1、 等腰三角形等腰三角形以它那對稱、和以它那對稱、和諧、莊重、典雅諧、莊重、典雅之美成為我們數之美成為我們數學殿堂的一枚瑰學殿堂的一枚瑰寶，現實生活中寶，現實生活中有許多建筑要設有許多建筑要設計成等腰三角形計成等腰三角形的形狀，那么你的形狀，那么你對等腰三角形有對等腰三角形有哪些了解哪些了解 ？1.1.等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩腰相等；2.2.等腰三角形的兩底角相等等腰三角形的兩底角相等（等邊對等角）；（等邊對等角）；3.3.等腰三角形頂角的平分線，等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高底邊上的中線及底邊上的高線互相重合；線互相重合；4.4.等腰三角形是軸對稱圖形。等腰三角形

2、是軸對稱圖形。 在等腰三角形中作出一些線段在等腰三角形中作出一些線段( (如如角平分線、中線、高等角平分線、中線、高等) )，你能發現其，你能發現其中一些相等的線段嗎中一些相等的線段嗎? ?你能證明你的結你能證明你的結論嗎論嗎? ? 探究相等線段探究相等線段（一）證明（一）證明“等腰三角形兩底角的平分線相等等腰三角形兩底角的平分線相等” ” 證法證法1 1：已知：如圖，在：已知：如圖，在abc中，中，ab=ac，bd和和ce是是abc的角平分的角平分線線求證：求證：bd=ce證明：證明：ab=ac，abc=acb( (等邊對等角等邊對等角) )1=1=abc，2=2=abc，1=21=2在在b

3、dc和和ceb中，中，acb=abc，bc=cb，1=21=2bdcceb(asa) )bd=ce( (全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等) ) 證法證法2 2：已知：如圖，在已知：如圖，在abc中，中，ab= =ac，bd和和ce是是abc的角平分線的角平分線求證：求證：bd= =ce證明：證明：ab= =ac，abc=acb又又3=43=4在在abc和和ace中，中，3=43=4，ab= =ac，a=aabdace(asa)(asa)bd= =ce( (全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等) )（二）證明（二）證明“等腰三角形兩腰上的中線相等等腰三角形兩腰上的中線相等”

4、” 已知：如圖，在已知：如圖，在abc中，中，ab= =ac，bd和和ce是是abc兩腰上的中線兩腰上的中線求證：求證：bd= =ce證明：證明：ab= =ac，（已知），（已知）abc=acb( (等邊對等角等邊對等角) )be=ab，cd= =ac，且，且ab= =acbbe = = cd在在bdc和和ceb中，中，acb=abc，bc= =cb，be = = cdbdcceb(sas)(sas)bd= =ce( (全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等) ) （三）證明（三）證明“等腰三角形兩腰上的高線相等等腰三角形兩腰上的高線相等” ” 方法一：方法一：已知：如圖，在已知：如圖，

5、在abc中，中，ab= =ac，bd和和ce是是ababc兩腰上的高線兩腰上的高線求證：求證：bd=ce證明：證明：ab= =ac，（已知），（已知）abc=acb( (等邊對等角等邊對等角) )bd和和ce是是abc兩腰上的高線兩腰上的高線ceb=bdc=90=90（垂直的定義）（垂直的定義）在在bdc和和ceb中，中，acb=abc，bc= =cb，ceb=bdcbdcceb(aas)(aas)bd= =ce( (全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等) )（三）證明（三）證明“等腰三角形兩腰上的高線相等等腰三角形兩腰上的高線相等” ” 方法二：方法二：已知：如圖，在已知：如圖，在a

6、bc中，中，ab= =ac，bd和和ce是是abc兩腰上的高線兩腰上的高線求證：求證：bd= =ce證明：證明：bd和和ce是是abc兩腰上的高線兩腰上的高線aec=adb=90=90（垂直的定（垂直的定義）義）在在aec和和adb中，中，a=a，ab= =ac，aec=adbaecadb (aas) (aas)bd= =ce( (全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等) )想一想想一想, 做一做做一做 剛才，我們只是發現并證明了等腰三角形中剛才，我們只是發現并證明了等腰三角形中比較特殊的線段比較特殊的線段(角平分線、中線、高角平分線、中線、高)相等，還相等，還有其他的結論嗎有其他的結論

7、嗎?你能從上述證明的過程中得到什你能從上述證明的過程中得到什么啟示么啟示? 把腰二等分的線段相等，把底角二等分的線把腰二等分的線段相等，把底角二等分的線段相等如果是三等分、四等分段相等如果是三等分、四等分結果如何呢結果如何呢? 1在等腰三角形在等腰三角形abc中，中，(1)如果如果abd= abc，ace= acb，那么，那么bd=ce嗎嗎?如果如果abd= abc，ace= acb呢呢?由此，你能得到一個什么結論由此，你能得到一個什么結論?(2)如果如果ad= ac，ae= ab，那么，那么bd=ce嗎嗎?如果如果ad= ac，ae= ab呢呢?由此你得到什么結論由此你得到什么結論?3131

8、313141414141想一想想一想, 做一做做一做想一想想一想, 做一做做一做 （1）在）在abc中，如果中，如果ab=ac，abd= abc，ace= acb，那么，那么bd=ce. （2）在）在abc中，如果中，如果ab=ac，ad= ac，ae= ab，那么，那么bd=ce.n1n1n1n1 簡述為：簡述為：（1）在）在abc中，如果中，如果ab=ac，abd=ace，那么，那么bd=ce.（2）在）在abc中，如果中，如果ab=ac，ad=ae，那么，那么bd=ce.探索等邊三角形性質探索等邊三角形性質 求證：等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于求證：等邊三角形三個內角都相等并

9、且每個內角都等于6060. .已知：如圖，在已知：如圖，在abc中，中，ab= =bc= =ac。求證：求證：a=b=c=60=60. .證明：在證明：在abc中，中，ab= =ac， b=c( (等邊對等角等邊對等角).). 同理：同理：c=a， a=b=c（等量代換）（等量代換）. . 又又a+b+c180180（三角形內角和定理）（三角形內角和定理） a=b=c6060. .小試身手小試身手如圖如圖, ,已知已知abc和和bde都是等邊三角形都是等邊三角形, ,求證求證:a:ae= =cdabcde證明證明: abc和和bde都是等邊三角形都是等邊三角形ab=bc,abc=dbe=60=60, ,be= =bd abecbdae=cd1.1.求等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數。求等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數。2.2.如圖，在如圖，在abc中，中，d，e是是bc的三等分點，且的三等分點，且ade是等邊三角形，求是等邊三角形，求bac的度數。的度數。隨堂練習隨堂練習 及時鞏固及時鞏固我掌握的