1、第2頁共11頁倒立擺系統的建模及 Matlab仿真1.系統的物理模型考慮如圖（1）所示的倒立擺系統。圖中，倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖 面內運動的二維問題。-1H1 9- m1 ' /1 / -*U/1y/ / Z /圖（1）倒立擺系統假定倒立擺系統的參數如下。擺桿的質量：m=0.1g擺桿的長度：l =1m小車的質量：M=1k重力加速度：g=9.8m/ s2擺桿的質量在擺桿的中心。設計一個控制系統，使得當給定任意初始條件 （由干擾引起）時，最大超調量6 < 10%調節時 間ts < 4s，通過小車的水平運動使倒立擺保持在垂直位置。2.系統的數學模型2.1建立

2、倒置擺的運動方程并將其線性化為簡化問題，在數學模型中首先假設：1）擺桿為剛體；2）忽略擺桿與支點之間的摩擦；3）忽 略小車與接觸面間的摩擦。設小車瞬時位置為 乙擺心瞬時位置為（z lsinr ）,在u作用下，小車及擺均產生加速遠動, 根據牛頓第二定律，在水平直線遠動方向的慣性力應與u平衡，于是有2 2Md mdF(zlsin"u即:(M m)z mP cos ： - mP2 sin - - u繞擺軸轉動的慣性力矩與重力矩平衡，因而有第3頁共11頁第4頁共11頁(z I sin 二)cost - mgl sin 二即：z c o S l v c o Sv _ l / s i n c o

3、 S = g s i n以上兩個方程都是非線性方程，為求得解析解，需作線性化處理。由于控制的目的是保持倒立擺直立，在試駕合適的外力條件下，假定9很小，接近于零時合理的，則sin, : -,co : 1 ,且可忽略r勺 項。于是有(M m)z ml v - u聯立求解可得2.2列寫系統的狀態空間表達式選取系統變量 x1,x2,x3,x4， x = X1,x2,x3, Xt T 貝UX1 =X2dx 二dt000X3 X4X41000(M + m) x 1X3MlMlMly=x1 = 1 0 0 oX=Cx代入數據計算得到：0 1 00 01A =0 0 00 0 11010 ,B = 0 1 0

4、 10mgM0 (M m)g二 Ax Bu-1T,C 二第5頁共11頁第6頁共11頁3.設計控制器3.1判斷系統的能控性和穩定性0 1Qk = B AB A2B A3B】=100 -1001100-11-110rank( Qk)=4,故被控對象完全可控由特征方程控對象不穩定I 一 A二，2C2 -11) =0解得特征值為0 , 0, _ .11。出現大于零的特征值，故被3.2確定希望的極點希望的極點n=4,選其中一對為主導極點s,和S2，另一對為遠極點，認為系統性能主要由主導極點決定，遠極點只有微小影響。根據二階系統的關系式，先確定主導極點二p =e_0.1可得.-0.59，于是取 二0.6

5、;取誤差帶厶=0.02有t ，貝=1.67，閉環 3 °主導極點為 *=-巴±1-呼=-1 ±0.8j,遠極點選擇使它和原點的距離大于主導極點與原點距離的5倍，取豈4=-153.3采用狀態反饋方法使系統穩定并配置極點狀態反饋的控制規律為u =-kx， k = k0 k1 k2 k3l ；狀態反饋系統的狀態方程為x = (A - BK)x - Bv，其特征多項式為川一(A BK)| =九4+(匕一k3)f 十(k0 k2 11)丸2 10k, 1Ok0希望特征多項式為(-15)2( 1 -0.8j)( 1 0.8j)二 4 32 3 286.64 2 499 236

6、9比較以上兩式系數，解得狀態反饋矩陣 k = 1-36.9-49.92-334.54- 81.92】第7頁共11頁4. 設計全維觀測器4.1判斷系統的能觀性100(At)3C】=01000-100Qg = C AtC (At)2C0 100,rank( Qg )=4,故被控對象完全可觀第#頁共11頁第8頁共11頁4.2確定觀測器的反饋增益全維觀測器的動態方程為x =(A GC)x Bv GCx ;其特征多項式為丸I (A - GC)| =丸 + g0 丸 + (gi - 11)丸 + (11g0 g2)丸 + (11gi g3)取觀測器的希望極點為：-45, -45，-3+3j，-3-3j ；

7、貝怖望特征多項式為2432(15) ( '1 -0.8j)( '10.8j) = '96'2583'13770 '34650比較以上兩式系數，解得觀測器反饋矩陣G = 96 2594 -14826 - 64984 T5. 降維狀態觀測器的設計5.1建立倒置擺三維子系統動態方程設小車位移z由輸出傳感器測量，因而無需估計，可以設計降維(三維)狀態觀測器，通過重 新排列被控系統變量的次序，把需由降維狀態觀測器估計的狀態變量與輸出傳感器測得的狀態變量 分離開。將z作為第四個狀態變量，則被控系統的狀態方程和輸出方程變換為d60dt6-0z 一J三0-101

8、10010001zl10u-1°簡記為:和a二 =>2 一A?"A12 F J|b1 uA22 _-X2 - b2 _I1'X；式中11，A12 = 0 0 0T，b1 0 -1T0x2 二 z = y , A21 = 1 0 0T,被控系統的n-q維子系統動態方程的一般形式為A21 =0 ,b2 = 0 , 11 -1A11x1v , z = A21X - 式中 v = A21y b1u =,z 二 y - A22y -b2u = y = zz 為子系統輸出量。故倒置擺三維子系統動態方程為uzl 才=100】p5.2判斷子系統的可觀測性A1=0 -1 0;0

9、 0 1;0 11 0;C1= 1 0 0;Qg1=obsv(A1,C1);r=ra nk(Qg1)運行Matlab程序；結果為r=3,故該子系統可觀測降維狀態觀測器動態方程的一般形式為二A- hA21於亠 b -hb2u A-hA21h 人2 - hA221Xr =hy式中h= h0 h1 h2 T。考慮被控對象參數,單倒置擺降維觀測器動態方程的一般形式為_h°-1011_ho -h10 1 b + 0u +-10 +h2_h211 oj t-h0h2 +110_y第9頁共11頁5.3確定三維狀態觀測器的反饋矩陣h三維狀態觀測器的特征多項式為入I (Aj hA2j =丸'+

10、h(A2 十(一11 0 卜 +( 11h0 h2 )設希望的觀測器閉環極點為-45 , -3+3j，-3-3j ，貝怖望特征多項式為45 3 3j 3 -3j 二 3512288'810比較以上兩式系數，解得 h= 51 一 299 -1371 1故所求三維狀態觀測器的動態方程為-512991371-10110-2302+ 13878 y66632一廠1jx=FL0y 一0第#頁共11頁第12頁共11頁6. Matlab仿真分析6.1源程序F面是文件名為通過Matlab對用全維狀態觀測器實現狀態反饋的倒置擺系統進行仿真分析,Inv ersio n_pe ndulum_system .

11、m 的源程序%倒立擺系統建模分析%a)判斷系統能控性和能觀性clear all;clcA=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0；1；0;-1;C=1 0 0 0;D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=ra nk(Uc);n=size(A);if rc=ndispfThe system is con trolled.)elseif rc<ndispfThe system is uncon trolled.)endVo=obsv(A,C);ro=ran k(Vo);if ro=ndispfThe system is observable)'el

12、seif ro=ndispCThe system is no observable)'end%b)判斷系統穩定性P=poly(A),v=roots(P)Re=real(v);if(le ngth(fi nd(Re>0)=0)disp('The system is un stable and the ubstable poles ai)e:' v(fi nd(Re>0)elsedisp('The system is stable)'end% c)極點配置與控制器-全維狀態觀測器設計與仿真pc=-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15,-15;

13、po=-45 -45 -3+3*j -3-3*j;K=acker(A,B,pc),G=acker(A',C',po)'Gp=ss(A,B,C,D); %將受控過程創建為一個LTI對象 dispf受控對象的傳遞函數模型：');H=tf(Gp)Af=A-B*K-G*C;dispf觀測器一一控制器模型：');Gc=ss(Af,-G,-K,0)%將觀測器-控制器創建為一個LTI對象dispf觀測器一一控制器的極點：');f_poles=pole(Gc)GpGc=Gp*Gc;%控制器和對象串聯dispC觀測器一一控制器與對象串聯構成的閉環系統模型：'

14、;);Gcl=feedback(GpGc,1,-1)%閉環系統dispf閉環系統的極點和零點：');c_poles=pole(Gcl) c_zeros=tzero(Gcl) lfg=dcgai n(Gcl)%低頻增益N=1/lfg %歸一化常數T=N*Gcl;%將N與閉環系統傳遞函數串聯x0=100 10 30 10 0 0 0 0;% 初始條件向量t=0:0.01:1'%時間列向量r=0*t;%零參考輸入y t x=lsim(T,r,t,x0); % 初始條件仿真plot(t,x(:,1:4), '-.',t,x(:,5:8)%由初始條件引起的狀態響應titl

15、e('bf狀態響應')lege ndfx1','x2','x3','x4','x1hat','x2hat','x3hat','x4hat')figure(2)step(T)title('bf階躍響應')figure(3)impulse(T)title('bf脈沖響應')6.2程序運行結果The system is con trolled.The system is observable.P =1 0 -11 0 0v =003.

16、3166-3.3166The system is un stable and the ubstable poles are: ans =3.3166K =-36.9000 -49.9200 -334.5400 -81.9200G =962594-14826-64984受控對象的傳遞函數模型Tran sfer fun cti on:sA2 - 1.776e-015 s - 10sA4 - 11 sA2b =x1x2x3x4觀測器一一控制器模型:x1x2x3x4x1-96100x2-255749.92333.581.92x31.483e+004001x46.495e+004-49.92-323.5

17、-81.92u1-96 -2594 1.483e+004 6.498e+004第13頁共11頁第14頁共11頁x1 x2 x3 x4y1 36.9 49.92 334.5 81.92d =u1y1 0Con ti nu ous-time model.觀測器控制器的極點：f_poles =1.0e+002 *-1.4948 + 1.8786i-1.4948 - 1.8786i1.7424-0.0328觀測器一一控制器與對象串聯構成的閉環系統模型:a =x1x2x3x1010x200-1x3000x40011x59600x6259400x7-1.483e+00400x8-6.498e+00400x

18、6x7x8x1000x249.92334.581.92x3000x4-49.92-334.5-81.92x5100x649.92333.581.92x7001x8-49.92-323.5-81.92b =u1x10x20x30x40x5-96x6-2594x71.483e+004x86.498e+004c =x400100000x5036.90 -36.9-96 -2557 1.483e+004 6.495e+004第15頁共11頁x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8y1 10000000d =u1y1 0Con ti nu ous-time model.閉環系統的極點和零點：c_poles =-45.0000-45.0000-15.0001-14.9999-3.0000 + 3.0000i-3.0000 - 3.0000