1、返回返回第四章第四章 不定積分不定積分第一節第一節 不定積分的概念與性質不定積分的概念與性質一、原函數與不定積分的概念一、原函數與不定積分的概念二、基本積分表二、基本積分表三、不定積分的性質三、不定積分的性質四、小結四、小結求不定積分的運算，就是求導數運算的逆運算。求不定積分的運算，就是求導數運算的逆運算。)(sin xxcos xcos )(? )()(?xf 問題的提出問題的提出微分法微分法積分法積分法?)( xf返回返回例例1 xx22 )0(1ln xxxxln是是x1在區間在區間), 0( 內的原函數內的原函數.定義：定義：一、原函數與不定積分的概念一、原函數與不定積分的概念, ix

2、 若對若對)()( xfxf 有有ixfxf )( )( 在在是是則稱則稱上的原函數上的原函數anti-derivative返回返回原函數存在定理原函數存在定理連續函數一定有原函數連續函數一定有原函數,)( cixf 即若即若),( xf 則則, ix 使對使對)()( xfxf 有有2例例2)(xxf cr ,31)(3xxf )()(xfxf 初等函數在定義區間上連續初等函數在定義區間上連續初等函數在定義區間上有原函數初等函數在定義區間上有原函數返回返回原函數存在定理原函數存在定理連連續續函函數數一一定定有有原原函函數數,)( cixf 即若即若),( xf 則則, ix 使對使對)()(

3、 xfxf 有有2例例2)(xxf cr ,31)(3xxf )()(xfxf 問題：問題：, 若原函數若原函數是否唯一？是否唯一？. 否否),()( xfxf 若若)()( xfcxf 則則的原函數，的原函數，是是即若即若 )( )( xfxf. )( 亦是亦是則則cxf 返回返回關于原函數的說明：關于原函數的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數，則對于任意常數 ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函數數.（2）若）若 和和 都是都是 的原函數，的原函數，)(xf)(xg)(xf則則cxgxf )()(（ 為任意常數）為任意常數）c證證 )()()()(xgxfxgx

4、f 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 為任意常數）為任意常數）c返回返回定義定義, ix 對對)()( xfxf 若若則稱則稱cxf )(的不定積分的不定積分為為 )( xf記記號號分分積積數數函函積積被被被積表達式被積表達式項項數數常常 dxxf)(積分變量積分變量cxf )(的所有原函數的所有原函數 )(xf返回返回3例例dxx 5求求解解,)6(56xx 665xdxx 4例例dxx 211求求解解 211arctanxx xdxxarctan112c c 返回返回 dxxf)( )(xdf )(dxxf dxxfdxd)( dxxfd)(cxf )(cxf )()(xf )(

5、xfdxxf)(積分運算與導數運算的互逆關系積分運算與導數運算的互逆關系)( cxf)(xf 先積后導，不積不導先積后導，不積不導先導后積，加上常數先導后積，加上常數返回返回同一函數的不定積分的結果形式會不同同一函數的不定積分的結果形式會不同 ;arctan112cxdxx可用求導數的方法驗證正確性可用求導數的方法驗證正確性. cxarcdxxcot112返回返回ckx dxx 01 kdx0203 dxx104 dxx21105 dxx21106 xdxcos07 xdxsin08 dxx2sec09 xdx2csc010 dxxxtansec011 xdxxcotcsc012 dxex01

6、3 dxax)1( 二、基本積分表二、基本積分表返回返回6例例解解dxx 求求 x)(1 x)1( 11 即即)(1 x)1(1 x x dxx 11 xc 返回返回 dxx 01 kdx0203 dxx104 dxx21105 dxx21106 xdxcos07 xdxsinckx cx 11 )1( cx arctan08 dxx2sec09 xdx2csc010 dxxxtansec011 xdxxcotcsc012 dxex013 dxax二、二、 基本積分表基本積分表返回返回7例例解解 dxx1求求xdxxln1 ?0 x若若此時此時 )ln( xx 1)1( x1 時時綜上，綜上，

7、0 xxdxxln1 c c 返回返回 dxx 基本積分表基本積分表二二.01 kdx0203 dxx104 dxx21105 dxx21106 xdxcos07 xdxsinckx cx 11 )1( cx lncx arctancx arcsin08 dxx2sec09 xdx2csc010 dxxxtansec011 xdxxcotcsc012 dxex013 dxaxcx sincx coscx tancx cotcx seccx csccex 返回返回8例例解解 dxax求求xa )(xaaln)ln( aaxaaxln)( 即即xa dxaxaaxln c 返回返回 dxx 基本積

8、分表基本積分表二二.01 kdx0203 dxx104 dxx21105 dxx21106 xdxcos07 xdxsinckx cx 11 )1( cx lncx arctancx arcsin08 dxx2sec09 xdx2csc010 dxxxtansec011 xdxxcotcsc012 dxex013 dxaxcx sincx coscx tancx cotcx seccx csccex caax ln返回返回cxdxx 11 dxxx 2 求求9例例解解10例例解解dxxx 31 求求dxxx 2dxx 25125125 x.7227cx dxxx 31dxx 27127127

9、x.5225cx c c 返回返回 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質可推廣到（此性質可推廣到有限有限多個函數之和的情況）多個函數之和的情況）三、三、 不定積分的性質不定積分的性質 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數數，)0 k返回返回12例例 dxxx)3( 32求求解解 dxxx)3(32661x 3x 13例例解解.)1213( 22dxxx 求求dxxx)1213(22 xarctan3 xarcsin2 c c 14例例dxxx 23)1(dxx

10、xxx 223133 dxxdxx253 dxxxx)133(2返回返回例例1515 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx 需借助代數需借助代數作恒等變形作恒等變形本題可用分項方法化簡本題可用分項方法化簡返回返回18例例解解 xdx2cot 求求 xdx2cot dxx)1(csc2xcot x c 19例例解解 dxx2sin 2求求 dxx2sin2 dxx)cos1(21x(21 )sin x c 需借助三角公式作恒等變形需借助三角公式作恒等變形返回返回例例20

11、 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx2cos121.tan21cx 說明：說明： 以上幾例中的被積函數都需要進行以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.需借助三角公式作恒等變形需借助三角公式作恒等變形 xdx2sec21返回返回16例例),2 , 1(已知某曲線過點已知某曲線過點處切線處切線點點其上其上),(yx 的兩倍，的兩倍，的斜率為的斜率為x求其方程求其方程解解)( xfy 設曲線方程設曲線方程則由題意知則由題意知xxf2)( )(xfdxx 22x ),2 , 1(曲線過點曲線過點又又,12c 1 c即即1

12、2 xy故所求曲線為故所求曲線為xy0c 返回返回),2 , 1(已知某曲線過點已知某曲線過點處切線處切線點點其上其上),(yx 的兩倍，的兩倍，的斜率為的斜率為x求其方程求其方程解解則由題意知則由題意知xxf2)( ),2 , 1(曲線過點曲線過點又又,12c 1 c即即12 xy故所求曲線為故所求曲線為xy02x c )(xfdxx 2)( xfy 設曲線方程設曲線方程16例例返回返回ex: 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 返回返回分析分析 進行積分計算時，應盡可能使被積

13、函數變得進行積分計算時，應盡可能使被積函數變得簡單，從而易于計算。本題可用分項方法化簡。簡單，從而易于計算。本題可用分項方法化簡。 返回返回解解,2cos2xdxdy dxxy 2cos2,sin2121cxx , 5)0( y, 5 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 5sin2121 xxydxx 2cos1返回返回基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質不定積分的性質 原函數的概念：原函數的概念：)()(xfxf 不定積分的概念：不定積分的概念： cxfdxxf)()(求微分與求積分的互逆關系求微分與求積分的互逆關系四、四、 小結小結返回返回思考題思考題符號函數符號函數 0, 10, 00

14、, 1sgn)(xxxxxf在在 內是否存在原函數？為什么？內是否存在原函數？為什么？),( 返回返回思考題解答思考題解答不存在不存在.假設有原函數假設有原函數)(xf 0,0,0,)(xcxxcxcxxf但但)(xf在在0 x處處不不可可微微，故假設錯誤故假設錯誤所以所以 在在 內不存在原函數內不存在原函數.),( )(xf結論結論每一個含有每一個含有第一類間斷點第一類間斷點的函數都的函數都沒有原函數沒有原函數.返回返回一、一、 填空題：填空題：1 1、 一個已知的函數，有一個已知的函數，有_個原函數，其中任意個原函數，其中任意兩個的差是一個兩個的差是一個_；2 2、 )(xf的的_稱為稱為

15、)(xf的不定積分；的不定積分；3 3、 把把)(xf的一個原函數的一個原函數)(xf的圖形叫做函數的圖形叫做函數)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xfy ，這樣不定積，這樣不定積 dxxf)(在幾何上就表示在幾何上就表示_，它的方程是，它的方程是 cxfy )(；4 4、 由由)()(xfxf 可 知 ， 在 積 分 曲 線 族可 知 ， 在 積 分 曲 線 族cxfy )( )(是任意常數是任意常數c上橫坐標相同的點上橫坐標相同的點處作切線，這些切線彼此是處作切線，這些切線彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某區間上在某區間上_，則在該區間上，則在該區間上)(xf的的 原函數一定存在；原函數一定存在；練習題練習題返回返回6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .返回返回3 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxxx)11(26 6、 xdxxxx2222sec1sin 三、一曲線通過點三、一曲線通過點)3,(2e，且在任一點處的切線的斜，且在任一點處的切線的斜 率等于該點橫坐標的倒數，求該曲線的方程率等于該點橫坐標的倒數，求該曲線的方程 . .四、證明函數四、證明函數xx