)(21)(21)(二二 雙邊冪

4、級數雙邊冪級數-含有正負冪項的級數含有正負冪項的級數定義定義 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-雙邊冪級數雙邊冪級數正冪項正冪項(包括常數項包括常數項)部分：部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常數都是常數及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn負冪項部分：負冪項部分：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc級數級數(2)是一冪級數，設收斂半徑為是一冪級數，設收斂半徑為r2 即，級數即，級數在在 z - z0 =r2 內收斂，且和為內收斂，且和為s(z)+; 在在z

5、 - z0 =r 2外發散。外發散。 則則若若令令對對于于級級數數,1),3(0zz 級級數數發發散散。級級數數收收斂斂則則當當設設其其收收斂斂半半徑徑為為為為冪冪級級數數級級數數對對變變數數rrr ,)4() 4()(221110 nnnnnnnncccczzc 則則級級數數代代回回得得將將令令,11,1100rrzzzz .;)(,1010發發散散當當且且和和為為收收斂斂當當rzzzsrzz z0r1r2有有公公共共收收斂斂域域21rr z0r2r1無無公公共共收收斂斂域域21rr 。且和且和收斂收斂稱稱，此時，此時，區域即圓環域：區域即圓環域：有公共收斂有公共收斂及及時，級數時，級數當且

6、僅當當且僅當 )()()(,)()3()2(020121zszszszzcrzzrrrnnn.)()4(2010以以逐逐項項求求積積和和逐逐項項求求導導和和函函數數是是解解析析的的而而且且可可內內的的在在級級數數rzzrzzcnnn a 02100)3(zzrr：，收收斂斂域域為為此此時時可可以以可可以以。，發發散散處處處處稱稱時時當當 nnnzzcrr)()1(021(2)(2)在圓環域的邊界在圓環域的邊界z - z0=r1z - z0 =r2上上, , nnnzzc。點點發發散散可可能能有有些些點點收收斂斂，有有些些)(0三三 函數展開成雙邊冪級數函數展開成雙邊冪級數定理：定理：.) 5(

7、), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的任何一條簡單閉曲線內繞是其中則內解析在設zdcndzficzzczfrzzrdzfcnnnnn級級數數內內的的在在稱稱為為laurentrzzrdzf201:)( 展展開開式式內內的的在在稱稱為為laurentrzzrdzf201:)( 證明證明 由復連通域上的由復連通域上的cauchy 積分公式：積分公式：dz0r1r2rrk1k2d1zdzfidzfizfkk12)(21)(21)(記為記為i1記為記為i2，時時，當當1002 zzzk ，時時，當當記記為為1001 qzzzk )1(*)()()()(21(0001

8、0012 nnnnknnzzczzdzfii 的的推推導導得得：重重復復 3 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfii :,2)(1逐項積分得逐項積分得并沿并沿兩邊乘以兩邊乘以kif 式式(*1),(*2)中系數中系數cn的積分分別是在的積分分別是在k2， k1上進上進行的，在行的，在d內取繞內取繞z0的簡單閉曲線的簡單閉曲線c，由復合閉路，由復合閉路定理

9、可將定理可將cn寫成統一式子：寫成統一式子：), 2, 1, 0()()(2110ndzficcnn nnnzzczf)()(0證畢！證畢！級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數的解析部分和主要部分。洛朗級數的解析部分和主要部分。a .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內不是處處內不是處處在在相同相同形式上與高階導數公式形式上與高階導數公式系數系數時時當當czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在許多實際應用中，經常遇到在許多實際應用中，經常遇到f (z)在奇點在奇點 z0的鄰域內解析，需要把的鄰域內解析，需要把f (z)展成級數，

10、那么展成級數，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ laurent ）級數來展開。）級數來展開。四四 展開式的唯一性展開式的唯一性結論結論 一個在某一圓環域內解析的函數展開為含一個在某一圓環域內解析的函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是有正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是f (z)的洛朗級數。的洛朗級數。事實上事實上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfrzzrdzf可可表表示示為為內內解解析析，在在設設 nnnzaf)()(0 dz0r1r2cczdc 的的簡簡單單閉閉曲曲線線，內內任任何何一一條條繞繞為為設設0的的正正向向積積分分得得：并并沿沿為為任任一一整整數數將

11、將上上式式兩兩邊邊乘乘以以cpzp),()(110 dz0r1r2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級級數數就就是是展展開開成成級級數數在在圓圓環環域域內內解解析析的的函函數數由由此此可可知知laurent nnnzaf)()(0 a 由唯一性，將函數展開成由唯一性，將函數展開成laurent級數，可級數，可用間接法。在大都數情況，均采用這一簡便的方用間接法。在大都數情況，均采用這一簡便的方法求函數在指定圓環域內的法求函數在指定圓環域內的laurent展開式，只有展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式在個別情況下，才直

12、接采用公式(5)求求laurent系系數的方法。數的方法。例例1解解展展開開成成洛洛朗朗級級數數。在在求求 zzz0sin !5!31!5!3(1)!12()1(1sin425302zzzzzznzzzznnn z0.03級級數數內內展展開開成成在在將將laurentzzez ! 4! 31! 2111)! 21(1!12323033nzzzzznzzzznzzzennnnz例例2解解例例3解解.01級級數數內內展展成成在在將將laurentzez nttntte!1! 2112在在復復平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z例例4級級數數。內內展展開開成成（在在

13、以以下下圓圓環環域域將將laurentziiiziizizzzf 2)(;21)(; 10)2)(1(1)(xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（解解zzzf 2111)( 01222)211 (874321)421 (21)1 (2112111)(nnnnzzzzzzzzzzzf故故12110)( zzzi2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121 )( zzzii 0112122218421111)421(21)111(1nnnnnnnzzzzzzzzzzzz1222)( zzziiizzzzzzzf211111112111)( 210012)2(1)1(1nnnnnnnzzzzz 43222731)421 (1)111 (1zzzzzzzzz級級數數。域域內內展展開開