1、專題三 函數與方程思想函數是中學數學的一個重要概念，它滲透在數學的各部分內容中，一直是高考的熱點、重點內容。函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，建立函數關系，運用函數的知識，使問題得到解決這種思想方法在于揭示問題的數量關系的本質特征，重在對問題的變量的動態研究，從變量的運動變化，聯系和發展角度拓寬解題思路和函數有必然聯系的是方程，方程f(x)0的解就是函數yf(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通過方程進行研究，要確定變化過程的某些量，往往要轉化為求出這些量滿足的方程，希望通過方程（組）來求得這些量這就是方程的思想，方程思

2、想是動中求靜，研究運動中的等量關系就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的中學數學問題中的很多條件經常是互相聯系、互相制約，可表現為相應變量的互相聯系、互相制約，這種變量的互相聯系、互相制約常可用變量間的等量關系式或不等量關系式表示。這時，若將變量間的等量關系看成函數關系，則可以將等量關系式轉化成函數解析式，這時妙用函數的有關性質（值域、與坐標軸交點情形等）就可解決

3、問題；若將等量關系式看成關于某個未知量的方程，則利用解方程或考慮根的情形可求得變量；若可將變量間的不等量關系式看成關于某個未知量的不等式 ，則解這個不等式可求得這個變量的取值范圍。因此我們在數學的教學中應注重培養下列兩種意識。一、在解題中形成方程意識將所求的量（或與所求的量相關的量）設成未知數，用它表示問題中的其它各量，根據題中的等量關系，列出方程，通過解方程或對方程進行研究，以求得問題的解決。例：設點P內分有向線段MN，且,求點M分有向線段PN的比。分析：將轉移成關于MP=PN的方程，設點M分有向線段PN的比為k,則PM=kMN,PM=k(MP+PN)(*)將 MP=PN帶入（*）即可得k的

4、值。同樣也可求N點分有向線段PM的比。例：設雙曲線的半焦距為C，直線L過（a，0）、（0，b）兩點。已知原點到直線L的距離為，則雙曲線的離心率為： （ ） A、2 B、 C、 D、2 / 22該等量關系轉換成等于a、b、c的關系等式，即可轉換得關于未知量e的方程，解方程即得e的取值。二、在解題中形成函數意識在解題中，要對所給的問題觀察、分析、判斷并善于挖掘題目中的條件，構造出恰當的函數解析式、妙用函數的性質。例：對于滿足0p4的一切實數，不等式x2px4xp3恒成立，試求x的取值范圍一例，我們習慣上把x當作自變量，構造函數yx2(p4)x3p,于是問題轉化為：當p0,4時，y0恒成立，求x的取

5、值范圍解決這個等價的問題需要應用二次函數以及二次方程的區間根原理，可想而知，這是相當復雜的如果把p看作自變量，x視為參數，構造函數y(x1)p(x24x3)，則y是p的一次函數，就非常簡單即令  f(p)(x1)p(x24x3)函數f(p)的圖象是一條線段，要使f(p)0恒成立，當且僅當f(0)0，且f(4)0，解這個不等式組即可求得x的取值范圍是(,1)(3,)本題看上去是一個不等式問題，但是經過等價轉化，我們把它化歸為一個非常簡單的一次函數，并借助于函數的圖象建立了一個關于x的不等式組來達到求解的目的。鞏固練習（一）一、選擇題1、不等式在區間內恒成立，則a的取值范圍是 （ ）A

6、B C D 2、方程lgxx3的解所在的區間為_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)3、如果函數f(x)xbxc對于任意實數t，都有f(2t)f(2t)，那么_。A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)4、已知函數yf(x)有反函數，則方程f(x)a (a是常數) _。A.有且僅有一個實根 B.至多一個實根 C.至少一個實根 D.不同于以上結論5、已知sincos，(，)，則tan的值是_。A. B. C. D

7、. 6、已知函數f(x)|21|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，則_。A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0 C. 2<2 D. 22<27、已知函數f(x)log(x4x8)， x0,2的最大值為2，則a_。A. B. C. 2 D. 48、是等差數列前項和，且，使取得最小值的值為 （ B ）A 6 B 7 C 8 D 7或89、若，則的取值范圍 （ B ） A B C D 10、若不等式的解集為R，則的取值范圍是 （ D ）A B C D 或二、填空題11、已知等差數列的前n項和為S，

8、且SS (pq，p、qN)， 則S _。12、關于x的方程sinxcosxa0有實根，則實數a的取值范圍是_。13、關于的不等式的解集是，則實數的值為_。14、設函數的值域為，則15、對于滿足的所有實數，使不等式都成立的的取值范圍是_。變式：設，且在區間上變動時，恒取正值，則的取值范圍是_。16、設，當時，恒成立，則實數的取值范圍是_。變式1：當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是_。變式2：關于的不等式，當時恒成立，則實數的取值范圍是_。三、解答題17、設等差數列a的前n項的和為S，已知a12，S>0，S<0 。. 求公差d的取值范圍； .指出S、S、S中哪一個值最大，并說明理由

9、。18、如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設BAC，PAAB=2r，求異面直線PB和AC的距離。 P MA H B D C。19、方程在上有唯一解，求的取值范圍變題1：已知滿足不等式的整數解只有1，求實數的取值范圍變題2：關于的不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍20、對于函數，若存在，使成立，則稱為的不動點，已知函數（1）、當時，求函數的不動點（2）、若對任意實數，函數恒有兩個相異的不動點，求實數的取值范圍（3）、在問題（2）的條件下，若圖象上A、B兩點的橫坐標是函數的不動點。且A、B兩點關于直線對稱，求的最小值。21、已知動點M到點的距離比它到直線的距離小（

10、1）、求動點M的軌跡方程（2）、已知A、B、C為（1）中軌跡上三個不同的點、若（A、B異于原點O），求證：直線OB與過點A且與軸垂直的直線的交點N在一條定直線上、若AB和AC都與圓相切，試判斷直線BC與此圓的位置關系，并證明你的結論。答案一、選擇題題號12345678910答案ACABABABBD二、填空題11、0 12、 13、 14、15、 （變）16、 （變1） （變2）三、解答題17、【分析】 問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；問利用S是n的二次函數，將S中哪一個值最大，變成求二次函數中n為何值時S取最大值的函數最值問題。【解】 由aa2d12,得到a122d，所以S12a

11、66d12(122d)66d14442d>0，S13a78d13(122d)78d15652d<0。 解得：<d<3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因為d<0，故n(5)最小時，S最大。由<d<3得6<(5)<6.5，故正整數n6時n(5)最小，所以S最大。18、【分析】 異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設定變量，建立目標函數而求函數最小值。 P MA H B D C【解】 在PB上任取一點M，作MDAC于D，MHAB于H，設MHx，則MH平面ABC，ACHD 。M

12、Dx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即當x時，MD取最小值為兩異面直線的距離。19、【分析】先將方程化為含字母的一元二次方程，然后利用方程有惟一解的條件及解在0，3上的限制，將次問題解決解：原方程可化為，令，原方程有惟一解，即函數在所給的定義域內圖象與x軸只有一個交點=0或者，得變式1：變式2：20、解：（1）當時，由題意知得，所以的兩個不動點為（2）、恒有兩個相異的不動點 即恒有兩個相異的實數根得 （）恒成立 ，所以解得故當，恒有兩個相異的不動點時（3）、由題意知A、B在直線上，設，點A、B關于直線對稱，設AB的中點為是方程的兩根的兩根，于是，由點在直線上得

13、，即，當且僅當，即時取等號，故，得最小值為21、（1）、（2）、N在直線上（3）、相切鞏固練習（二）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設直線 axbyc0的傾斜角為，且sincos0，則a，b滿足ABCD2設P是60°的二面角l內一點，PA平面，PB平面，A、B為垂足，PA4，PB2，則AB的長為 A2 B2 C2 D43 若是等差數列，首項，則使前n項和成立的最大自然數n是 A4005 B4006 C4007 D40084每個頂點的棱數均為三條的正多面體共有A2種 B3種 C4種 D5種5設函數，區間Ma，b(a&

14、lt;b)，集合N，則使MN成立的實數對(a，b)有 A0個 B1個 C2個 D無數多個6設是函數的反函數，若，則的值為A1B2C3D7把正方形ABCD沿對角線AC折起，當A、B C、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD與平面ABC所成的角的大小為A90°B60°C45°D30°8若函數f(x)(1m)x22mx5是偶函數，則f(x) A先增后減B先減后增C單調遞增D單調遞減9定義在(，)上的奇函數f(x)和偶函數g(x)在區間(，0上的圖像關于x軸對稱，且f(x)為增函數，則下列各選項中能使不等式f(b)f(a)>g(a)g(b)成立的是Aa

15、>b>0Ba<b<0Cab>0Dab<010ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊如果a、b、c成等差數列B30°，ABC的面積為，那么bAB1CD2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在橫線上11兩個正數a、b的等差中項是5，等比中項是4若ab，則雙曲線的離心率e等于 12若的展開式中常數項為20，則自然數n 13x0是x的方程axlogax(0<a<1)的解，則x0，1，a這三個數的大小關系是 14已知函數互為反函數，又的圖象關于直線對稱，若_ _;_ 15已知矩形的邊平面現有以下五個數據： 當在邊上存在點，

16、使時，則可以取_（填上一個正確的數據序號即可）16、已知關于的方程有實數解，則實數的范圍為_。三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）已知集合Ax|x2axa2190，集合Bx|log2(x25x8)1，集合Cx|m1，m0，|m|1滿足AB， AC，求實數a的值18（本小題滿分12分）有一組數據的算術平均值為10，若去掉其中最大的一個，余下數據的算術平均值為9；若去掉其中最小的一個，余下數據 的算術平均值為11 （1）求出第一個數關于的表達式及第個數關于的表達式; （2）若都是正整數，試求第個數的最大值，并舉出滿足題目要求且取到最大值

17、的一組數據19（本小題滿分14分）某公司生產的A型商品通過租賃柜臺進入某商場銷售第一年，商場為吸引廠家，決定免收該年管理費，因此，該年A型商品定價為每件70元，年銷售量為118萬件第二年，商場開始對該商品征收比率為p%的管理費（即銷售100元要征收p元），于是該商品的定價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件 （1）將第二年商場對該商品征收的管理費y（萬元）表示成p的函數，并指出這個函數的定義域； （2）要使第二年商場在此項經營中收取的管理費不少于14萬元，則商場對該商品征收管理費的比率p%的范圍是多少？ （3）第二年，商場在所收管理費不少于14萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為

18、多少？20（本小題滿分14分）已知二次函數f(x)ax2bx（a，b為常數，且a0）滿足條件：f(x1)f(3x)且方程f(x)2x有等根 （1）求f(x)的解析式； （2）是否存在實數m，n（m<n），使f(x)的定義域和值域分別為m，n和4m，4n，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，說明理由21（本小題滿分14分）設無窮等差數列an的前n項和為Sn （1）若首項，公差，求滿足的正整數k； （2）求所有的無窮等差數列an，使得對于一切正整數k都有成立答案一、選擇題（每小題5分，共50分）題號12345678910答案DCBAABCBAB二、填空題（每小題4分，共20分）(11) (12) 3； (13) 10或10(14) ；(15) 或 16、三、解答題（共80分）17解：由條件即可得B2，3，C4，2，由AB，AC，可知3A，2A將x3代入集合A的條件得：a23a100 a2或a5當a2時，Ax|x22x1505，3，符合已知條件當a5時，Ax|x25x602，3，不符合條件“AC”，故舍去綜上得：a218解：（1） 依條件得：由得：，又由得：（2）由于是正整數，故 ，故當10時， ， 此時，19 解：（1）依題意，第二年該商品年銷售量為（118p）萬件，年銷售收入為（118p）萬元，則商場該年對該商品征收的