1、第三講 定點、定值與最值問題一、主干知識一、主干知識1.1.定點問題：定點問題：在解析幾何中，有些含有參數的直線或曲線，不論參數如何變在解析幾何中，有些含有參數的直線或曲線，不論參數如何變化，其都過某定點，這類問題稱為定點問題化，其都過某定點，這類問題稱為定點問題. .2.2.定值問題：定值問題：在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點坐標或動線中的參變量無關，這類問題統稱為定值本量和動點坐標或動線中的參變量無關，這類問題統稱為定值問題問題. .3.3.最值問題的兩大求解策略：最值問題的兩大求解策略：解決圓錐曲線中的

2、最值問題，一般有兩種方法：一是幾何法，解決圓錐曲線中的最值問題，一般有兩種方法：一是幾何法，特別關注用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；特別關注用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，將圓錐曲線中的最值問題轉化為函數問題二是代數法，將圓錐曲線中的最值問題轉化為函數問題( (即根即根據條件列出所求的目標函數據條件列出所求的目標函數) )，然后根據函數的結構特征直接，然后根據函數的結構特征直接或換元后選用基本不等式法、導數法、數形結合法等求最值或換元后選用基本不等式法、導數法、數形結合法等求最值. .二、重要結論二、重要結論1.1.直線與圓錐曲線相交的問題，牢記直線與圓

3、錐曲線相交的問題，牢記“聯立方程，把要求的聯立方程，把要求的量轉化為根與系數的關系量轉化為根與系數的關系”. .2.2.有關弦長問題，牢記弦長公式有關弦長問題，牢記弦長公式 及根與系數的關系，及根與系數的關系，“設而不求設而不求”；有關焦點；有關焦點弦長問題，要牢記圓錐曲線定義的運用，以簡化運算弦長問題，要牢記圓錐曲線定義的運用，以簡化運算. .3.3.涉及弦中點的問題，牢記涉及弦中點的問題，牢記“點差法點差法”是聯系中點坐標和弦是聯系中點坐標和弦所在直線的斜率的好方法所在直線的斜率的好方法. .212ab1kxx12211| yy |k4.4.求參數范圍的問題，牢記求參數范圍的問題，牢記“先

4、找不等式，有時需要找出兩個先找不等式，有時需要找出兩個量之間的關系，然后消去另一個量，保留要求的量量之間的關系，然后消去另一個量，保留要求的量”. .不等式不等式的來源可以是的來源可以是00或圓錐曲線的有界性或是題目條件中的某個或圓錐曲線的有界性或是題目條件中的某個量的范圍等量的范圍等. .5.5.牢記曲線牢記曲線f f1 1(x,y)+f(x,y)+f2 2(x,y)=0(x,y)=0(為參數為參數) )過曲線過曲線f f1 1(x,y)=0(x,y)=0與與f f2 2(x,y)=0(x,y)=0的交點的交點. .1.(20131.(2013昆明模擬昆明模擬) )已知直線已知直線x=tx=

5、t與橢圓與橢圓 交于交于p p，q q兩兩點，若點點，若點f f為該橢圓的左焦點，則為該橢圓的左焦點，則 取最小值時取最小值時t t的值為的值為_._.【解析【解析】橢圓的左焦點橢圓的左焦點f(-4,0),f(-4,0),根據對稱性可設根據對稱性可設p(t,y),q(t,-yp(t,y),q(t,-y) )，則則 =(t+4,y), =(t+4,-y),=(t+4,y), =(t+4,-y),所以所以 =(t+4,y)=(t+4,y)(t+4,-y)=(t+4)(t+4,-y)=(t+4)2 2-y-y2 2. .又因為又因為所以所以 =(t+4)=(t+4)2 2-y-y2 2=t=t2 2

6、+8t+16-9+ t+8t+16-9+ t2 2= =所以當所以當 時，時， 取值最小取值最小. .答案：答案：22xy1259fp fq fpfq fp fq 222t9y9(1)9t ,2525fp fq 925234t8t7,25b50t2a17 fp fq 50172.(20132.(2013重慶模擬重慶模擬) )以拋物線以拋物線y y2 2=8x=8x上的任意一點為圓心作上的任意一點為圓心作圓與直線圓與直線x+2=0 x+2=0相切，這些圓必過一定點，則這一定點的坐相切，這些圓必過一定點，則這一定點的坐標是標是_._.【解析【解析】由拋物線定義知該圓必過拋物線由拋物線定義知該圓必過

7、拋物線y y2 2=8x=8x的焦點的焦點f(2,0).f(2,0).答案：答案：(2(2，0)0)3.(20133.(2013江西高考改編江西高考改編) )已知點已知點a(2a(2，0)0)，拋物線，拋物線c c：x x2 2=4y=4y的的焦點為焦點為f f，直線，直線fafa與拋物線與拋物線c c相交于點相交于點m m，與其準線相交于點，與其準線相交于點n n，則則fmmn=_.fmmn=_.【解析【解析】設直線設直線fafa的傾斜角為的傾斜角為，因為，因為f(0,1)f(0,1)，a(2,0)a(2,0)，所以，所以直線直線fafa的斜率為的斜率為 即即tan = tan = 過點過點

8、m m作準線的垂線交準線作準線的垂線交準線于點于點q q，由拋物線定義得，由拋物線定義得fm=mqfm=mq，在，在mqnmqn中中可得可得 即即fmmn=1fmmn=1答案：答案：1112 ，12 ，mq1,qn2mq1mn5，5.54.(20134.(2013鹽城模擬鹽城模擬) )如圖，在平面直角坐標系如圖，在平面直角坐標系xoyxoy中，拋物線中，拋物線的頂點在原點，焦點為的頂點在原點，焦點為f(1f(1，0)0)過拋物線在過拋物線在x x軸上方的不同兩軸上方的不同兩點點a a，b b作拋物線的切線作拋物線的切線acac，bdbd，與，與x x軸分別交于軸分別交于c c，d d兩點，且兩

9、點，且acac與與bdbd交于點交于點m m，直線，直線adad與直線與直線bcbc交于點交于點n n(1)(1)求拋物線的標準方程求拋物線的標準方程. .(2)(2)求證：求證：mnxmnx軸軸. .(3)(3)若直線若直線mnmn與與x x軸的交點恰為軸的交點恰為f(1f(1，0)0)，求證：直線求證：直線abab過定點過定點【解析【解析】(1)(1)設拋物線的標準方程為設拋物線的標準方程為y y2 2=2px(p0)=2px(p0)，由題意，得由題意，得 即即p=2p=2所以拋物線的標準方程為所以拋物線的標準方程為y y2 2=4x=4x(2)(2)設設a(xa(x1 1，y y1 1)

10、 )，b(xb(x2 2，y y2 2) )，且，且y y1 100，y y2 200由由y y2 2=4x(y0)=4x(y0)，得，得所以切線所以切線acac的方程為的方程為y-yy-y1 1= =即即y yy y1 1= (x= (xx x1 1) )整理，得整理，得yyyy1 1=2(x+x=2(x+x1 1) )，p12 ，1y2 xyx ，所以111xxx，12y且且c c點坐標為點坐標為( (x x1 1，0)0)同理得切線同理得切線bdbd的方程為的方程為yyyy2 2=2(x+x=2(x+x2 2) )，且且d d點坐標為點坐標為( (x x2 2，0)0)由由消去消去y y

11、，得，得x xm m= =又直線又直線adad的方程為的方程為 直線直線bcbc的方程為的方程為 由由消去消去y y，得，得x xn n= =所以所以x xm m=x=xn n，即，即mnxmnx軸軸122112x yx yyy1212yyxxxx，2112yyxxxx122112x yx yyy(3)(3)由題意由題意, ,設設m(1,ym(1,y0 0),),代入代入(2)(2)中的中的, ,得得y y0 0y y1 1=2(1+x=2(1+x1 1),y),y0 0y y2 2=2(1+x=2(1+x2 2).).所以所以a(xa(x1 1,y,y1 1),b(x),b(x2 2,y,y

12、2 2) )都滿足方程都滿足方程y y0 0y=2(1+x).y=2(1+x).所以直線所以直線abab的方程為的方程為y y0 0y=2(1+x).y=2(1+x).故直線故直線abab過定點過定點(-1,0).(-1,0).熱點考向熱點考向 1 1 定點的探究與證明問題定點的探究與證明問題 【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013鄭州模擬鄭州模擬) )已知點已知點a(xa(x1 1,y,y1 1),b(x),b(x2 2,y,y2 2) )(x(x1 1x x2 20)0)是拋物線是拋物線y y2 2=4x=4x上的兩個動點上的兩個動點,o,o是坐標原點是坐標原點, =0, =

13、0,則直線則直線abab過定點過定點. .(2)(2013(2)(2013聊城模擬聊城模擬) )如圖如圖, ,已知橢圓已知橢圓c: (ab0)c: (ab0)的的離心率為離心率為 以原點以原點o o為圓心為圓心, ,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線線x-yx-y+ =0+ =0相切相切. .oa ob 2222xy1ab1,26求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程. .設設p(4,0),a,bp(4,0),a,b是橢圓是橢圓c c上關于上關于x x軸對稱的任意兩個不同的點，軸對稱的任意兩個不同的點，連結連結pbpb交橢圓交橢圓c c于另一點于另一點e e，證明動直線，證明

14、動直線aeae經過一定點經過一定點. .【解題探究【解題探究】(1)(1)由由 =0=0，得，得y y1 1y y2 2為定值為定值_；當當x x1 1xx2 2時，直線時，直線abab的斜率的斜率k kabab= =_( (用用y y1 1,y,y2 2表示表示) )直線直線abab的方程為的方程為_.(.(用用y y1 1,y,y2 2表示表示) )當當x x1 1=x=x2 2時，直線時，直線abab的方程為的方程為x=x=_. .(2)(2)由離心率為由離心率為 _; ;由點到直線的距離求得由點到直線的距離求得b=b=_. .證明動直線證明動直線aeae經過一定點的關鍵是什么？經過一定

15、點的關鍵是什么？提示：提示：關鍵選與直線關鍵選與直線pbpb有關的參數建立直線有關的參數建立直線aeae的方程的方程. .oa ob -16-16124yy(y(y1 1+y+y2 2)y=4(x-4)y=4(x-4)4 421,a2得24b33【解析【解析】(1)(1)因為因為所以所以x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0，y y1 1y y2 2=-16=-16，當當x x1 1xx2 2時，時，abab方程方程y-yy-y1 1= =(y(y1 1+y+y2 2)y-y)y-y1 12 2-y-y1 1y y2 2=4x-4x=4x-4x1 1(y(y1 1+y+y2

16、 2)y=4x-16,)y=4x-16,即即(y(y1 1+y+y2 2)y=4(x-4)y=4(x-4)經過經過(4,0)(4,0)，當當x x1 1=x=x2 2時，時，x x1 1=x=x2 2=4,=4,即直線即直線abab方程為方程為x=4x=4過點過點(4(4，0).0).答案：答案：(4(4，0)0)221122oa ob0,y4x ,y4x , ab124k,yy1124(xx )yy(2)(2)由題意知由題意知所以所以又因為以原點又因為以原點o o為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-yx-y+ =0+ =0相切，相切，所以有所以有所

17、以所以故橢圓的方程為：故橢圓的方程為：c1,a22222222cab14,ab ,aa43即66b3,1 1224ab4,322xy1.43由題意知直線由題意知直線pbpb的斜率存在；的斜率存在；設直線設直線pbpb的方程為的方程為y=k(x-4),y=k(x-4),由由得得(4k(4k2 2+3)x+3)x2 2-32k-32k2 2x+64kx+64k2 2-12=0.-12=0.設點設點b(xb(x1 1,y,y1 1),e(x),e(x2 2,y,y2 2),a(x),a(x1 1,-y,-y1 1),),則則x x1 1+x+x2 2= x= x1 1x x2 2= = ( () )

18、直線直線aeae的斜率的斜率k kaeae= =所以直線所以直線aeae的方程為的方程為y-yy-y2 2= (x-x= (x-x2 2).).22yk x4 ,xy1,432232k,4k32264k124k31221yy,xx1221yyxx令令y=0,y=0,得得x=xx=x2 2+ + 將將y y1 1=k(x=k(x1 1-4),y-4),y2 2=k(x=k(x2 2-4)-4)代入并整理得：代入并整理得： ( () )將將( () )代入代入( () )整理得整理得所以，直線所以，直線aeae過定點過定點(1,0).(1,0).12212xxyyy1212122x x4 xxxx

19、x822222264k1232k244k34k3x1.32k84k3 【互動探究【互動探究】若本例若本例(1)(1)中拋物線方程為中拋物線方程為y y2 2=2px(p0)=2px(p0)，且弦，且弦abab的中點到直線的中點到直線x-2y=0 x-2y=0的距離的最小值為的距離的最小值為 且且 求求拋物線方程拋物線方程. .【解析【解析】設設abab中點中點c(x,yc(x,y),),則則若中點若中點c c到直線到直線x-2y=0 x-2y=0的距離為的距離為d,d,則則所以所以2 55oa ob0 ，1212xxx,2yyy,21212xx|yy|2d52212121|yyyy|4pd5當

20、當y y1 1+y+y2 2=2p=2p時，時，d d有最小值有最小值由題設得由題設得所以所以p=2,p=2,此時拋物線方程為此時拋物線方程為y y2 2=4x.=4x.2222212121212yy2y y4p yy8pyy2p4p4 5p4 5pp,5p2 5,55【方法總結【方法總結】動線過定點問題的兩大類型及解法動線過定點問題的兩大類型及解法(1)(1)動直線動直線l過定點問題，解法：設動直線方程過定點問題，解法：設動直線方程( (斜率存在斜率存在) )為為y=kx+ty=kx+t, ,由題設條件將由題設條件將t t用用k k表示為表示為t=mkt=mk, ,得得y=k(x+my=k(

21、x+m),),故動直線故動直線過定點過定點(-m,0).(-m,0).(2)(2)動曲線動曲線c c過定點問題過定點問題, ,解法：引入參變量建立曲線解法：引入參變量建立曲線c c的方程，的方程，再根據對參變量恒成立，令其系數等于零，得出定點再根據對參變量恒成立，令其系數等于零，得出定點. .【變式備選【變式備選】(2013(2013南通模擬南通模擬) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xoyxoy中，拋中，拋物線物線c c的頂點在原點，焦點的頂點在原點，焦點f f的坐標為的坐標為(1,0)(1,0)(1)(1)求拋物線求拋物線c c的標準方程的標準方程. .(2)(2)設設m,nm,n是拋物

22、線是拋物線c c的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之積為積為-4-4，直線，直線mo,nomo,no與拋物線的交點分別為點與拋物線的交點分別為點a,ba,b，求證：動直，求證：動直線線abab恒過一個定點恒過一個定點【解析【解析】(1)(1)設拋物線的標準方程為設拋物線的標準方程為y y2 2=2px(p0)=2px(p0)，則，則 =1=1，p=2p=2，所以拋物線，所以拋物線c c的標準方程為的標準方程為y y2 2=4x=4x(2)(2)拋物線拋物線c c的準線方程為的準線方程為x=-1x=-1，設，設m(-1,ym(-1,y1 1) )，n(-1,y

23、n(-1,y2 2) )，其中其中y y1 1y y2 2=-4,=-4,則直線則直線momo的方程為的方程為y=y=y y1 1x x，將，將y=y=y y1 1x x與與y y2 2=4x=4x聯立，解得聯立，解得a a點點的坐標為的坐標為 同理可得同理可得b b點的坐標為點的坐標為則直線則直線abab的方程為的方程為整理，得整理，得(y(y1 1+y+y2 2)y)y4x+4=0.4x+4=0.p221144(,yy) ，22244(,),yy22222121244yxyy4444yyyy，由由故動直線故動直線abab恒過一個定點恒過一個定點(1(1，0)0) y0,y0,44x0,x1

24、,解得熱點考向熱點考向 2 2 定值的探究與證明問題定值的探究與證明問題 【典例【典例2 2】(2013(2013北京模擬北京模擬) )橢圓橢圓t t的中心為坐標原點的中心為坐標原點o o，右焦，右焦點為點為f(2,0),f(2,0),且橢圓且橢圓t t過點過點e(2e(2， ).).abcabc的三個頂點都在橢圓的三個頂點都在橢圓t t上，設三條邊上，設三條邊(ab,bc,ac)(ab,bc,ac)的中點分別為的中點分別為m m，n n，p.p.(1)(1)求橢圓求橢圓t t的方程的方程. .(2)(2)設設abcabc的三條邊所在直線的斜率分別為的三條邊所在直線的斜率分別為k k1 1,k

25、,k2 2,k,k3 3，且，且k ki i0,i=1,2,3.0,i=1,2,3.若直線若直線omom，onon，opop的斜率之和為的斜率之和為0.0.求證：求證： 為定值為定值. .2123111kkk【解題探究【解題探究】(1)(1)設橢圓設橢圓t t的方程為的方程為 (ab0),(ab0),則則a=a=_,b=,b=_. .(2)(2)證明證明 為定值的兩關鍵點為定值的兩關鍵點: :表示表示: :將將 中的量中的量k k1 1,k,k2 2,k,k3 3用用_表示；表示；化簡：利用約束條件：化簡：利用約束條件：_化簡得定值化簡得定值. .2222xy1ab2 22 2123111kk

26、k123111kkk動點動點m,n,pm,n,p的坐標的坐標k komom+k+konon+k+kopop=0=0【解析【解析】(1)(1)設橢圓設橢圓t t的方程為的方程為 (ab0),(ab0),由題意知：左焦點為由題意知：左焦點為f(-2,0),f(-2,0),所以所以2a=ef+ef=2a=ef+ef=解得解得a= b=2.a= b=2.故橢圓故橢圓t t的方程為的方程為2222xy1ab23 24 2,2 2,22xy1.84(2)(2)設設a(xa(x1 1,y,y1 1),b(x),b(x2 2,y,y2 2),c(x),c(x3 3,y,y3 3),m(s),m(s1 1,t,

27、t1 1),n(s),n(s2 2,t,t2 2), p(s), p(s3 3,t,t3 3).).方法一：由方法一：由兩式相減，得到兩式相減，得到(x(x1 1-x-x2 2)(x)(x1 1+x+x2 2)+2(y)+2(y1 1-y-y2 2)(y)(y1 1+y+y2 2)=0)=0，所以所以即即同理同理所以所以又因為直線又因為直線omom，onon，opop的斜率之和為的斜率之和為0,0,所以所以22221122x2y8,x2y8,12121112121yyxxs11k,xx2 yy2 t 111t12,ks 322233tt112,2,ksks 312123123ttt1112()

28、,kkksss 1231110.kkk方法二方法二：設直線設直線ab:y-tab:y-t1 1=k=k1 1(x-s(x-s1 1),),代入橢圓代入橢圓x x2 2+2y+2y2 2=8,=8,得到得到化簡得化簡得以下同方法一以下同方法一. .222111 1111 112kx4 tk sk x2 tk s80 ，11 11121214 tk skxx2s ,12k111s1k.2 t 【方法總結【方法總結】求解定值問題的兩大途徑求解定值問題的兩大途徑(1)(1)由特例得出一個值由特例得出一個值( (此值一般就是定值此值一般就是定值)證明定值：將問題轉化為證明證明定值：將問題轉化為證明代數式

29、與參數代數式與參數( (某些變量某些變量) )無關無關(2)(2)先將式子用動點坐標或動線中的參數表示，再利用其滿足先將式子用動點坐標或動線中的參數表示，再利用其滿足的約束條件正負項抵消或分子分母約分得定值的約束條件正負項抵消或分子分母約分得定值. .【變式訓練【變式訓練】(2013(2013天津模擬天津模擬) )已知已知e(2,2)e(2,2)是拋物線是拋物線c:yc:y2 2=2px=2px上一點，經過點上一點，經過點(2,0)(2,0)的直線的直線l與拋物線與拋物線c c交于交于a a，b b兩點兩點( (不同于不同于點點e)e)，直線，直線eaea，ebeb分別交直線分別交直線x=-2

30、x=-2于點于點m m，n.n.(1)(1)求拋物線方程及其焦點坐標求拋物線方程及其焦點坐標. .(2)(2)已知已知o o為原點，求證：為原點，求證： 為定值為定值. .om on 【解析【解析】(1)(1)將將e(2,2)e(2,2)代入代入y y2 2=2px,=2px,得得p=1,p=1,所以拋物線方程為所以拋物線方程為y y2 2=2x,=2x,焦點坐標為焦點坐標為(2)(2)設設 m(xm(xm m,y,ym m),n(x),n(xn n,y,yn n).).方法一：因為直線方法一：因為直線l不經過點不經過點e e，所以直線所以直線l一定有斜率一定有斜率. .設直線設直線l方程為方

31、程為y=k(x-2),y=k(x-2),與拋物線方程聯立得到與拋物線方程聯立得到消去消去x,x,得：得：kyky2 2-2y-4k=0-2y-4k=0，則由根與系數的關系得：則由根與系數的關系得：y y1 1y y2 2=-4,y=-4,y1 1+y+y2 2= =1( ,0).2221212yya(,y ),b(,y ),222yk x2 ,y2x,2,k直線直線aeae的方程為的方程為: :即即令令x=-2,x=-2,得得y ym m= =同理可得：同理可得：y yn n= =又又 =(-2,y=(-2,ym m), =(-2,y), =(-2,yn n),),所以所以121y2y2x2

32、,y2212yx22,y2112y4,y2222y4.y2om on12mn12121212122y4 2y4om on4y y4y2y244( 44)4 y y2 yy4k440.4y y2 yy444k 方法二方法二：設直線設直線l方程為方程為x=my+2,x=my+2,與拋物線方程聯立得到與拋物線方程聯立得到消去消去x,x,得得:y:y2 2-2my-4=0.-2my-4=0.則由根與系數的關系得：則由根與系數的關系得：y y1 1y y2 2=-4,y=-4,y1 1+y+y2 2=2m,=2m,直線直線aeae的方程為的方程為: :即即 (x-2)+2, (x-2)+2,令令x=-2

33、,x=-2,得得2xmy2,y2x,121y2y2x2 ,y2212yy21m12y4y,y2同理可得同理可得：又又 =(-2,y=(-2,ym m), =(-2,y), =(-2,yn n),), =4+y =4+ym my yn n=4+=4+2n22y4yy2om onom on 12124 y2y2y2 (y2)121212124 y y2 yy44y y2 yy4444m440.44m4 熱點考向熱點考向 3 3 與圓錐曲線有關的最值與圓錐曲線有關的最值( (范圍范圍) )問題問題【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013廈門模擬廈門模擬) )已知直線已知直線l1 1:4x

34、-3y+6=0:4x-3y+6=0和直線和直線l2 2:x=-1:x=-1，拋物線，拋物線y y2 2=4x=4x上一動點上一動點p p到直線到直線l1 1和直線和直線l2 2的距離之和的距離之和的最小值是的最小值是_._.(2)(2013(2)(2013昆明模擬昆明模擬) )直線直線y=kx-2y=kx-2與橢圓與橢圓 相交于相交于a a，b b兩點，兩點，o o為原點，在為原點，在oaoa，obob上分別存在異于上分別存在異于o o點的點的m m，n n，使得，使得o o在以在以mnmn為直徑的圓外，則直線斜率為直徑的圓外，則直線斜率k k的取值范圍為的取值范圍為_._.22xy143(3

35、)(2013(3)(2013徐州模擬徐州模擬) )如圖，在平面直角坐標系如圖，在平面直角坐標系xoyxoy中，已知橢中，已知橢圓圓e: (ab0)e: (ab0)的離心率的離心率 a a1 1,a,a2 2分別是橢圓分別是橢圓e e的的左、右兩個頂點，圓左、右兩個頂點，圓a a2 2的半徑為的半徑為a a，過點，過點a a1 1作圓作圓a a2 2的切線，切點的切線，切點為為p p，在，在x x軸的上方交橢圓軸的上方交橢圓e e于點于點q.q.求直線求直線opop的方程的方程. .求求 的值的值. .設設a a為常數，過點為常數，過點o o作兩條互相垂直作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓的直線，

36、分別交橢圓e e于點于點b b，c c，分別，分別交圓交圓a a2 2于點于點m m，n n，記，記obcobc和和omnomn的面的面積分別為積分別為s s1 1,s,s2 2, ,求求s s1 1ss2 2的最大值的最大值. .2222xy1ab3e,21pqqa【解題探究【解題探究】(1)(1)關鍵：將動點關鍵：將動點p p到直線到直線l2 2:x=-1:x=-1的距離，轉化為動點的距離，轉化為動點p p到拋物到拋物線焦點線焦點f f_的距離，進而數形結合知，當點的距離，進而數形結合知，當點f f，p p及及p p在直在直線線l1 1上的射影三點上的射影三點_時，和最小時，和最小. .(

37、2)(2)關鍵：根據關鍵：根據_構建關于構建關于k k的不等式求解的不等式求解. .(3)(3)aa2 2op= op= _, ,x xp p= =_,x,xq q= =_, , _. .求最大值的三個步驟：求最大值的三個步驟：( () )引入變量：設直線引入變量：設直線omom的方程為的方程為_(1(1，0)0)共線共線o o在以在以mnmn為直徑的圓外為直徑的圓外6060a2a71pqqa1pqqaxxxxy=kx(ky=kx(k0)0)( () )構建函數：構建函數：s s1 1s s2 2= = _( () )求最值：根據求最值：根據s s1 1s s2 2的結構特征，應選擇用什么方法

38、求其的結構特征，應選擇用什么方法求其最值？最值？提示：提示：應分子、分母同除以應分子、分母同除以k k后，用基本不等式法求最值后，用基本不等式法求最值. .【解析【解析】(1)(1)如圖，因為拋物線的方程為如圖，因為拋物線的方程為y y2 2=4x=4x，所以焦點坐標所以焦點坐標f(1,0)f(1,0)，準線方程為，準線方程為x=-1.x=-1.所以設所以設p p到準線的距離為到準線的距離為pb,pb,422a k14k(4k )則則pb=pf.ppb=pf.p到直線到直線l1 1:4x-3y+6=0:4x-3y+6=0的距離為的距離為papa，所以所以pa+pb=pa+pffd,pa+pb=

39、pa+pffd,其中其中fdfd為焦點到直線為焦點到直線4x-3y+6=04x-3y+6=0的距離，的距離，所以所以所以距離之和最小值是所以距離之和最小值是2.2.答案：答案：2 22240610fd2,534(2)(2)聯立方程組聯立方程組消去消去y y整理得整理得(4k(4k2 2+3)x+3)x2 2-16kx+4=0,-16kx+4=0,因為直線與橢圓有兩個交點，因為直線與橢圓有兩個交點，所以所以=(-16k)=(-16k)2 2-16(4k-16(4k2 2+3)0,+3)0,解得解得 因為原點因為原點o o在以在以mnmn為直徑的圓外，為直徑的圓外，所以所以monmon為銳角，即為

40、銳角，即 0,0,而而m m，n n分別在分別在oaoa，obob上且異于上且異于o o點，點，22ykx2,xy143，21k4om on 即即 0.0.設設a a，b b兩點坐標分別為兩點坐標分別為a(xa(x1 1,y,y1 1),b(x),b(x2 2,y,y2 2),), =(x =(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2,y,y2 2)=x)=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=(k=(k2 2+1)x+1)x1 1x x2 2- -2k(x2k(x1 1+x+x2 2)+4=(k)+4=(k2 2+1)+1)解得解得 綜合綜合可知：可知：kk答案：答案：oa ob

41、 oa ob 22416k2k40,4k34k324k,32 311 2 3(,)( ,).32232 311 2 3(,)( ,)3223(3)(3)連結連結a a2 2p,p,則則a a2 2papa1 1p,p,且且a a2 2p=a,p=a,又又a a1 1a a2 2=2a,=2a,所以所以a a1 1a a2 2p=60p=60. .所以所以a a2 2op=60op=60，所以直線所以直線opop的方程為的方程為y= x.y= x.由由知，直線知，直線a a2 2p p的方程為的方程為y=- (x-a),y=- (x-a),a a1 1p p的方程為的方程為聯立解得聯立解得x x

42、p p= = 因為因為 所以所以故橢圓故橢圓e e的方程為的方程為333yxa ,3a,23c3e,2a2即222231ca ,ba ,442222x4y1.aa所以所以q22223yxa ,a3x.7x4y1,aa 由解得1aa()pq327.aqa4a7 不妨設不妨設omom的方程為的方程為y=kx(ky=kx(k0),0),聯立方程組聯立方程組22222222ykx,aakb(,),x4y1,14k14kaa1koba.14k解得所以用用 代替上面的代替上面的k k，得，得同理可得，同理可得，所以所以s s1 1s s2 2= = obobococomomonon=a=a4 4因為因為當

43、且僅當當且僅當k=1k=1時等號成立，所以時等號成立，所以s s1 1s s2 2的最大值為的最大值為1k221koca.4k222a2akom,on,1k1k1422k.14k4k2222k11,1514k4k4(k)17k4a.5【方法總結【方法總結】1.1.與圓錐曲線有關最值的兩種解法與圓錐曲線有關最值的兩種解法(1)(1)數形結合法：根據待求值的幾何意義，充分利用平面圖形數形結合法：根據待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質求解的幾何性質求解. .(2)(2)構建函數法構建函數法: :先引入變量，構建以待求量為因變量的函數，先引入變量，構建以待求量為因變量的函數，再求其最值，常用

44、基本不等式或導數法求最值再求其最值，常用基本不等式或導數法求最值. .2.2.與圓錐曲線有關的取值范圍問題的三種解法與圓錐曲線有關的取值范圍問題的三種解法(1)(1)數形結合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數形結合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數形結合求解數形結合求解. .(2)(2)構建不等式法：利用已知或隱含的不等關系，構建以待求構建不等式法：利用已知或隱含的不等關系，構建以待求量為元的不等式求解量為元的不等式求解. .(3)(3)構建函數法：先引入變量構建以待求量為因變量的函數，構建函數法：先引入變量構建以待求量為因變量的函數，再求其值域再求其值域. .【變式訓練【

45、變式訓練】(2013(2013長春模擬長春模擬) )已知橢圓已知橢圓c c的方程為的方程為(ab0)(ab0)，其離心率為，其離心率為 經過橢圓焦點且垂直于長軸的弦長為經過橢圓焦點且垂直于長軸的弦長為3.3.(1)(1)求橢圓求橢圓c c的方程的方程. .(2)(2)設直線設直線l:y:y=kx+m(|k| )=kx+m(|k| )與橢圓與橢圓c c交于交于a a，b b兩點，兩點，p p為橢圓為橢圓上的點，上的點，o o為坐標原點，且滿足為坐標原點，且滿足 求求 的取值的取值范圍范圍. .2222xy1ab12，12opoaob ，|op| 【解析【解析】(1)(1)由已知可得由已知可得所以

46、所以3a3a2 2=4b=4b2 2. .又又解之得解之得a a2 2=4,b=4,b2 2=3.=3.故橢圓故橢圓c c的方程為的方程為2222ab1e,a42b3,a222xy1.43(2)(2) 消消y y化簡整理得：化簡整理得：(3+4k(3+4k2 2)x)x2 2+8kmx+4m+8kmx+4m2 2-12=0,-12=0,=64k=64k2 2m m2 2-4(3+4k-4(3+4k2 2)(4m)(4m2 2-12)=48(3+4k-12)=48(3+4k2 2-m-m2 2)0)0設設a a，b b，p p點的坐標分別為點的坐標分別為(x(x1 1,y,y1 1),(x),(

47、x2 2,y,y2 2),(x),(x0 0,y,y0 0),),則則x x0 0=x=x1 1+x+x2 2= =y y0 0=y=y1 1+y+y2 2=k(x=k(x1 1+x+x2 2)+2m=)+2m=由于點由于點p p在橢圓在橢圓c c上，所以上，所以從而從而22ykxm,xy1,43由28km,34k26m.34k2200 xy1.43222222216k m12m1,34k34k化簡得化簡得4m4m2 2=3+4k=3+4k2 2, ,經檢驗滿足經檢驗滿足式式. .又又因為因為 得得34k34k2 2+34,+34,有有故故2222222002222224m16k964k m3

48、6mopxy34k34k34k 22216k934.4k34k31k,22331,44k3133op.2 轉化與化歸思想轉化與化歸思想 解決圓錐曲線中的定點、定值與最值問題解決圓錐曲線中的定點、定值與最值問題【思想詮釋【思想詮釋】1.1.主要類型：主要類型：(1)(1)動直線、曲線過定點問題的求解，轉化為含動直線、曲線過定點問題的求解，轉化為含參數二元一次或二次方程恒成立問題參數二元一次或二次方程恒成立問題.(2).(2)與動點、動線有關式與動點、動線有關式子為定值問題的求證，轉化為代數式的表示、化簡、求值問子為定值問題的求證，轉化為代數式的表示、化簡、求值問題題.(3).(3)與圓錐曲線有關

49、的最值問題的求解，轉化成函數的最值與圓錐曲線有關的最值問題的求解，轉化成函數的最值問題求解問題求解. .2.2.解題思路：常常引入適量的參變量解題思路：常常引入適量的參變量( (如動點坐標、動直線斜如動點坐標、動直線斜率等率等) )，根據題設條件，構建方程、不等式或函數，將幾何問，根據題設條件，構建方程、不等式或函數，將幾何問題轉化為方程恒成立或代數式的化簡及函數的最值、不等式的題轉化為方程恒成立或代數式的化簡及函數的最值、不等式的求解等問題求解求解等問題求解. .3.3.注意事項：注意事項：(1)(1)恰當引入參變量，搞清量與量間的關系，將恰當引入參變量，搞清量與量間的關系，將幾何問題代數化

50、幾何問題代數化. .(2)(2)對一些參變量若取值情況不明確對一些參變量若取值情況不明確( (如斜率如斜率) )要準確分類討論要準確分類討論. .【典例【典例】(16(16分分)(2013)(2013廣州模擬廣州模擬) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xoyxoy中，動點中，動點p p在橢在橢圓圓c c1 1: +y: +y2 2=1=1上，動點上，動點q q是動圓是動圓c c2 2:x:x2 2+y+y2 2=r=r2 2(1r2)(1r2)上一點上一點. .(1)(1)設橢圓設橢圓c c1 1上的三點上的三點a(xa(x1 1,y,y1 1), c(x), c(x2 2,y,y2 2)

51、)與點與點f(1,0)f(1,0)的距離依次成等差數列，線段的距離依次成等差數列，線段acac的垂直平分線是否經過一個定的垂直平分線是否經過一個定點？說明理由點？說明理由. .(2)(2)若直線若直線pqpq與橢圓與橢圓c c1 1和動圓和動圓c c2 2均只有一個公共點，求均只有一個公共點，求p,qp,q兩點兩點的距離的距離pqpq的最大值的最大值. .2x22b(1,2) ，【審題【審題】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切入點：求線段切入點：求線段acac的中點、斜率，進而確定線段的中點、斜率，進而確定線段acac的垂直的垂直平分線的方程平分線的方程. .關注點：用好線段關

52、注點：用好線段acac的垂直平分線的垂直平分線. .(2)(2)切入點：引入參變量，將切入點：引入參變量，將pqpq用參變量表示用參變量表示. .關注點：直線關注點：直線pqpq的斜率不明確，需說明存在情況的斜率不明確，需說明存在情況. .【解題【解題】規范步驟，水到渠成規范步驟，水到渠成(1)(1)橢圓橢圓c c1 1: : 的離心率的離心率 右焦點為右焦點為(1,0)(1,0)，由題，由題意可得意可得因為因為2bf=af+cf,2bf=af+cf,所以所以即得即得x x1 1+x+x2 2=2.=2.3 3分分因為因為a,ca,c在橢圓上，故有在橢圓上，故有兩式相減，整理得：兩式相減，整理

53、得： 5 5分分22xy122e2，12222af2x,bf2 1 ,cf2x.222122222x2x22 1 ,22222221212xxy1,y1,222121ac2121yyxxkxx2(yy ) 211.yy 設線段設線段acac的中點為的中點為(m,n(m,n),),而而所以與直線所以與直線acac垂直的直線斜率為垂直的直線斜率為k=yk=y2 2+y+y1 1=2n.=2n.則線段則線段acac的垂直平分線的方程為的垂直平分線的方程為y-ny-n=2n(x-1)=2n(x-1), ,即即y=n(2x-1)y=n(2x-1)經過定點經過定點 7 7分分(2)(2)依題意得，依題意得，直線直線pqpq的斜率顯然存在，設方程為的斜率顯然存在，設方程為y=kx+ty=kx+t, ,設設p(xp(x1 1,y,y1 1),q(x),q(x2 2,y,y2 2),),由于直線由于直線pqpq與橢圓與橢圓c c1 1相切，點相切，點p p為切點，為切點，從而有從而有1212xxyym1,n,221( ,0).2112211ykxt,xy12 ，得得(2k(2k2 2+1)x+1)x1 12 2+4ktx+4ktx1 1+2(t+2(t2 2-