1、內裝訂線學校:_姓名：_班級：_考號：_外裝訂線2021年北京市高考數學試題題號一二三四總分得分注意事項：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）評卷人得分一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD2在復平面內，復數滿足，則（ ）ABCD3已知是定義在上的函數，那么“函數在上單調遞增”是“函數在上的最大值為”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（ ）ABCD5若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（ ）ABCD6中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規定指出，中國

2、共產黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規格有五種.這五種規格黨旗的長(單位:cm)成等差數列，對應的寬為(單位: cm),且長與寬之比都相等，已知，則A64B96C128D1607函數是A奇函數，且最大值為2B偶函數，且最大值為2C奇函數，且最大值為D偶函數，且最大值為8某一時間段內，從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）24h降雨量的等級劃分如下：在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降

3、雨量的等級是A小雨B中雨C大雨D暴雨9已知直線（為常數）與圓交于點，當變化時，若的最小值為2，則 ABCD10已知是各項均為整數的遞增數列，且，若，則的最大值為（ ）A9B10C11D12第II卷（非選擇題）評卷人得分二、填空題11在的展開式中，常數項為_12若點關于軸對稱點為，寫出的一個取值為_13已知函數，給出下列四個結論：若，恰 有2個零點；存在負數，使得恰有個1零點；存在負數，使得恰有個3零點；存在正數，使得恰有個3零點其中所有正確結論的序號是_評卷人得分三、雙空題14已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸與于點.若，則點的橫坐標為_； 的面積為_15已知向量在正方形網格中的位置如圖

4、所示若網格紙上小正方形的邊長為1，則 _；_.評卷人得分四、解答題16在中，（1）求；（2）再從條件、條件、條件這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長條件：；條件：的周長為；條件：的面積為；17如圖：在正方體中，為中點，與平面交于點（1）求證：為的中點；（2）點是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值18在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，

5、檢測結束.現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)19已知函數（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最

6、小值20已知橢圓一個頂 點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點M，N，當|PM|+|PN|15時，求k的取值范圍21設p為實數.若無窮數列滿足如下三個性質，則稱為數列： ，且；，（1）如果數列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數列？說明理由；（2）若數列是數列，求；（3）設數列的前項和為.是否存在數列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由試卷第5頁，共6頁參考答案1B【分析】結合題意利用并集的定義計算即可.【詳解】由題意可得

7、：.故選：B.2D【分析】由題意利用復數的運算法則整理計算即可求得最終結果.【詳解】由題意可得：.故選：D.3A【分析】利用兩者之間的推出關系可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】若函數在上單調遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數，在為增函數，故在上的最大值為推不出在上單調遞增，故“函數在上單調遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.4A【分析】根據三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據三視圖中的數據可計算該幾何體的表面積.【詳解】根據三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側棱長為1，故其表面

8、積為，故選：A.5B【分析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】，則，則雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B6C【分析】設等差數列公差為，求得，得到，結合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，五種規格黨旗的長(單位:cm)成等差數列，設公差為，因為，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.7D【分析】由函數奇偶性的定義結合三角函數的性質可判斷奇偶性；利用二倍角公式結合二次函數的性質可判斷最大值.【詳解】由題意，所以該函數為偶函數，又，所以當時，取最大值.故選：

9、D.8B【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.視頻9C【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據弦長最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當時，弦長取得最小值為，解得.故選：C.10C【分析】使數列首項、遞增幅度均最小，結合等差數列的通項及求和公式求得可能的最大值，然后構造數列滿足條件，即得到的最大值【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設數列是首項為3，公差為1的等差數列，其前n項和為，則，所以.對于

10、，取數列各項為(，,則，所以n的最大值為11故選：C11【分析】利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令的指數為零，求解并計算得到答案.【詳解】的展開式的通項 令，解得，故常數項為故答案為：.12（滿足即可）【分析】根據在單位圓上，可得關于軸對稱，得出求解.【詳解】與關于軸對稱，即關于軸對稱， ，則，當時，可取的一個值為.故答案為：（滿足即可）.13【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數形結合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于，當時，由，可得或，正確；對于，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，正確；對于，

11、當直線過點時，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，此不等式無解，因此，不存在，使得函數有三個零點，錯誤；對于，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，當時，函數有三個零點，正確.故答案為：.【點睛】思路點睛：已知函數的零點或方程的根的情況，求解參數的取值范圍問題的本質都是研究函數的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉化，即通過構造函數，把問題轉化成所構造函數的零點問題；（2）列式，即根據函數的零點存在定理或結合函數的圖象列出關系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數的取值范圍145 【分析】根

12、據焦半徑公式可求的橫坐標，求出縱坐標后可求.【詳解】因為拋物線的方程為，故且.因為，解得，故，所以，故答案為：5；.150 3 【分析】根據坐標求出，再根據數量積的坐標運算直接計算即可.【詳解】以交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：則，.故答案為：0；3.16（1）；（2）答案不唯一，具體見解析【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇：由正弦定理求解可得不存在；若選擇：由正弦定理結合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.【詳解】（1），則由正弦定理可得，解得；（2）若選擇：由正弦定理結合（1）可得，與矛盾，故這樣

13、的不存在；若選擇：由（1）可得，設的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.17（1）證明見解析；（2）【分析】(1)首先將平面進行擴展，然后結合所得的平面與直線的交點即可證得題中的結論；(2)建立空間直角坐標系，利用空間直角坐標系求得相應平面的法向量，然后解方程即可求得實數的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點，連結，由于為正方體，為中點，故，從而四點共面，即平面CDE即平面，據此可得：直線交平面于點，當直線與平面相交時只有唯一的交點，故點與點重合，即點為中點.(2)以點為

14、坐標原點，方向分別為軸，軸，軸正方形，建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為2，設，則：，從而：，設平面的法向量為：，則：，令可得：，設平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.【點睛】本題考查了立體幾何中的線面關系和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.視頻18（1）次；分布列見解析；期望為；（2）【分析】（1）由題設條件還原情境，即可得解；求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一

15、組的概率，進而求出，即可得解.【詳解】（1）對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；所以總檢測次數為20次；由題意，可以取20，30，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.視頻19（1）；（2）函數的增區間為、，單調遞減區間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數的值，然后利用導數分析函數的單調性與極值，由此可得出結果.【詳解】（1）當時，則，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，列表如下：增極大值減極小

16、值增所以，函數的增區間為、，單調遞減區間為.當時，；當時，.所以，.20（1）；（2）【分析】（1）根據橢圓所過的點及四個頂點圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標準方程.（2）設，求出直線的方程后可得的橫坐標，從而可得，聯立直線的方程和橢圓的方程，結合韋達定理化簡，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因為橢圓過，故，因為四個頂點圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標準方程為：.（2）設，因為直線的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.21（1）不可以是數列；理由見解析；（2）；（3）存在；【分析】(1)由題意考查的值即可說明數列不是數列；(2)由題意首先確定數列的前4項，然后討論計算即可確定的值；(3)構造數列，易知數列是的，結合(2)中的結論求解不等式即可確定滿足題意的實數的值.【詳解】(1)因 為 所以，因 為所 以所以數列，不可能是數列.(2)性質，由性質，因此或，或，若，由性質可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因為或，所以或.若，則，不滿足，舍去.當，則前四項為:0，0，0，1，下面用數學歸納法證明：當時，經驗證命題成立，假設當時命題成立，當時：若，則，利用性質：，此時可得：；否則，若，取可得：，