1、拋 物 線 的 簡 單 幾 何 性 質葉雙能一. 教學目標：1. 掌握拋物線的簡單幾何性質2. 能夠熟練運用性質解題3. 掌握直線與拋物線的位置關系的判斷方法和弦長問題4. 進一步理解用代數法研究幾何性質的優越性，感受坐標法和數形結合的基本思想.二. 教學重難點：重點：拋物線的幾何性質難點：拋物線幾何性質的運用.易錯點：直線與拋物線方程聯立時，要討論二次項系數是否為零.三. 教學過程(一)復習回顧：(1 )拋物線y=aX( aO)的焦點坐標是；準線方程(2) 頂點在在原點，焦點在坐標軸上的拋物線過點M(1,4)，則拋物線的標準方程為.過點M 2,0作斜率為1的直線I，交拋物線y2 =4x于A,

2、 B兩點， 求 | AB |(二)典例分析：例1.已知拋物線y? =4x,直線I過定點P -2,1，斜率為k. k為何值時， 直線I與拋物線y2 =4x :只有一個公共點；有兩個公共點；沒有 公共點？設計意圖：（1）類比直線與雙曲線的位置關系的處理方法，解決直線 與拋物線的位置關系.（2）掌握直線與拋物線的位置關系的判斷方法；（3）培養學生的運算推理能力和分類討論的數學思想.變式1 :已知拋物線方程y2 =4x，當b為何值時，直線I : y = x b與拋 物線（1）只有一個交點；（2）有兩個公共點；（3）沒有公共 點；（4）當直線與拋物線有公共點時，b的最大值是多少？ 例2：過點Q 4,1作

3、拋物線y2 =8x的弦AB，恰好被點Q所平分.（1）求AB所在的直線方程；（2）求| AB|的長.變式1：斜率為1的直線I經過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線相交于A B兩點，求線段AB的長.（教材69頁例4）方法（一）方程聯立-'求交點坐標-八根據兩點間距離公式方法（二）方程聯立> 根據韋達定理求X1+X2、運用弦長公式方法（三）（數形結合）方程聯立> 根據韋達定理求X1+X2>運用焦點弦公式拓展：標準方程對應的焦點弦公式：（1）焦點在 x 軸上:AB|=x |+x2|+P（2）焦點在 y 軸上:|AB|=|y1 |+|y2|+p（由焦半徑公式推導而來）變式2：

4、已知拋物線y2 - -x與直線y =k（x 1）相交于兩點。(1) 求證：0A_ OB ；(2) 當OAB的面積等于.10時，求k的值(J )6(本題主要要熟悉，三角形面積的常見表示方法(1) 分解成兩個共底的三角形的面積之和)(2) 利用底乘高的一半公式)變式3：已知拋物線C: y2 =2x.(1).若直線y二kx k l與曲線C只有一個交點，求實數k的取值范圍.(2) .求過點P 0,1且與拋物線C只有一個公共點的直線方程.(3) .過點A 1,1作拋物線C弦AB，恰好被點A所平分，求AB的直線方程和弦| AB |的長.(Z "嚴卜2) x=0或心或y舟+1);(3)0, 2x,

5、例3.過拋物線y2=2px的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(xy1 ), B(X2, y2)(1).求證:22Py2 二p 樸2 :4(2).求證AB =人+X2 +p =丄臭(日為直線的傾斜角)sin °(3).求證:1FA1FB(4).求證 A1FB1 =90°(5).求證：以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.求證：以AF (或BF)為直徑的圓與y軸相切(7) .求證：點A O B1三點共線.(8) .若 AF=a, BF|=b , M是 A1,B1 的中點，求證 MF| =血，變式練習：若拋物線的方程為x=2py，則能得到什么結論？例4 .已知拋物線C : y2 =

6、4x .(1) 在拋物線C上求一點P,使得點P到直線y = x 3的距離最短.(2) 在拋物線C上求一點P,使得點P到點A 3,0的距離最近，并求 最近的距離.(3) 若點A的坐標為1,1 ,在拋物線C上求一點P使得|PF | |PA |最 小,并求最小值.(4) 若點A的坐標為1,4，在拋物線C上找一點P使得|PF | |PA|最 小,并求最小值.(5) 在拋物線C上求一點P,使得點P到點A 0,2距離與P到準線 的距離之和最小，并求最小的值.(6 )求下列函數的最值.(1) zz 二 x - yx +2(7)過拋物線C的焦點F,做互相垂直的兩條焦點弦 AB和CD求| AB| |CD |的最

7、小值.變式1:過拋物線y2=4ax(a 0)的焦點F,做互相垂直的兩條焦點弦 AB和CD求| AB | | CD |的最小值.變式2:過定點M(4,0)作直線L,交拋物線y2 =4x于A B兩點，F是 拋物線的焦點，求 AFB的面積的最小值。變式3:已知拋物線C: y2=4x的焦點為F,過點F的直線L與C相交于A B兩點。(1)若AB = 6，求直線L的方程。(2)求AB的最小值。3例5.已知拋物線y過拋物線y2=8x的焦點作直線交拋物線于AgyJBgy)兩點，如果 X1 +X2 =6，貝y | AB| =. 已知拋物線y2px(p 0)的焦點為 F ,點 P( x1 )%(卩2 ) X必)在

8、拋物線上，且X1RX3成等差數列，則 有( ) =2px(p 0)的動弦AB恒過定點M(2p,0)，求證:koA.koB變式1:若直線L與拋物線y2 = 2px(p 0)交于A、B兩點，且OALOB，:求證：直線L過定點變式2:如圖所示，F是拋物線y2=2px(p 0)的焦點，點A 4,2為拋物 線內一定點，點P為拋物線上一動點，且|PA| |PB|的最小值 為8.(1) 求拋物線的方程；(2) 若O為坐標原點，問是否存在點 M使過點M的動直線 與拋物線交于B,C兩點，且 OB.OC=0，若存在，求出 定點M的坐標；若不存在，請說明理由.三.練習反饋：1.拋物線y2 =12x上與焦點的距離等于

9、9的點的坐標為A. | FR | |FP2| FP3IB.|FR |2 - IFP2JFP3I2C.2|FP2 H FP31 | FP1 |D.|FP2|2=|FP3|.| FPil4 . 一個正三角形的三個頂點，都在拋物線y2=4x上，其中一個頂點為坐標原點，求這個三角形的面積5. 直線y=x_2與拋物線y2 =2x相交于代B兩點，求證：OA_OB6. 已知直線與拋物線y2=2px(p 0)交于A,B兩點,OA_OB,且0D _ AB并交AB于點D,點D的坐標為 2,1 ,求p的值.7. 設直線y =2x b與拋物線y2 =4x交于A,B兩點，已知弦|AB|=3 5 ,點P為拋物線上一點，S.PAB =30,求點P的坐標(16,8 , 9,-6 )8. 過拋物線y2 =2px(p 0)焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D,求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.第2題 9 (05北京)如圖，O為坐標原點，過點.P 2,0，且斜率為k的直線I交拋物線y2 =2x于M %畀，N兩點.(1)寫出直線I的方程；(2)求a與y2的值；(3)求證OM_ON10. 已知直線l :y二x b與拋物線y2二2x相交于兩點A、B