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文檔簡介

1、專題:數列中公共項問題的研究數列中公共項問題的研究 一、問題提出問題 1 : ( 1)兩個集合 A 3,0,3,6,L a 和 B 15,19,23,27,L 山。0 都 各有100個元素,且每個集合中元素從小到大都組成等 差數列,則集合AI B中元素的最大值是多少?(2)若將AI B中元素按從小到大的順序排列成數列Cn,試求數列Cn的通項公式.Cn 12n 3問題2:若數列an的通項公式為an駕3,數列bn的通項 公式為bn3n 5 .4設集合 A x|x 2an, n N* , B y|y 4bn,n N* 若等差數列q任 一項cn AI B,C1是AI B中的最大數,且265125 ,求

2、cn的通項公式.對任意 n N* , 2an2n 3,4bn12n 52(6n 1) 3 ,° B A ,° AI B BT C1是AI B中的最大數, Cl17,設等差數列cn的公差為d,則26517 9d 125,即27舟d 12,又4b”是一個以12為公差等差數列,d12k(k N ), d24,cn 7 24n、思考探究bn的通項公式為b若將數列an , bn中相同的項按從探究1 :已知數列an的通項公式為an 7n 2,數列小到大的順序排列后看作數列Cn,(1)求C9的值;961 (2)求數列Cn的通項公式.解:設7n 2 m2,考察m模7的余數問題;若 m 7k

3、 6,7k 5,7k 4,7k 3,7k 2,7k 1,7k 時經驗證可得: 當m 7k 4,7k 3時,存在滿足條件的n存在故Cn中的項目依次為:b3 ,b4, bio , bn , b17 , b18 , b24 , b25 , b312 _1, n為奇數可求得數列 Cn的通項公式為:Cn 2 2互蘭,n為偶數23n 19,探究2:已知數列an和bn的通項公式分別為anbn 2n .將an與bn中的公共項按照從小到大的順序排列構成一個新數列記為Cn.5C3b5a172 ,C4b7a4827,1m 1mm .3( 1)6( 1)1當m為奇數時,n有整數解,2n 1Cnb2n 12(1)試寫出

4、Ci , C2 , c , C4的值,并由此歸納數列Cn的通 項公式;(2)證明你在(1)所猜想的結論.解:(1 ) C1 bi a72n 6 cm3m cm3m1( 1)1 c;3m 2( 1)2 l cm n 6, C2 b3 a92,由此歸納:Cn 22n1.(2)由an bm,得n寧專mn 6,由二項式定理得類型:(1)兩個等差數列取交集數列問題(方法:公式法)隔二差五冋題(2)個等差數列和一個指數數列取交集數列問題(方法:余數分析法)(3) 個等差數列和一個二次型數列取交集數列問題(方法:二項式定理)探究3:已知數列Xn和yn的通項公式分別是Xn= a°和yn=(a+ 1)

5、n+ b(n N*).(1)當 a= 3, b= 5 時, 試問X2, X4分別是數列yn中的第幾項? 記Cn = xn,若Ck是數列yn中的第m項(k,N*),試問ck+1是數列yn中的第幾項?請說明理由;2,(2)對給定自然數a>2試問是否存在b 1, 使得數列xn和yn有公共項?若存在,求出b的值及相 應的公共項組成的數列zn;若不存在,說明理由.解(1)由條件可得xn= 3n, yn= 4n + 5.yn令X2= 9= ym = 4m + 5?得m= 1,故X2是數列 中的第1項.yn令 X4= 81 = yk = 4k + 5,得 k = 19,故 X4是數列中的第19項.(2

6、分)由題意知,Cn = 32n ,由Ck為數列yn中的第m項,則有32k = 4m + 5 那么 Ck+1 = 32(k+1) = 9X32k = 9 X(4m + 5)= 36m + 45=4(9m+ 10)+ 5,因9m + 10 N*,所以Ck +1是數列yn中的第9m +10項.(8分)(2)設在1, 2上存在實數b使得數列Xn和yn有公共項,as一 b即存在正整數s, t使as= (a+ 1)t + b,t= a+ 1 , 因自然數a>2 s, t為正整數,as b能被a+ 1整除.as b a當s=1時石<話?N*,=-1 + ( a) + (當s= 2n(n N*)時

7、,當b= 1時, as b _ a2n 1 _1 a2na+ 1 a+ 1 1 aa)2+ + ( a)2 n1=(a 1)1 + a2 + a4 + + a2n2 N*,即 as b 能被1整除.此時數列Xn和yn有公共項組成的數列Zn;顯然,當b= 2時,即as b不能被=壬=I?n*a+1 a+1 a+1 a+1''a+ 1整除.當 s = 2n + 1(n N*)時,t =2n 1aa 1除,“2n 12n 1.1 a a a b a a a b-na 1 a 1 由知,a2n1能被a+ 1整除,若 a> 2,則 a b (0 ,a 1),故此時 t?N*,若a=

8、 2,當且僅當b= a= 2時,a b能被a+ 此時t N*,此時數列Xn和yn有公共項組成的數列znXn,zn綜上所述,a = 2時,存在b=1或b=2?使得數列和yn有公共項組成的數列Zn,且當b= 1時,數列Zn = 4n(n N*);當b= 2時 22n+ 1(n N*);a>2時,存在b=1,使得數列xn和yn有公共項組 成的數列Zn,數列 zn = a2n(n N*). (16 分)【搶分秘訣】1 求解數列的通項公式時,應該先根 據已知條件確定數列的性質,然后通過條件的靈活變形 構造或者直接轉化為等差、等比數列的通項公式問題進 行求解,所以要熟練掌握等差、等比數列的定義及其性

9、 質,才能簡化運算過程.2數列求和問題的關鍵是數列通項公式的求解,數列求和的方法取決于其通項公式的形式,基本思路是將 其轉化為等差、等比數列的求和問題進行求解.探究4:設數列an的通項公式為an 2n 1,數列bn 的通項公式為bn = 3n 2 .集合A=x I x = an,n N*,B = x I x = bn,n N*.將集合AUB中的元素從小到大依次排列,構成數列C1,02,03,則Cn的通項公式為 解:因為 a3k 2 2(3k 2) 1 6k 5, ask 1 2(3k 1) 1 6k 3a3k2 3k 16k 1 ; b2k 13(2k1) 26k5a3k 2b2k3 2k 2

10、6k 2 A所以a3k 2b2k 1a3k 1b2ka3kk 1,2,3,即當n4k3(kN )時,Cn6k5 ;當n4k2(k N )Cn6k3,當n 4k1(kN)時,Cn6k2,當n4k(kN )時,Cn6k1三、反思提升四、反饋檢測所以Cn的通項公式是C即:3n 1,n 2k 1 23n,n 4k 2 23n 2.,n 4k21.已知數列an,(1)求證:數列a.(2)數列an中,6k 5,n 4k 36k 3,n 4k 26k 2,n 4k 16k 1,n 4kqn(p 0,q0, p q, R, 0,nN*).pan為等比數列;是否存在連續的三項,這三項構成等比數列?試說明理由;(

11、3 )設 A (n,bn)|bn 3n kn,n N*,其中 k 為常數,且 kB (n,Cn)|Cn 5n,n N*,求 AI Bnnn 1n 1nqn)qn(q p)用牛丿an = p q ,an 1 pan p q p(p0,q 0, p q 二 an 2pan 1an 1panq為常數數列a1 pan為等比匕數q)2,取數列an的連續三項an, an 1,an 2(n 1,n N ),2n1n 1、2nnn2n2nnan 1 anan 2 (p q ) (p q )(p q ) pq(PQ p 0,q 0, p q, 0 ,°pnqn(p q)2 0,即 a; 1 a.an

12、2 ,數列an中不存在連續三項構成等比數列;當k 1時,3時,3nknkn 3n 1 5n,此時 BI C ;3n 3n 2 3n為偶數;而5n為奇數,此時BI C5時,3nkn5n,此時 BI C ;122時,(即只有5n,發現n 1 n 1符合要求)。3n 2符合要求,下面證明唯一性由 3n 2n5n 得(3)n (2)n551,設 f(x) (|)x5(2)x,則 f(x)5(3)x (5)x是R上的減函數,55f(x)BI C (2,25);解只有一個從而當且僅當n1時(黔(討1,即3"2 5,此時BI C (1,5);當k 4時,3n 4n 5n,發現n 2符合要求,下面同

13、理可證明 唯一性(即只有n 2符合要求)從而當且僅當n 2時(3)n (4)n 1 ,即3n 4n 5n ,此時55綜上,當k 1 , k 3或k 5時,BIC當 k 2時,BI C (1,5),當k 4時,BI C (2,25)。16分2.設數列an的各項都是正數,且對任意n N*都有a13an+ a23 + a33+ an3= Sn2+ 2Sn,其中 Sn 為數列的前n項和.(1) 求 ai, a2;(2) 求數列an的通項公式;,試找出所有即在數列Sn + 32an(3) bn =Sn, Cn = 2日-1 + abn中又在數列Cn中的項.2ai,解:(1)令 n = 1,則 a13=

14、S13 + 2S1,即 aF= a* + 所以 a1 = 2 或 a1 = 1 或 a1= 0.又因為數列an的各項都是正數,所以a1 = 2.令 n = 2,則 a13 + a23= S22 + 2S2,即 a13+ a23= (a1 + a2)2 + 2(a1 + a2),解得 a2= 3 或 a2= 2 或 a2= 0.又因為數列an的各項都是正數,所以a2= 3.(2)因為 ai3 + a23 + a33+ an3= Snan-+ an = 2n + n + 1'不妨設數列bn中的第n項bn和數列Cn中的第m項Cm 相同,貝V bn= Cm . + 2Sn(1)所以 ai3 +

15、 a23 + a33+ an 13= Sn-12 + 2Sn-i(nA2)由(1)得 an3= ( Sn2 + 2Sn) (Sn- 12+ 2Sn-1)= (Sn Sn 1)( Sn+ Sn 1 + 2)= an( Sn+ Sn 1 + 2),因為 an>0,所以 an2= Sn + Sn1 + 2(3)所以 an 12= Sn 1 + Sn2+ 2(n A 3)(4)由(3) (4)得 an2 an12= an + an1, 即卩 an an1 = 1(nA 3),又 a2 a1 = 1,所以 an an1 = 1(nA2).所以數列an是一個以2為首項,1為公差的等差數 列.所以 a

16、n = a1 + (n 1)d= n + 1.(3) Sn = n(n+ 3),所以 bn2門+1&+ ea 寸+ E 寸人& CFmsAE&+ E2V& WLgCXT+E2H& u-IOHL+E+&起COHU L E IUCN一>駅寸+ E寸H& m0A8H(9)A(E)J三瓷亠雲靈曲(E)三瓷O人寸 ecnh(e)(l +E)亙.寸E寸民h(e)令-起 9AE & + E 寸 VE0 起寸COZLE亠寸+E寸he三瓷IDL + E + ECNECO+ 敖 H9E9 剝U- EW IE IC0+黒 FE+OWUWL ¥ e (e+u)UHL+E+22 楓L E luCNL+E+ &H(CO+u)u 注亠 L E luCN9L+E+ Eh (C0+ u)u9 + (col+u)uu所以,m= 3, n= 3.2m m161廠2 若 2m+ m+ 1 = n(n + 3)V3,即卩 2 V2m+ 2 由 1 知,當 m > 3 時,2m > 2m + 2。因此,當2mv 2m+

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