1、高等數學高等數學 (上上)書名：高等數學書名：高等數學 （上）（上）ISBNISBN： 978-7-111-30309-1978-7-111-30309-1出版社：機械工業出版社出版社：機械工業出版社本書配有電子課件本書配有電子課件高等數學高等數學 （上）（上） 高職高專高職高專 ppt ppt 課件課件高等數學高等數學 (上上)第二章第二章 導數與微分導數與微分學習目標：學習目標：1 1、理解導數與微分概念的意義；、理解導數與微分概念的意義；2 2、能熟練計算初等函數的導數與微分。、能熟練計算初等函數的導數與微分。高等數學高等數學高等數學高等數學 （上）（上） 高職高專高職高專 ppt pp

2、t 課件課件高等數學高等數學 (上上)導數的概念導數的概念求導法則和基本求導公式求導法則和基本求導公式函數的微分函數的微分隱函數和由參數方程所確定函數的導數隱函數和由參數方程所確定函數的導數 高階導數高階導數主要內容主要內容高等數學高等數學 （上）（上） 高職高專高職高專 ppt ppt 課件課件高等數學高等數學 (上上) M 0M O 0s s s 圖 2-1 一、兩個實例一、兩個實例 1 1變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度21( )2sf tgt自由落體運動自由落體運動: 第一節第一節 導數的概念導數的概念 00()( )sf ttf t 2012gttg t 第二步：第二步：

3、 求求 ts012svgtg tt第三步：第三步： 求求0limtst 000001( )limlim2ttsv tgtg tgtt 第一步：第一步：求求s高等數學高等數學 （上）（上） 高職高專高職高專 ppt ppt 課件課件高等數學高等數學 (上上) 0M M T 圖 2-2 在曲線上任取不同于在曲線上任取不同于M M0 0點的一點點的一點M M，作割線作割線M M0 0M.M.當當點點M M沿著曲線移動并趨于沿著曲線移動并趨于M M0 0點時，割線就以點點時，割線就以點M M0 0為為軸轉動，割線軸轉動，割線M M0 0M M的極限位置的極限位置M M0 0T T就叫做曲線在點就叫做曲

4、線在點M M0 0處的切線，點處的切線，點M M0 0叫做切點。叫做切點。 y O x y )(0 xf 0M M xx0 0 x 圖 2-3 曲線切線的定義曲線切線的定義高等數學高等數學 （上）（上） 高職高專高職高專 ppt ppt 課件課件高等數學高等數學 (上上)第一步：第一步：求求 yx0limxyx 00()( )yf xxf x xxfxxfxykMM)()(000 xxfxxfxykkxxMMx)()(limlimlim000000y第二步：第二步：求求第三步：第三步：求求切線斜率的求法切線斜率的求法高等數學高等數學 （上）（上） 高職高專高職高專 ppt ppt 課件課件高等

5、數學高等數學 (上上) 二、導數的定義二、導數的定義)(xf設函數設函數在點在點及其近旁有定義，當自變量及其近旁有定義，當自變量0 x有增量有增量x時，函數有相應的增量時，函數有相應的增量)()(00 xfxxfy當當0 x時，若時，若xy的極限存在，則極限值就稱為函數的極限存在，則極限值就稱為函數)(xf在點在點0 x的導數，并稱函數的導數，并稱函數)(xf在點在點 0 x導數），記為導數），記為0 xxy，即，即00limxxxyyx xxfxxfx)()(lim000也可記為也可記為0()fx或或0)(xxxfdxd.可導（或有可導（或有=0 x xdydx或或高等數學高等數學 （上）（

6、上） 高職高專高職高專 ppt ppt 課件課件高等數學高等數學 (上上)22(2)(2)(2)2yfxfx 24()xx解解 （1）求函數改變量）求函數改變量（2） 求xxxxxy442（3） 當當x時，求時，求xy的極限：的極限：00limlim (4)4xxyxx 所以，所以，( 2 )4f 0例例1 1求求在點在點處的導數處的導數2)(xxfy2x高等數學高等數學 （上）（上） 高職高專高職高專 ppt ppt 課件課件高等數學高等數學 (上上) 注意注意:xy( )yf x00 ,x xx是函數是函數00,xx x（1）在區間在區間或或上的平均變化率；而上的平均變化率；而0 xxy則

7、是函數則是函數( )f x在點在點 0 x的變化率，它反映了函數隨自變量變化的快慢程度的變化率，它反映了函數隨自變量變化的快慢程度.（2） 如果極限如果極限0limxyx不存在，則稱不存在，則稱( )f x在點在點 0 x不可導；如果不可導的原因是當不可導；如果不可導的原因是當0 x 時時yx 所引起的，則稱函數所引起的，則稱函數()fx在點在點0 x的導數為無窮大的導數為無窮大.高等數學高等數學 （上）（上） 高職高專高職高專 ppt ppt 課件課件高等數學高等數學 (上上)三、函數的可導性與連續性的關系三、函數的可導性與連續性的關系定理定理 注意：一個函數在某點連續，注意：一個函數在某點

8、連續， 但在該點函數不一定可導但在該點函數不一定可導. .)(xf如果函數如果函數 在點在點 處可導處可導,則它一定在點則它一定在點 處連續處連續.0 x0 x高等數學高等數學 （上）（上） 高職高專高職高專 ppt ppt 課件課件高等數學高等數學 (上上)四、函數在區間內可導的概念四、函數在區間內可導的概念 ( )yf x( , )a b( )yf x如果函數如果函數在區間在區間內的每一點都可導，內的每一點都可導，則稱函數則稱函數在區間在區間( ,)a b內可導內可導.這時，對于區間這時，對于區間( , )a b內的每一個確定的內的每一個確定的x值，都有唯一的導數值值，都有唯一的導數值(

9、)f x與之對應，即與之對應，即0()( )( )limxf xxf xf xx 所以所以( )fx也是也是的函數，稱作的函數，稱作( )f x在在( , )a b導函數，記作導函數，記作y( )fxdxdydxxdf)(或或x內的內的,.,說明說明)(xf在點在點 的導數值的導數值 就是導函數就是導函數 在點在點 的函數值，即：的函數值，即：0 x0 x)(0 xf)(xf0)()(0 xxxfxf高等數學高等數學 (上上) 例例2 2 2222yxxxx xx xy2 xx =xxxxyxx22limlim00 222;2 2 4xyxxy 解：解：所以：所以：導函數也簡稱導數導函數也簡稱

10、導數. . 求一個函數的導數運算稱為求一個函數的導數運算稱為微分法微分法. .說明說明高等數學高等數學 (上上)五、五、 求導數舉例求導數舉例y C0,0yyCCx 00limlim0 0.xxyyx 例例3 求常值函數求常值函數的導數的導數.解：解：所以所以 也就是說，常數的導數等于零，即也就是說，常數的導數等于零，即 ( )0C 高等數學高等數學 (上上)1()nnxnx ()ny x n Z例例4 求冪函數求冪函數的導數的導數.(過程略過程略)( )1x 112211()()22xxxx 22111xxxx冪函數求導舉例冪函數求導舉例高等數學高等數學 (上上)sinyx2sin)2cos

11、(2sin)sin(xxxxxxyxy例例5 求正弦函數求正弦函數的導數的導數.解解 (1) 計算函數增量計算函數增量(2)算比值算比值22sin2cos2sin)2cos(2xxxxxxxx0limxyyx xxxxxxxcos22sinlim2coslim00(sin )cosxx （3）取極限）取極限由此可得由此可得同理同理(cos )sinxx 高等數學高等數學 (上上)log(0,1)ayx aalog () logaayxxx loglog 1aaxxxxx例例6 求對數函數求對數函數的導數的導數.解解 xxaaxxxxxxxy1log11logaxexxxxxyyaxxxxln1

12、log11log1limlim00由此得到由此得到 axxaln1logxx1ln特別地特別地高等數學高等數學 (上上)xyexxxeeyxeexeexyxxxxx1例例7 求指數函數求指數函數的導數的導數.解解利用極限利用極限，得，得xxxxxexeexyy100limlim由此得到由此得到 xxee11lim0tett推推廣廣：對對于于一一般般的的指指數數函函數數,有有導導數數公公式式： 1, 0lnaaaaaxx 高等數學高等數學 (上上)六、左導數和右導數六、左導數和右導數 00000limlimxxf xxf xyfxxx 00000limlimxxf xxf xyfxxx Axfx

13、fAxf000左導數：左導數：右導數：右導數：結論：結論：高等數學高等數學 (上上)21( )1xxf xxx已知，(1)f 判斷是否存在？解：解： 0011(1)limlimxxfxfyfxx 22011lim2xxx 0011(1)limlimxxfxfyfxx xxx22011lim11lim0 x例例高等數學高等數學 (上上)七、導數的物理意義與幾何意義七、導數的物理意義與幾何意義曲線在某點處的切線斜率曲線在某點處的切線斜率變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度幾何意義幾何意義 物理意義物理意義( )yf x00( , ( )M x f x0( )kf x曲線曲線在點在點則曲線在

14、點則曲線在點00(,()M xf x處的切線方程為：處的切線方程為：000()()()yf xfxxx法線方程為法線方程為 0001()()()yf xxxfx 的切線斜率的切線斜率高等數學高等數學 (上上)(sin )cosstt例例 8 一一 物物 體體 做做 直直 線線 運運 動動 ，其其 運運 動動規規 律律 為為sinst， 求求 該該 物物 體體 在在 任任 意意 時時 刻刻t的的 速速 度度()vt及及3t時時 的的 瞬瞬 時時 速速 度度 . ( )cosv tt解：解：所以，該物體在任意時刻的速度所以，該物體在任意時刻的速度在在3t時的瞬時速度為時的瞬時速度為31()cos3

15、32tvs高等數學高等數學 (上上)32( )3yxx( , )x y解解 是曲線是曲線上任意點上任意點處的切線斜率處的切線斜率（1）在點）在點(1,1)M處，因為處，因為 1x ，所以切線斜率為，所以切線斜率為31321xy根據直線方程的點斜式，得根據直線方程的點斜式，得13(1)yx整理得切線方程為整理得切線方程為 32yx法線方程為法線方程為11(1)3yx 整理得整理得1433yxk=高等數學高等數學 (上上)第二節第二節 求導法則和基本求導公式求導法則和基本求導公式( ),( )uu x vv xxvuvu設設vuvuvu2vvuvuvu1.2.3.一、函數四則運算的求導法則一、函數

16、四則運算的求導法則都是都是 的可導函數，則的可導函數，則推論推論高等數學高等數學 (上上)例例1 1 求下列函數的導數：求下列函數的導數：532sin4cos8yxxx21 lnyxx4523xxy123xy（1）（2）（3）（4）5(3 )(2sin )(4cos )(8)yxxx53( )2(sin )4(cos )0 xxxxxxsin4cos2154(1)解解高等數學高等數學 (上上) 2444452523523523xxxxxxxy24424345245652203523xxxxxx23223316) 1() 1( 2xxxxy(3)(4)xxyln) 12()(ln12(xxxxx

17、x1) 12(ln12xx12ln2(2)高等數學高等數學 (上上)2211)1 ()(xxxf) 1(),1 (ff4) 1(, 4) 1 (ff例例2 設設 ，求，求 。2211)1 ()(xxxf2211)1 (xx3332222222221112xxxxxxxxxx解：解：所以所以高等數學高等數學 (上上)（2） 2cos1seccoscosxyxxx 2sintan seccosxxxx 例例3 3 求下列函數的導數求下列函數的導數 2tansecxxxx2csccot因此因此xxxsectansecxxxcotcsccsc因此因此解（解（1）高等數學高等數學 (上上) 在求導時先對

18、函數變形再求導，有時可簡化運算過程在求導時先對函數變形再求導，有時可簡化運算過程. 高等數學高等數學 (上上)(1,1)2231xxyx例例5：求曲線：求曲線 在點在點 處的切線方程和法處的切線方程和法線方程。線方程。(1, 1),1(1) 1(xy02 yx(1, 1),1(1)1(xy0 yx于是于是 曲線在點曲線在點 的切線方程是的切線方程是即即曲線在點曲線在點 的法線方程是的法線方程是即即高等數學高等數學 (上上)二、復合函數求導法則二、復合函數求導法則 引例引例:(cos )sincos2sin2xxxxxy2cos注意：注意：x而是而是 的的復合函數復合函數。不是基本初等函數，不是

19、基本初等函數，?高等數學高等數學 (上上)復合函數求導法則復合函數求導法則: : )(xux)(ufy如果函數如果函數在點在點處可導，函數處可導，函數)(xu點點 處也可導，則復合函數處也可導，則復合函數 在點在點 可可 ( )yfxx ( )( )( )yfxfux也可寫成也可寫成xuxyyudydy dudxdu dx或或在對應在對應導，且導，且注注:復合函數求導法又稱為復合函數求導法又稱為鏈鎖法則鏈鎖法則，它可以推，它可以推廣到多個函數復合的情形廣到多個函數復合的情形.高等數學高等數學 (上上)例例1 1 利用復合函數求導法則求下列函數的導數利用復合函數求導法則求下列函數的導數. . 2

20、2222() ()2( 2 )4 ()yuaxuxx ax xxxxuxuy21211211lnuysinxu 2解解 (sin )(2 )cos22cos2yuxux （1）函數由函數由復合而成復合而成（2）（3）注注: 復合函數的復合層次多于兩層時，其計算方法完復合函數的復合層次多于兩層時，其計算方法完全一樣，只需逐層求導即可。全一樣，只需逐層求導即可。高等數學高等數學 (上上)例例2 2 求下列函數的導數求下列函數的導數 vuuysin,ln2xv （1） xvuxvuy2cos1sinln2222cot22cossin1xxxxx函數由函數由與與復合而成復合而成解：解：所以所以xv1（

21、2）221sec1tan12tanxyuvxxx 設設，則則ln ,sinyu uv高等數學高等數學 (上上)2tan5xy 54425tan5tantantansec222222xxxxxy 例例3 求求 的導數的導數.解解 例例4 求下列函數的導數求下列函數的導數 112xxy213lnxxyxxxy24sectan1 (1)(2)(3)高等數學高等數學 (上上)解解 xxxxxxxxy111122221111221222xxxxxxy（1）有理化分母有理化分母然后求導數，得然后求導數，得（2）先用對數性質展開，得）先用對數性質展開，得21ln3ln(1)2yxxx然后求導數，得然后求導數

22、，得221ln3(1)2(1)yxxxx21213lnx高等數學高等數學 (上上)xxxxy2222tan1tan1tan1tan1xxxxy2sectan2tantan2（3）先化簡，得）先化簡，得然后求導數，得然后求導數，得高等數學高等數學 (上上)1 1基本初等函數的導數公式基本初等函數的導數公式( (見教材見教材) )三、求導公式與求導法則匯總三、求導公式與求導法則匯總2 2函數四則運算的求導法則函數四則運算的求導法則 vuvuvuvuvuvCCv2vvuvuvu2vvCvC（C為常數）.（C為常數）.(1)(2)(3)(4)(5)高等數學高等數學 (上上)3 3復合函數求導法則復合函

23、數求導法則)(ufy )(xu xfy設設則復合函數則復合函數的導數為：的導數為： xufxfy或寫成或寫成 xuxyy u或或dydy dudxdu dx,.高等數學高等數學 (上上)例例1 1 求下列函數的導數求下列函數的導數 )2ln(2xeyxxeyx21sinxxycossin12xyarctan2)1ln(2xxy(1)(2)(3)(4)(5)高等數學高等數學 (上上)2222222xxexxxeyxxxexeyxx2121sinsin2211221sin2sincossin2sin1xxxexxexxexxx解解(1)(2)（3）xxxxxy222coscossin1cossin

24、1xxxxxxxxsectan2sincossinsincossin2232高等數學高等數學 (上上)xyxxarctan2ln22arctanarctanxxx112ln2arctanxxx122ln2arctan（4）（5）222111lnxxxxxxy22211111xxxxx高等數學高等數學 (上上) 第三節第三節 函數的微分函數的微分 一、一、 微分的概念微分的概念 0 x 0 xx高等數學高等數學 (上上)Ax2Ax若用若用 表示薄板的面積，表示薄板的面積， 表示邊長，則表示邊長，則 . 于于是面積的改變量為是面積的改變量為222000()2()Axxxxxx 從上式可以看出，從上

25、式可以看出，A由兩項構成，由兩項構成，02xx和和是次要部分是次要部分.于是，當我們把于是，當我們把2() x忽略不記時，忽略不記時，02xx就是就是A的近似值，即的近似值，即02Axx2()x2()x高等數學高等數學 (上上)02x2Ax上式中上式中 的系數的系數 ，就是函數，就是函數 在點的導數在點的導數 0 x0()A x0()AA xx這就是說，函數這就是說，函數2yxx0 x的自變量的自變量在點在點 的改變量的改變量x時，函數的改變量時，函數的改變量y約等于其在點約等于其在點 0 x的導數的導數02x與與x的乘積的乘積.于是上式又可表示為于是上式又可表示為 . 有微小有微小高等數學高

26、等數學 (上上)(xfy 0 x00limxfxyx設函數設函數在點在點處可導，即處可導，即根據函數極限與無窮小的關系，有根據函數極限與無窮小的關系，有0()yfxx其中，其中，0lim0 x 由此得由此得 0()yfxxx 這表明，函數的改變量這表明，函數的改變量y是由是由0()fxx和和x兩項所組成兩項所組成.，高等數學高等數學 (上上)0( )0f x00000()limlim0,lim0 xxxfxxxfxxx 0( )f xx當當時，由時，由知：知：是是x的同階無窮小，的同階無窮小，x是較是較x高階的無窮小高階的無窮小.高等數學高等數學 (上上)當當x很很 小小 時時 ， 0()yf

27、xx 0()0f xy由此可見，當由此可見，當時，在函數的改變量時，在函數的改變量中，起主要作用的是中，起主要作用的是0()fxx，它與，它與y的差是一個較的差是一個較x高階的無窮小高階的無窮小. 因此，因此，0()fxx是是y的主要部分；的主要部分；又因為又因為0()fxx是是x的線性函數，所以通常稱的線性函數，所以通常稱0()fxx為為y的線性主要部分（簡稱線性主部）的線性主要部分（簡稱線性主部）高等數學高等數學 (上上)定義定義 )(xfy 0 x0()fxx設函數設函數在點在點處可導，則稱處可導，則稱為函數為函數)(xfy 在點在點0 x的的微分微分記號：記號：00()xxdyfxx或

28、或00( )x xdf xfxx此時稱函數此時稱函數)(xfy 在點在點 0 x可微可微. 如果函數在如果函數在區間區間( , )a b內每一點可微，則稱函數在區間內每一點可微，則稱函數在區間( , )a b內可微內可微.x( )dyfxx( )( )df xf xx函數在任一點函數在任一點的微分，叫做的微分，叫做函數的微分函數的微分，一般，一般或或高等數學高等數學 (上上)( )dxxxx xdx特別地特別地，即，即dx 因此因此( )dyfx dx( )dyfxdx函數函數)(xfy 的導數等于函數的微分的導數等于函數的微分dy與自變量的微分與自變量的微分的商的商.因因此，此，導數導數又稱

29、又稱微商微商.高等數學高等數學 (上上)例例 1 求函數求函數2xy 在點在點, 3x 當當02. 0 x時的微分時的微分dy和增量和增量y. xdxdxxdxdy222解解 函數的微分函數的微分02.0, 3xx當當時的微分時的微分30.022 3 0.020.12xxdy 函數的增量為函數的增量為2222xxxxxxy1204. 00004. 002. 032結論結論:高等數學高等數學 (上上)例例2 2 求下列函數的微分求下列函數的微分 32) 12(xxyxxysin2dxxxxdxxxdy1126122232dxxxxxxxxdycossin2sin21.2.解解：1.2.高等數學高

30、等數學 (上上)二、二、 微分的幾何意義微分的幾何意義 y x O x y y A B D C dy xx x 圖 2-5 yy 高等數學高等數學 (上上),ACx CDy tanCDACfxxdy ( )yf x由圖由圖2-5可知：可知：如圖如圖2-5所示，過曲線所示，過曲線上一點上一點( , )A x y作曲線作曲線( )tankfx. 當自變量在當自變量在 x處取得改變量處取得改變量x時，我們得到曲線上另一點時，我們得到曲線上另一點 (,)B xx yy 的切線，切線的斜率的切線，切線的斜率高等數學高等數學 (上上)結論結論:)(xfyxdy函數函數在點在點的微分的微分 ，等于曲線在，等

31、于曲線在點點),(yxA的切線的切線AD上點的縱坐標對應于上點的縱坐標對應于x的改變量的改變量.這就是這就是微分的幾何意義微分的幾何意義.高等數學高等數學 (上上)1微分的基本公式微分的基本公式 （）0)(Cd； （）dxxxd1)(； （）adxaadxxln)(； （）dxeedxx； （）dxaxxdaln1)(log； （）dxxxd1)(ln； （）xdxxdcos)(sin； （）xdxxdsin)(cos； （）xdxxd2sec)(tan； （10）xxd2csc)(cot； 三、三、 微分的基本公式與運算法則微分的基本公式與運算法則 高等數學高等數學 (上上)（11）xdxx

32、xdtansec)(sec； （12）xdxxd2csc)(csc； （13）dxxxd211)(arcsin； （14）dxxxd211)(arccos； （15）dxxxd211)(arctan； （）dxxxarcd211)cot( 高等數學高等數學 (上上)微分的四則運算法則微分的四則運算法則dvduvud )(udvvduvud )(CduCud)(2vudvvduvud2vCdvvCd1).2).3).4).5).高等數學高等數學 (上上)四微分形式不變性四微分形式不變性 u( )yf u( )dyf u du是自變量時，函數是自變量時，函數如果如果u( ),( )yf u ux復

33、合而成則則 ( )ufx的微分為的微分為:( )( )dyfux dx因為因為( )x dxdu, 所以有所以有( )dyfu du結論：結論：不論是自變量還是中間變量，函數不論是自變量還是中間變量，函數( )yf u的微分總保持同一形式的微分總保持同一形式( )dyfu du.微分形式不變性微分形式不變性高等數學高等數學 (上上)例例1 用兩種方法求下列函數的微分：用兩種方法求下列函數的微分： 2sin(32)yxcos2xyex2sinln(31)yxx(1)(2)(3)高等數學高等數學 (上上)解法解法1 1 根據微分的定義根據微分的定義 22sin(32)6 cos(32)dyxdxx

34、xdx( cos2 ) cos2( sin2 ) 2xxxdyex dxex exdx(cos22sin2 )xexx dxdxxxdxxxdy)1332(sin) 13ln(sin2(1)(2)(3)高等數學高等數學 (上上)解法解法2 2 根據微分的基本法則和微分形式不變性根據微分的基本法則和微分形式不變性 222sin(32) cos(32) (32)dy dxxd x26 cos(32)xxdx(cos2 )cos2(cos2 )xxxdyd exx dee dx(cos 22sin 2 )xexx dx2(sin)ln(31)dydxdx12sin(sin )(31)31xdxdxx

35、12sincos331xxdxdxx3(sin 2)31xdxx(1)(2)(3)高等數學高等數學 (上上)21()2dxxdx 21()2dxCxdxdxCxd33解：解： （1）因為因為所以所以(C為任意常數為任意常數). （2） 同理同理 （3）同理同理 xdxCxdcossin1高等數學高等數學 (上上)例例2 2 在下列括號內填入適當的函數在下列括號內填入適當的函數, ,使等式成立使等式成立. .()dxdx()3ddx() cosdxdx(1)(2)(3)高等數學高等數學 (上上)21()2dxxdx 21()2dxCxdxdxCxd33解解 （1） 因為因為所以所以(C為任意常數

36、為任意常數). （2） 同理同理 （3） xdxCxdcossin1同理同理 高等數學高等數學 (上上)五、五、 微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用 xydy 000()( )( )f xxf xf xx 當當很小時，很小時，亦即亦即 將上式移項得將上式移項得xxfxfxxf)()()(000此式常用來計算函數此式常用來計算函數)(xfy 在點在點0 x附近的函數值的近似值附近的函數值的近似值.(2)(1)高等數學高等數學 (上上) 例例1 1 半徑為半徑為1010的球充氣后半徑增加了的球充氣后半徑增加了0.02,0.02,求球求球的體積大約增加了多少的體積大約增加了多少? ? Vr

37、334rV解解 設球的體積為設球的體積為，半徑為，半徑為，則，則由已知由已知10,0.02rcmrcm ，設球的體積的增加量為，設球的體積的增加量為 V因為因為r很小，所以可以用微分很小，所以可以用微分00.02rrdV 來近似代替來近似代替 V而而324()43dVrrrr 于是于是23100.024100.028 ()rrVdVcm 即球的體積大約增加了即球的體積大約增加了38 cm,.高等數學高等數學 (上上)xxfycos)(xxxxx)sin(cos)cos(000cos60 30例例2 計算計算 的近似值的近似值解解 由于所求的是余弦函數值由于所求的是余弦函數值,故選取函數故選取函

38、數于是于是因為因為60 3060303360所以取所以取360,30 xx(此時此時 很小很小), x代入上式得代入上式得4924. 03603sin3cos3603cos 即即4924. 00360cos高等數學高等數學 (上上)xxfxfxxf)()()(000 xxx , 00( )(0)(0)f xffx在公式在公式（2）中）中,當當 時時,得得 （3） 當當x很小時，可用公式（很小時，可用公式（3）求函數）求函數)(xf在在0 x附近函數值的近似值附近函數值的近似值.高等數學高等數學 (上上)xxex1xx )1ln(當當很小時，可得很小時，可得工程上常用的近似公式工程上常用的近似公

39、式xx sinxx tannxxn11xx arcsin(1)(6)(5)(3)(4)(2)高等數學高等數學 (上上)一一 隱函數及其求導法隱函數及其求導法 ( )yf xxxyxeyx2sincosln,( , )0F x y 第四節第四節 隱函數和由參數方程隱函數和由參數方程 所確定函數的導數所確定函數的導數形如形如 的函數，叫做顯函數的函數，叫做顯函數,如：如：由方程由方程所確定的所確定的y與與x叫做叫做隱函數隱函數.例如圓的方程例如圓的方程222xyr以及以及sin()xyexy等等等等y因變量因變量 與自變量與自變量x的關系是由一個的關系是由一個, x y的方程的方程( , )0F

40、x y 所確定的所確定的. 之間的函數關系之間的函數關系235 0,xy 含有含有高等數學高等數學 (上上)x顯函數有時很容易化成隱函數顯函數有時很容易化成隱函數.x（1）在給定的方程兩邊分別對）在給定的方程兩邊分別對 求導數，遇到求導數，遇到 yx（2）從（）從（1）所得式中解出）所得式中解出 （或（或 ）即可）即可.dxdyy隱函數求導方法隱函數求導方法:時看成時看成 的函數，的函數， 的函數看成的函數看成 的復合函數；的復合函數；y高等數學高等數學 (上上)230 xyyx例例1 求由方程求由方程 所確定的函數所確定的函數 的導數的導數.解：將方程兩邊對解：將方程兩邊對 求導數，得求導數

41、，得20y所以所以2y說明說明：將此函數化為顯函數再求導，可得同樣結果：將此函數化為顯函數再求導，可得同樣結果.高等數學高等數學 (上上)例例2 2 求由下列方程所確定的函數的導數：求由下列方程所確定的函數的導數： xyyx3320cos2yxey(1)(2)xy xyyyx33322y解：解：(1)方程兩邊對方程兩邊對 求導數，得求導數，得解解 出，得出，得)(3232xyxyy（2）方程兩邊對）方程兩邊對 求導數，求導數，x得得2sin() (2)0yeyxyxy解得解得222 sin()sin()yxxyyexy 高等數學高等數學 (上上)422 yx(1, 3)x例例3 求圓求圓 在點

42、在點 的切線方程的切線方程.解解 方程兩邊對方程兩邊對 求導數，得求導數，得022yyxy解解 出，得出，得yxy把點把點(1, 3)的坐標代入，得切線的斜率的坐標代入，得切線的斜率33k由直線方程的點斜式，得由直線方程的點斜式，得1333xy整理得切線方程為整理得切線方程為043yx高等數學高等數學 (上上)l含多次積、商、冪的函數含多次積、商、冪的函數對數求導法對數求導法例例4 4 求下列函數的導數求下列函數的導數： xxy)(sin3323) 1(2xxxy(1)(2)()(xgxfy l形如形如 的函數的函數高等數學高等數學 (上上)xxysinlnln xxxxyycotsinln1

43、解：（解：（1）此函數是冪指函數，兩邊取自然對數）此函數是冪指函數，兩邊取自然對數y)cotsin(ln)(sinxxxxyx解出解出 ， 即得所給函數的導數為即得所給函數的導數為:化為隱函數，得化為隱函數，得: 上式兩邊對上式兩邊對求導數，得求導數，得 高等數學高等數學 (上上)（2）兩邊取對數并根據對數的運算法則，得）兩邊取對數并根據對數的運算法則，得 )23ln(31) 1ln(3)2ln(21lnxxxyx)23( 3213)2( 211xxxyy上式兩邊對上式兩邊對求導數，得求導數，得解出解出 ，即得原函數的導數為，即得原函數的導數為:yxxxxxxy6921342123) 1(23

44、3高等數學高等數學 (上上)二、二、 由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所確定的函數的導數 )()(xyxxy一般地，參數方程一般地，參數方程可以確定可以確定 與與x函數關系函數關系.這種關系，有時可以用顯函數表示出來這種關系，有時可以用顯函數表示出來.例如例如122tytx 消去參數消去參數t可得可得342xxy（稱為普通方程），（稱為普通方程），由此可求出由此可求出42xdxdy之間的之間的，高等數學高等數學 (上上)dxdydt)()(ttdtdxdtdydxdy根據導數又稱微商這一結論，在根據導數又稱微商這一結論，在中同除以中同除以，得：，得：即即)()(ttdxdy這就是參數方程

45、所確定的這就是參數方程所確定的y與與x方法，其結果一般仍為關于參數的解析式方法，其結果一般仍為關于參數的解析式.的分子和分母的分子和分母之間的函數的求導之間的函數的求導yx但對于有些參數方程，它所確定的但對于有些參數方程，它所確定的關于關于的函數的函數關系，很難化為普通方程關系，很難化為普通方程. 高等數學高等數學 (上上)tteyex2dxdy,2ttdydxeedtdt例例1 已知參數方程已知參數方程，求，求解解 根據參數方程的求導公式根據參數方程的求導公式 因為因為所以所以2122tttd yeed xe 高等數學高等數學 (上上)tatatatadxdysincoscossin14td

46、xdyk解解: 因為因為所以，所求切線的斜率為所以，所求切線的斜率為將將4t代入所給參數方程中，得切點代入所給參數方程中，得切點22(,)22aa所以，切線的方程為所以，切線的方程為 整理得整理得 02ayx221 ()22ayax 高等數學高等數學 (上上)sin),cos1 (addyaddxcos1sin)cos1 (sinaadxdy解解 因為因為所以所以于是所求切線的斜率為于是所求切線的斜率為21222221224cos14sin4dxdyk例例 3 求求旋旋輪輪線線)cos1 ()sin(ayax在在4處處的的切切線線斜斜率率. 高等數學高等數學 (上上)一、一、 高階導數的概念高階導數的概念 )(xfy )(xfyx 第五節第五節 高階導數高階導數 一般地，函數一般地，函數的導數的導數仍然是仍然是的函數，如果是可導