1、一、問題的提出一、問題的提出1.自由落體運動的瞬時速度問題自由落體運動的瞬時速度問題0tt ,0時時刻刻的的瞬瞬時時速速度度求求tt如圖如圖,0tt 的時刻的時刻取一鄰近于取一鄰近于, t 運運動動時時間間tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0時時當當tt 取極限得取極限得2t)(tlimv00 gtt瞬時速度瞬時速度.0gt 2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放 t0 xxoxy)(xfy cnm如圖如圖, 如果割線如果割線mn繞點繞點m旋轉而趨向極限位置旋轉而趨向極限位置mt,直線直線mt就稱為曲線就稱為曲線c在點在點m處的處的切線

2、切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 nmtmn).,(),(00yxnyxm設設的斜率為的斜率為割線割線mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxmnc沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線mt.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、導數的定義二、導數的定義,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導數處的導數在點在點數數并稱這個極限為函并稱這個極限為函處可導處可導在點在點則稱函數則稱函數時的極限存在時的極限存在之比當之比當與與如果如果得增量得增量取取相應地函數相應地函

3、數時時仍在該鄰域內仍在該鄰域內點點處取得增量處取得增量在在當自變量當自變量有定義有定義的某個鄰域內的某個鄰域內在點在點設函數設函數定義定義.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即.,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點導數是因變量在點點導數是因變量在點 x.)(,)(內可導內可導在開區間在開區間就稱函數就稱函數處都可導處都可導內的每點內的每

4、點在開區間在開區間如果函數如果函數ixfixfy 關于導數的說明：關于導數的說明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfix或或記作記作的導函數的導函數這個函數叫做原來函數這個函數叫做原來函數導數值導數值的一個確定的的一個確定的都對應著都對應著對于任一對于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf 播放播放2.導函數導函數(瞬時變化率瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近是函數平均變化率的逼近函數函數.2.右導數右導數:單側導數單側導數1.左導數左導數:;)()(lim)()(li

5、m)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數數)(xf在在點點0 x處處可可導導左左導導數數)(0 xf 和和右右導導數數)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.如果如果)(xf在開區間在開區間 ba,內可導，且內可導，且)(af 及及)(bf 都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區間在閉區間 ba,上可導上可導.,),(),()(000可導性可導性的的討論在點討論在點設函數設函數xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存在

6、存在xf 則則)(xf在在點點0 x可可導導，,)(0存在存在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且三、由定義求導數三、由定義求導數步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例1 1.)()(的導數的導數為常數為常數求函數求函數ccxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設函數設函數解解

7、hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的導數的導數為正整數為正整數求函數求函數nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的導數的導數求函數求函數 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .

8、lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的的導導數數求求函函數數 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例6 6.0)(處處的的可可導導性性在在討討論論函函數數 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點不可導點不可導在在函數函數 xx

9、fy四、導數的幾何意義與物理意義四、導數的幾何意義與物理意義oxy)(xfy t0 xm1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxmxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點處的切線并寫出在該點處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點在點求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解由導數的幾何意義由導數的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( x

10、x2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即2.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動變速直線運動: :路程對時間的導數為物體的路程對時間的導數為物體的瞬時速度瞬時速度.lim)(0dtdststvt 交流電路交流電路: :電量對時間的導數為電流強度電量對時間的導數為電流強度.lim)(0dtdqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質量對長度質量對長度(面積面積,體積體積)的導的導數為物體的線數為物體的線(面面,體體)密度密度.五、可導

11、與連續的關系五、可導與連續的關系定理定理 凡可導函數都是連續函數凡可導函數都是連續函數. .證證,)(0可導可導在點在點設函數設函數xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續連續在點在點函數函數xxf)0(0 x 連續函數不存在導數舉例連續函數不存在導數舉例.,)()()(,)(. 1000函數在角點不可導函數在角點不可導的角點的角點為函數為函數則稱點則稱點若若連續連續函數函數xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角點的角點為為處不可導處不可導在在xfxx

12、注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可導不可導有無窮導數有無窮導數在點在點稱函數稱函數但但連續連續在點在點設函數設函數xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1處不可導處不可導在在 x.,)()(. 30點不可導點不可導則則指擺動不定指擺動不定不存在不存在在連續點的左右導數都在連續點的左右導數都函數函數xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0處不可導處不可導在在 x011/1/xy.)()(,)(. 4000不可導點不可導點的尖點的尖點為函數為函數則稱點

13、則稱點符號相反符號相反的兩個單側導數的兩個單側導數且在點且在點若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例例8 8.0,0, 00,1sin)(處的連續性與可導性處的連續性與可導性在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解,1sin是有界函數是有界函數x01sinlim0 xxx.0)(處連續處連續在在 xxf處有處有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時時當當 xyx.0)(處不可導處不可導在在 xxf0)(lim)0(0 xffx六、小結六、小結1. 導數的實質導數的實質: 增量比的極限增量比的極

14、限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導數的幾何意義導數的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數可導一定連續，但連續不一定可導函數可導一定連續，但連續不一定可導;5. 求導數最基本的方法求導數最基本的方法: 由定義求導數由定義求導數.6. 判斷可導性判斷可導性不連續不連續,一定不可導一定不可導.連續連續直接用定義直接用定義;看左右導數是否存在且相等看左右導數是否存在且相等.思考題思考題 函函數數)(xf在在某某點點0 x處處的的導導數數)(0 xf 與與導導函函數數)(xf 有有什什么么區區別別與與聯聯系系？思考題解答思考題解答 由導數的定義知，由導數的定義知，)(

15、0 xf 是一個具體的是一個具體的數值，數值，)(xf 是由于是由于)(xf在某區間在某區間i上每一上每一點都可導而定義在點都可導而定義在i上的一個新函數，即上的一個新函數，即ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 與之對應，所以兩與之對應，所以兩者的者的區別區別是：一個是數值，另一個是函數兩是：一個是數值，另一個是函數兩者的者的聯系聯系是：在某點是：在某點0 x處的導數處的導數)(0 xf 即是導即是導函數函數)(xf 在在0 x處的函數值處的函數值一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設)(xf在在0 xx 處可導，即處可導，即)(0 xf 存在，則存在，則 _)()(lim000 xxfxx

16、fx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物體的運動規律為已知物體的運動規律為2ts ( (米米) )，則該物體在，則該物體在 2 t秒時的速度為秒時的速度為_ ._ .3 3、 設設321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 則則它們的導數分別為它們的導數分別為dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .練習題練習題4 4、 設設2)(xxf , ,則則 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 線曲 線xey 在 點在 點)1,0(處 的 切 線 方 程 為處 的 切 線 方 程

17、為_._.二、二、 在下列各題中均假定在下列各題中均假定)(0 xf 存在，按照導數的定存在，按照導數的定義觀察下列極限，分析并指出義觀察下列極限，分析并指出a表示什么？表示什么？ 1 1、axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、ahhxfhxfh )()(lim000. .三、證明：若三、證明：若)(xf為偶函數且為偶函數且)0(f 存在，則存在，則0)0( f. .四、四、 設函數設函數 0,00,1sin)(xxxxxfk問問k k滿足什么條滿足什么條件，件，)(xf在在0 x處處 (1)(1)

18、連續；連續； （2 2）可導；）可導；（3 3）導數連續）導數連續. .五、五、 設函數設函數 1,1,)(2xbaxxxxf, ,為了使函數為了使函數)(xf在在1 x處連續且可導，處連續且可導，ba ,應取什么值應取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 證明：雙曲線證明：雙曲線2axy 上任一點處的切線與兩上任一點處的切線與兩 坐標軸構成的三角形的面積都等于坐標軸構成的三角形的面積都等于22a. .八八、 設設有有一一根根細細棒棒，取取棒棒的的一一端端作作為為原原點點，棒棒上上任任意意點點的的坐坐標標為為x，于于是是分分布布在在區區

19、間間1,0上上細細棒棒的的質質量量m是是x的的函函數數)(xmm 應應怎怎樣樣確確定定細細棒棒在在點點0 x處處的的線線密密度度（對對于于均均勻勻細細棒棒來來說說，單單位位長長度度細細棒棒的的質質量量叫叫作作這這細細棒棒的的線線密密度度）？一、一、1 1、)(0 xf ； 2 2、)(0 xf ； 3 3、6533161,2,32 xxx； 3 3、24x, ,22x； 5 5、01 yx. .二、二、1 1、)(0 xf ； 2 2、)0(f ； 3 3、)(20 xf . .四、四、(1)(1)當當0 k時時, ,)(xf在在0 x處連續；處連續；(2)(2)當當1 k時時, ,)(xf在

20、在0 x處可導處可導, ,且且0)0( f； (3) (3)當當2 k及及0 x時時, ,)(xf 在在0 x處連續處連續. .五、五、1, 2 ba. .六、六、 0, 10,cos)(xxxxf. . 八、八、0 xxdxdm . .練習題答案練習題答案2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極