1、通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段相等。1如圖所示，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求證：AC=BF。分析：本題是證明線段相等的問題。要證明兩條線段相等有如下方法：如果兩條線段在同一三角形中，只需證明此三角形為等腰三角形。等量代換法構(gòu)造全等三角形，這一方法是最常用的方法。下面我們來分析這道題，欲證AC=BF，只須證AC、BF所在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒有含有AC、BF的兩個(gè)全等三角形圖形，而根據(jù)題目條件的去構(gòu)造兩個(gè)含有AC、BF的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只要說明轉(zhuǎn)

2、移到同一個(gè)三角形以后的這兩條線段，所對(duì)的角相等即可。思路一、以三角形ADC為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段AC，使AC、BF在三角形BFH中法一：延長(zhǎng)AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，證明ADC和HDB全等，得AC=BH。通過證明H=BFH，得到BF=BH。證明：延長(zhǎng)AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH D為BC中點(diǎn) BD=DC在ADC和HDB中 ADCHDB(SAS) AC=BH, H=HAC EA=EF HAE=AFE又 BFH=AFE BH=BF BF=AC法二：過B點(diǎn)作BH平行AC與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，證明ADC和HDB全等。小結(jié)：對(duì)于含有中點(diǎn)的問題，通過“倍長(zhǎng)中線”得到可以兩個(gè)全等三角形。

3、而過一點(diǎn)作己知直線的平行線，可以起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到了構(gòu)造全等三角形的作用。思路二、以三角形BFD為基礎(chǔ)三角形。轉(zhuǎn)移線段AC，使AC、BF在兩個(gè)全等三角形中法三：延長(zhǎng)FD至H，使得DH=FD，連結(jié)HC。證明CDH和BDF全等。證明：延長(zhǎng)FD至H，使得DH=FD，連結(jié)HC。 D為BC中點(diǎn) BD=CD在BFD和CHD中 BFDCHD(SAS) H=BFH AE=FE HAC=AFE又 AFE=BFH H=HAC CH=CA BF=AC法四：過C點(diǎn)作CH平行BF與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，證明CDH和BDF全等。小結(jié)：通過一題多種輔助線的添加方法，體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添

4、加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等。熟悉法一、法三“倍長(zhǎng)中線”的輔助線包含的基本圖形“八字型”和“倍長(zhǎng)中線”兩種基本操作方法，倍長(zhǎng)中線，或者倍長(zhǎng)過中點(diǎn)的一條線段以后的對(duì)于解決含有過中點(diǎn)線段有很好的效果。拓展：如圖所示，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。求證：AE=EF。分析：調(diào)換己知和求證的順序是幾何中提出新問題的一種常規(guī)做法。我們調(diào)換了例2的部分已知條件和結(jié)論的順序提出新的問題，在解決新的問題中又鞏固了上述添加輔助線的基本作法。上述四種方法仍然可以適用。練習(xí)：(1)已知：如圖，AB=AC，E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=CF，EF交BC于點(diǎn)D求證：DE=DF(2)已知：如圖，AB=AC，E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，EF交BC于點(diǎn)D，且D為EF的中點(diǎn)求證