1、通過添加輔助線構造全等三角形轉移線段到一個三角形中證明線段相等。1如圖所示，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求證：AC=BF。分析：本題是證明線段相等的問題。要證明兩條線段相等有如下方法：如果兩條線段在同一三角形中，只需證明此三角形為等腰三角形。等量代換法構造全等三角形，這一方法是最常用的方法。下面我們來分析這道題，欲證AC=BF，只須證AC、BF所在兩個三角形全等，顯然圖中沒有含有AC、BF的兩個全等三角形圖形，而根據題目條件的去構造兩個含有AC、BF的全等三角形也并不容易。這時我們想到在同一個三角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉移到同一個三角形中，只要說明轉

2、移到同一個三角形以后的這兩條線段，所對的角相等即可。思路一、以三角形ADC為基礎三角形，轉移線段AC，使AC、BF在三角形BFH中法一：延長AD到H，使得DH=AD，連結BH，證明ADC和HDB全等，得AC=BH。通過證明H=BFH，得到BF=BH。證明：延長AD到H，使得DH=AD，連結BH D為BC中點 BD=DC在ADC和HDB中 ADCHDB(SAS) AC=BH, H=HAC EA=EF HAE=AFE又 BFH=AFE BH=BF BF=AC法二：過B點作BH平行AC與AD的延長線相交于點H，證明ADC和HDB全等。小結：對于含有中點的問題，通過“倍長中線”得到可以兩個全等三角形。

3、而過一點作己知直線的平行線，可以起到轉移角的作用，也起到了構造全等三角形的作用。思路二、以三角形BFD為基礎三角形。轉移線段AC，使AC、BF在兩個全等三角形中法三：延長FD至H，使得DH=FD，連結HC。證明CDH和BDF全等。證明：延長FD至H，使得DH=FD，連結HC。 D為BC中點 BD=CD在BFD和CHD中 BFDCHD(SAS) H=BFH AE=FE HAC=AFE又 AFE=BFH H=HAC CH=CA BF=AC法四：過C點作CH平行BF與AD的延長線相交于點H，證明CDH和BDF全等。小結：通過一題多種輔助線的添加方法，體會添加輔助線的目的在于構造全等三角形。而不同的添

4、加方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移體會構造的全等三角形在轉移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等。熟悉法一、法三“倍長中線”的輔助線包含的基本圖形“八字型”和“倍長中線”兩種基本操作方法，倍長中線，或者倍長過中點的一條線段以后的對于解決含有過中點線段有很好的效果。拓展：如圖所示，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。求證：AE=EF。分析：調換己知和求證的順序是幾何中提出新問題的一種常規做法。我們調換了例2的部分已知條件和結論的順序提出新的問題，在解決新的問題中又鞏固了上述添加輔助線的基本作法。上述四種方法仍然可以適用。練習：(1)已知：如圖，AB=AC，E為AB上一點，F是AC延長線上一點，且BE=CF，EF交BC于點D求證：DE=DF(2)已知：如圖，AB=AC，E為AB上一點，F是AC延長線上一點，且，EF交BC于點D，且D為EF的中點求證