1、第三節函數的微分及其應用第三節函數的微分及其應用一、微分概念一、微分概念二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義第二章導數與微分第二章導數與微分三、微分的基本公式及其運算法則三、微分的基本公式及其運算法則四、微分在近似計算中的應用四、微分在近似計算中的應用一、微分概念一、微分概念先來看一個例子，邊長為先來看一個例子，邊長為 x 的正方形，的正方形，其面積增加多少？其面積增加多少？面積的增加部分記作面積的增加部分記作 s，則則 s = (x + + x )2 - - x2= 2x x + + ( x) 2，當當 x 很小時，例如很小時，例如 x = 1， x = 0.01 ，則，則 2x x = 0

2、.02，設正方形的面積為設正方形的面積為 s， 當邊長當邊長增加增加 x 時，時，而另一部分而另一部分 x2 = 0.000 1， 當當 x 越小時，越小時， x2 部分就比部分就比 2x x小的更多小的更多. 因此，如果要取因此，如果要取 s 的的近似值時，近似值時，顯然顯然 2x x 是是 s 的一個很好的近似，的一個很好的近似，2x x 就稱為就稱為 s = x2 的微分的微分.定義定義設函數設函數 y = f (x) 在點在點 x 的一個鄰域的一個鄰域內有定義，內有定義， y = a x + + ， 其中其中 a 與與 x 無關無關， 是是 x 的高階無窮小量，的高階無窮小量，則稱則稱

3、 a x 為函數為函數 y = f (x) 在在 x 處的微分，記作處的微分，記作 dy，即即dy = a x . 這時也稱函數這時也稱函數 y = f (x) 在點在點 x 處處可微可微. 如果函數如果函數 f (x) 在點在點 x 處的增量處的增量 y = f (x + x ) - - f (x) 可以表示為可以表示為例例 1設設 y = x3，求，求 x = 1 處的微分處的微分.解解 y = (1 + + x)3 13 = 3 x + + 3( x)2 + + ( x)3.上式可以看成兩部分組成，上式可以看成兩部分組成， 它是它是 x 的高階無窮小量，的高階無窮小量，. 0)3(lim

4、3limlim203200 xxxxxxxxx 所以函數所以函數 y = x3 在點在點 x = 1 處的微分是處的微分是dy = 3 x . 為了方便起見，把自變量的增量為了方便起見，把自變量的增量 x 寫成寫成 dx ，即即 x = dx. 從而從而dy = adx . 第一部分具有第一部分具有 a x 形式的是形式的是 3 x， 第二部分第二部分 是是 3( x)2 + + ( x)3 ，這是因為這是因為 則 函 數則 函 數 y = f (x) 在點在點 x 處可導，處可導， 反之，如果反之，如果函數函數 y = f (x) 在點在點 x 處可導，處可導，證證因為因為 f (x) 在點

5、在點 x 處可微，處可微，. 0lim0 xx 其中其中.)(limlimlim000axaxxaxyxxx 即即 f (x) 在點在點 x 處可導，且處可導，且 a = f (x). y = a x + + . 且且 a = f (x).所以有所以有定理定理 1設函數設函數 y = f (x) 在點在點 x 可微，可微，則則 f (x) 在點在點 x 可微可微. .從而有從而有， )( xfxy0lim 0 x其其中中( (這是根據極限與無窮小的關系得出的這是根據極限與無窮小的關系得出的).).得得 y = f (x) x + + x ., 0limlim00 xxxx因因為為所以，函數所以

6、，函數 f (x) 可微可微. 且且dy = f (x) x 或或 dy = f (x)dx . 反之，因反之，因 f (x) 在在 x 處可導，處可導， 即即， )(lim0 xfxyx 上述定理可敘述為：上述定理可敘述為： 函數函數 f (x) 在在 x 處可微處可微的充要條件是函數的充要條件是函數 f (x) 在在 x 處可導處可導. 式也可以寫為式也可以寫為).(ddxfxy 解解因為因為， 12xy 所以所以， d2dxxy .d2d2|d11xxxyxx 例例 2求函數求函數 y = 2ln x在在x 處的微分，并求當處的微分，并求當 x = 1 時的微分時的微分( (記作記作dy

7、 | x = 1) ). ntmp二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義如圖所示，如圖所示，就是曲線就是曲線 y = f (x) 在點在點 p 處切線的縱坐標在相處切線的縱坐標在相應處應處 x 的增量，的增量， 而而 y 就就是曲線是曲線 y = f (x) 的縱坐的縱坐標在點標在點 x 處的增量處的增量 .xx + + xy=f (x)yx opn = dx，nm = y，所以所以 dy = nt， nt = pntan = f (x)dx，即函數即函數 y = f (x) 的微分的微分 dymnpntndy 1. .基本初等函數的微分公式基本初等函數的微分公式dc =三、微分的基本公式及其運

8、算法則三、微分的基本公式及其運算法則0.dx = x - -1dx.dex =exdx.dax =axlnadx. xdln.d1xx xadlog.dln1xaxdsin x =cos xdx.dcos x = - - sin xdx.dtan x =sec2 xdx.dcot x =- - csc2 xdx.dsec x =sec xtan xdx.dcsc x =- - csc xcot xdx. xdarccos xdarctan xdarccot xdarcsin.d112xx .d112xx .d112xx .d112xx 2. .微分的四則運算微分的四則運算定理定理 2設函數設函

9、數 u、v 可微，可微， 則則d(u v) = du dv.d(uv) = udv + + vdu. )0(ddd2 uuuvvuuv證證上述三個公式證法均類似，上述三個公式證法均類似，其余由讀者作為練習自證之其余由讀者作為練習自證之.d(uv) = (uv) dx = (uv + + vu )dx= uv dx + + vu dx .因為因為 v dx = = dv， u dx = du .所以有所以有d(uv) = = udv + + vdu .推論推論 1當當 v 為常數為常數 c 時，則時，則 d(cu) = = cdu.推論推論 2當當 v = 1 時，時，.d11d2uuu 我們只

10、證第二個，我們只證第二個，則則例例 3設設 y = 3ex tanx，求求 dy .解解dy = d(3ex) dtan x= 3dex sec2 xdx= 3exdx sec2 xdx = (3ex sec2x ) dx . 例例 4設設 y = excos x，求，求 dy .解解dy = d(excos x) = ex dcos x + + cos xdex= ex (cos x - - sin x)dx .例例 5,11 22xxy 設設求求 dy .解解2211ddxxy 222222)1()1)d(1()1d()1(xxxxx .d)1(422xxx 3. .復合函數的微分復合函數

11、的微分定理定理 3設函數設函數 y = f (u)， u = (x) 均可均可微，微，dy = f (u) (x) dx .則則 y = f ( (x) 也可微，也可微， 且且由于由于du = (x) dx，所以上式可寫為所以上式可寫為dy = f (u) du .從上式的形式看，從上式的形式看， 它與它與 y = f (x) 的微分的微分 dy = f (x)dx 形式一樣，這叫一階微分形式不變性形式一樣，這叫一階微分形式不變性. 其意義是：不管其意義是：不管 u 是自變量還是中間變量，函是自變量還是中間變量，函數數 y = f (u) 的微分形式總是的微分形式總是 dy = f (u)du

12、 .例例 6設設 y = sin(2x)，求微分，求微分 dy . 解解利用微分形式不變，利用微分形式不變， 有有dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .例例 7設設 y = e- -3x cos 2x，求，求 dy . 解解 dy = d(e- -3x cos 2x) = e- -3x dcos 2x + + cos 2xde- -3x = - -e- -3x sin 2xd(2x) + + e- -3x cos 2x d(- -3x ) = - -e- -3x (2sin 2x + + 3cos 2x)dx ，由此也可知由此也可知y = - -e- -3x (2sin

13、 2x + + 3cos 2x) .四、微分在近似計算中的應用四、微分在近似計算中的應用當當 | x | 很小時很小時( (記作記作 | x | 1) )， y dy .即即f (x0 + + x) - - f (x0) f (x0) x， 或或f (x) f (x0) + + f (x0)(x - - x0). 有有解解球的體積公式是球的體積公式是.343rv 當當 r 由由 4 m 增加到增加到 4 + 0.1 m ， v 的增加為的增加為 v 時，時， v dv . 而而 dv = v dr = 4 r2 dr，即即 v 4 r2 dr . 此處此處 dr = 0.1，r = 4 . 代

14、入上式得體積近似增加了代入上式得體積近似增加了 v 4 3.14 42 0.1 20 (m3) . 例例 8一個充好氣的氣球，半徑為一個充好氣的氣球，半徑為 4 m. 升空后，因外部氣壓降低氣球半徑增大了升空后，因外部氣壓降低氣球半徑增大了10 cm，問氣球的體積近似增加多少？問氣球的體積近似增加多少？例例 9計算計算 cos 30 12 的近似值的近似值. 解解選函數選函數 f (x) = cos x，.6300 x，則則 1802 .30 xf (x) = - - sin x，.216sin)(0 xff (x0) = cos 30 ， 代入公式代入公式f (x) f (x0) + + f (x0)(x - - x0) ，得