1、立體幾何練習一、 向量法在空間平行關系中的應用1、線線平行：證明直線l1l2時，分別取l1、l2的一個方向向量a、b，則ab存在實數k，使akb或利用其坐標(其中a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)例：正方體ABCDA1B1C1D1中，點M、N分別是棱BB1和對角線CA1的中點，求證：MNBD.2、線面平行：證明直線l平面時，可取直線l的方向向量a與平面的法向量n，證明a·n0例：在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點求證：MN平面A1BD.3、面面平行：證明平面平面時，設、的法向量分別為a、b，則只須證明ab.例：在正方體ABCDA1B1C

2、1D1中，E、F、G分別為C1D1、B1C1、CC1的中點求證：平面A1DB平面EFG.練習：1、如圖，已知正方體ABCDABCD，點M，N分別是面對角線AB與面對角線AC的中點求證：MN側面ADDA；MNAD，并且MNAD2、如下圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1.M在EF上，且AM平面BDE.則M點的坐標為EB二、 向量法在空間垂直關系中的應用1、線線垂直：設直線l的方向向量為a(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b(b1，b2，b3)，則lmab例：已知正方體ABCDABCD中，點M、N分別是棱BB與對角線CA的中點求證：MNBB；MNAC.2、線面垂直：

3、設直線l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量u(a2，b2，c2)，則lau例：如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(1)證明CDAE；(2)證明PD平面ABE.3、面面垂直：若平面的法向量u(a1，b1，c1)平面的法向量為v(a2，b2，c2)，則uv例：已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90°，ABBCPBPC2CD，側面PBC底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)證明：平面PAD平面PAB.練習：1、已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是B

4、B1、DD1、DC的中點，求證：(1)平面ADE平面A1D1G；(2)在AE上求一點M，使得A1M平面DAE.2、在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AB和BC的中點，試在棱B1B上找一點M，使得D1M平面EFB1.三、 利用向量知識求空間中的角1、求異面直線所成角：設l1與l2是兩異面直線，a、b分別為l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角為，則 = ，(0，。例：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中點，Q是BC的中點，點P在A1B1上，則直線PQ與直線AM所成的角等于CB2、求線面角：設直線l與平面所成的角為，l的方向向量為a，

5、平面的法向量為n，則sin|cosa，n|.0，例：如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD是平行四邊形，側面SBC底面ABCD，已知ABC45°，AB2，BC2，SASB.(1)證明SABC；(2)求直線SD與平面SAB所成角的大小3、設二面角l的平面角為，0，平面、的法向量為n1，n2（1）如為銳角則，則cos|cosn1，n1|.（2）如為鈍角則，則cos|cosn1，n1|.例：如圖，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90°，ABBCPBPC2CD，側面PBC底面ABCD.（1）求二面角PBDC的大小練習：1、如圖，已知點P在正方體ABCDABCD的對

6、角線BD上，PDA60°，則(1)DP與CC所成角的大小為(2)DP與平面AADD所成角的大小為 2、如圖所示，四棱錐SABCD的底面是邊長為1的正方形，SD面ABCD，SB.求面ASD與面BSC所成二面角的大小四、利用向量知識求點到平面的距離方法：用向量法求點面距的一般求法是，先求出該平面的一個法向量，然后找出從該點出發(fā)到平面的任一條斜線段對應的向量，最后求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離.即設是平面的法向量，是的一條斜線，則點到平面的距離.ABC求直線與平面的距離時，如圖，直線/平面，因直線上任一點到平面的距離與直線到平面的距離相等.故

7、直線與平面的距離為，其中為直線上任一點，為平面內任一點，為平面的法向量.求平面與平面的距離類似以上分析.總之，直線和平面的距離與兩平行平面的距離可轉化為點到平面的距離來求.例1：正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則O到平面ABC1D1的距離為例2、已知長方體ABCDA1B1C1D1中，棱A1A5，AB12，那么直線B1C1和平面A1BCD1的距離是例3、正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為練習：1、在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱長均為1，則點B1到平面ABC1的距離為C2、在底面是直角梯形的四棱錐PABCD中，側棱

8、PA底面ABCD，BCAD，ABC90°，PAABBC2，AD1，則AD到平面PBC的距離為_兩異面直線距離：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫兩條異面直線的公垂線兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分叫這兩條異面直線的公垂線段兩條異面直線的公垂線段的長度叫兩條異面直線的距離（一）. 直接法直接法就是根據定義，直接找出公垂線段，再求其長，這是解題時首先要考慮的方法。例1，如圖正方體ABCDABCD的棱長為a，求下列開面直線間的距離：（1）BC與AA；（2）AB與CC；（3）AD與BC；（4）AD與AB例2，如圖空間四邊形ABCD邊長為a，連對角線AC、BD，且ACBDa，E，F(xiàn)分別為

9、AB、CD的中點，（1）證明：EF是異面直線AB、CD的公垂線；（2）求異面直線AB與CD的距離。 （二）、向量法例3. 在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求異面直線AB與A1C間的距離。練習：如圖4所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，求異面直線DB1與AC間的距離。課后練習1、（2009北京卷理）若正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60°角，則到底面的距離為 2、已知正四棱柱中，=，為中點，則異面直線與所形成角的余弦值為 3、如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側棱的中點，則異面直線所成的角的大小是 。 4、如圖，在半徑為3的球面上有三點，球心到平面的距離是，則兩點的球面距離是5、如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.（）求證：平面；