1、切線的性質和判定切線的性質和判定 下雨天轉動雨傘時飛出的水，以及在砂輪上打磨工件飛出的火星，下雨天轉動雨傘時飛出的水，以及在砂輪上打磨工件飛出的火星，均沿著圓的切線的方向飛出均沿著圓的切線的方向飛出 1 當你在下雨天快速轉動雨傘時水飛出的方向是什當你在下雨天快速轉動雨傘時水飛出的方向是什么方向？么方向？2 2 砂輪打磨零件飛出火星的方向是什么方向？砂輪打磨零件飛出火星的方向是什么方向？情景導入 經過半徑的外端且垂于這條半徑的直線是圓的切線。 條件：(1)經過半徑的外端；圓的切線判定定理：(2)垂直于過該點半徑； oalloa，且l 經過o上 的a a點直線l是o的切線符號語言表達說明：在此定理

2、中，題設是“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，結論為“直線是圓的切線”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線，下面兩個反例說明只滿足其中一個條件的直線不是圓的切線：定理辨析1 1、如何判定一條直線是已知圓的切線？、如何判定一條直線是已知圓的切線？(1)(1)與圓與圓只有一個公共點只有一個公共點的直線是圓的切線；的直線是圓的切線；(2)(2)到圓心的到圓心的距離等于半徑距離等于半徑的直線是圓的的直線是圓的切線；切線；(3)(3)過半徑外端點且和半徑垂直的過半徑外端點且和半徑垂直的直線直線是圓的切線；是圓的切線；(d=r)(d=r)歸納：ocba這種證明方法簡記為：這種證明方法簡記為：“證切線

3、，證切線，連半徑，證垂垂直連半徑，證垂垂直”注意：使用此方法時必須已使用此方法時必須已知直線與圓有一公共點。知直線與圓有一公共點。練習1、如圖4，ab是o的直徑，abc=45，ac=ab，ac是o的切線嗎？為什么？ baco解：ab=ac acb=abc=450 bac=900 即abac ab是 o的直徑 ac是 o的切線變式練習練習2、如圖:線段ab經過圓心o，交 o于點a、c，bad=b = 30，邊bd交圓于點d。bd是 o的切線嗎？為什么？ aobcd解：bd是 o的切線連接od od=oa oda=bad=b=300 bod=600 odb=900 即： oddb bd是 o的切線

4、變式練習證明：連結證明：連結opop。 ob=oaob=oa， bp=pcbp=pc， opacopac。 又又 peacpeac， peoppeop。 pepe為為0 0的切線。的切線。變式練習證明：過證明：過o o作作oeacoeac于于e e。 ao ao平分平分bacbac，odabodab oe oeodod od od是是o o的半徑的半徑 ac ac是是o o的切線。的切線。例例1 1與例與例2 2的證法有何不同的證法有何不同? ? (1) (1)如果已知直線經過圓上一點如果已知直線經過圓上一點, ,則連結這點和圓心則連結這點和圓心, ,得到輔助半得到輔助半徑徑, ,再證所作半徑

5、與這直線垂直。簡記為：再證所作半徑與這直線垂直。簡記為：連半徑連半徑, ,證垂直證垂直。 (2)(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點, ,則過圓心作直則過圓心作直線的垂線段為輔助線線的垂線段為輔助線, ,再證垂線段長等于半徑長。簡記為：再證垂線段長等于半徑長。簡記為：作垂直作垂直, ,證半徑證半徑。直線直線l是是 o的切的切線，線，a是切點。是切點。 loa于于a點點簡記為：簡記為：“知切線，連半徑，得垂直知切線，連半徑，得垂直”探索切線性質探索切線性質假設假設abab與與cdcd不垂直不垂直, ,過點過點o o作一條直徑垂直于作一條直徑垂直于cd

6、,cd,垂足為垂足為m,m,則則omoa,omoa,即圓心到直線即圓心到直線cdcd的距離的距離小于小于o o的半徑的半徑, ,因此因此,cd,cd與與o o相相交交. .這與已知條件這與已知條件“直線與直線與o o相相切切”相矛盾相矛盾. .cdboa所以所以abab與與cdcd垂直垂直. .m例3如圖，ab是 o的直徑, c為 o上一點，ad和過點c的切線互相垂直，垂足為d. 求證：ac平分dabaodcb證明：連接occd 是 o的切線，occd.又adcd , oc/ad.aco cad .又oc=od, cao aco cad cao ,故ac平分dab1， 如圖：ac是 o的切線，

7、b=600。求cad=bacodaocb 2，如圖：以o為圓心的同心圓，大圓的弦ab是小圓的切線，c是切點，求證：c是ab的中點。 已知如圖，abc為等腰三角形，o是底邊bc的中點， o與腰ab相切于點d。ac與 o相切嗎？為什么?e解：ac與 o相切 連接od,作oeac oec=900 ab是 o的切線odab, odb=900=oec ab=ac b=c o是bc的中點ob=oc obd oce od=oe ac與 o相切1. 1. 判定切線的方法有哪些？直線直線l 與圓有唯一公共點與圓有唯一公共點與圓心的距離等于圓的半徑與圓心的距離等于圓的半徑經過半徑外端且垂直這條半徑經過半徑外端且垂

8、直這條半徑l是圓的切線是圓的切線2. 2. 常用的添輔助線方法？ 直線與圓的公共點已知時，作出過公共點的半徑，直線與圓的公共點已知時，作出過公共點的半徑，再證半徑垂直于該直線。（再證半徑垂直于該直線。（連半徑，證垂直連半徑，證垂直） 直線與圓的公共點不確定時，過圓心作直線的垂線直線與圓的公共點不確定時，過圓心作直線的垂線段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。（段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。（作垂直，證半徑作垂直，證半徑）l是圓的切線是圓的切線l是圓的切線是圓的切線3. 3. 圓的切線性質定理：圓的切線垂直于圓的半徑。圓的切線性質定理：圓的切線垂直于圓的半徑。輔助線作法：連接圓心與切點可得半徑與

9、切線垂直。即“連半徑，得垂直”。1.切線和圓只有一個公共點.2.切線和圓心的距離等于半徑.3.切線垂直于過切點的半徑.4.經過圓心垂直于切線的直線必過切點.5.經過切點垂直于切線的直線必過圓心.切線的性質、可歸納為:已知直線滿足a.過圓心,b.過切點,c.垂直于切線中任意兩個,便得到第三個結論.總結： 已知直角梯形 abcd 中，adbc，abbc，以腰dc的中點 e 為圓心的圓與 ab 相切，梯形的上底 ad 與底 bc 是方程 x 210 x + 16 = 0 的兩根，求 e 的半徑 r .f解解：連接efx 210 x + 16 = 0(x-2)(x-8)=0x1=2 x2=8bc=8

10、ad=2ab是 o的切線efababbcef/bc/ade是dc的中點 ef是梯形abcd的中位線ef= (ad+bc)=521切線的性質定理的應用切線的性質定理的應用例例. .已知已知rtrtabcabc的斜邊的斜邊ab=8cm,ab=8cm,直角邊直角邊ac=4cm.ac=4cm.以點以點c c為圓心作圓為圓心作圓, ,當半徑為多長當半徑為多長時時,ab,ab與與c c相切相切解解:(1):(1)過點過點c c作作cdabcdab于于d.d.ab=8cm,ac=4cm.ab=8cm,ac=4cm.a=60a=60因此因此, ,當半徑長為當半徑長為 cmcm時時,ab,ab與與c c相切相切. .32bacb=30b=30d 練一練練一練鞏固練習2、矩形的兩邊長分別為2.5和5，若以較長一邊為直徑作半圓，則矩形的各邊與半圓相切的線段最多有（ ）a、0條 b、 1條 c、 2條 d、 3條d3 3、已知如圖、已知如圖abcabc內接于內接于 o，過點，過點a a作直線作直線efef，abab為直為直徑徑, ,還需添加的條件是還需添加的條件是.