1、9.2 正項級數及其斂散性判別正項級數及其斂散性判別二二. 正項級數斂散性的判別法正項級數斂散性的判別法11111( 1),10102nnnn 例例如如一一.正項級數的概念正項級數的概念則稱此級數為則稱此級數為正項級數正項級數. 1nnu 定義定義9.2.1 若數項級數若數項級數0(1,2,),nun 中的各項中的各項因為對任意因為對任意nn 均有各項均有各項0nu , 則則1ns 1nnsu 12nsss于是正項級數的部分和數列于是正項級數的部分和數列 ns是一個單増數列是一個單増數列, 即即證證 “充分性充分性”“必要性必要性”從而正項級數收斂從而正項級數收斂.limnns1nnu 存在存

2、在, 收斂收斂, 則則 若若limnns 存在存在, 由數列單調有界準則知極限由數列單調有界準則知極限 定理定理9.2.1 正項級數正項級數1nnu ns收斂的充要條件是部分和數列收斂的充要條件是部分和數列有上界有上界. 由收斂數列的有界性定理由收斂數列的有界性定理 知知, 有上界有上界. ns正項級數發散的充要條件是部分和數列正項級數發散的充要條件是部分和數列ns無上界無上界.此定理的等價命題此定理的等價命題:從而正項級數發散從而正項級數發散.”其等價命題是其等價命題是:lim,nns “若若 ns無上界無上界, 則則例例1判定判定 p 級數級數11111 (0)2pppnpnn 的斂的斂散

3、性散性. . (2) 當當 p1 時時, 因為因為pnn ，11,pnn 有有解解（1） 當當 時時, 級數為調和級數級數為調和級數, 發散發散.1p 所以所以11nn 由由于于 11pnn 發散發散, 則則 p 級數級數發散發散.11111.1.,22nppsnn (3) 當當 p1 時時, 設設12 ,nxn n （） 有有11ppnx 111123npppsn1111dd ,2,3,.nnppnnxx nnx 211111dd2nppnxxn 于是于是 1d1npxx 1111(1)1ppn 111p ,ns即即 有有界界211dd1nppnxxxx 收斂收斂. .1,1,ppp 當當時

4、時收收斂斂級級數數當當時時發發散散結論結論: 如何判別正項級數的斂散性是討論正項級數的基本問題如何判別正項級數的斂散性是討論正項級數的基本問題, 直接利用上述定理來判別直接利用上述定理來判別, 即討論部分和數列是否有上界是即討論部分和數列是否有上界是非常困難的非常困難的. 因此因此, 需要建立其它斂散性的判別法需要建立其它斂散性的判別法.例例1判定判定 p 級數級數11111 (0)2pppnpnn 的斂的斂散性散性. .設兩個正項級數設兩個正項級數定理定理9.2.2 (比較判別法比較判別法)應項滿足應項滿足:11nnnnuv 及及(1,2,)nnuvn 二二. 正項級數斂散性的判別法正項級數

5、斂散性的判別法則則 (1)當級數當級數也收斂也收斂;收斂時收斂時, 級數級數1nnv 1nnu （大收小收）（大收小收）(2)當級數當級數1nnu 發散時發散時, 級數級數1nnv 也發散也發散.（小發大發）（小發大發）的對的對1. 比較判別法比較判別法證證 設設1nnv 1,nnu 部分和分別是部分和分別是,nns (1,2,0)nnucvnc 因因12,nnsuuu 于于是是故級數故級數1nnu 收斂收斂.limnn 于于是是 故級數故級數1nnv 發散發散. (1)當級數當級數1nnv 收斂時收斂時, ,nns 有有上上界界那那么么也也有有界界. .則則12()nnc vvvct (2)

6、當級數當級數發散時發散時,lim,nns 1nnu 注注1 因級數增加或去掉有限項不影響它的斂散性因級數增加或去掉有限項不影響它的斂散性 . 故定故定理中的不等式不一定從首項就開始面滿足理中的不等式不一定從首項就開始面滿足.注注2當級數當級數1nnv 收斂時收斂時, 不一定有級數不一定有級數1nnu 收斂收斂.1nnv 發散時發散時, 不一定有級數不一定有級數1nnu 發散發散.當級數當級數2111,(1)n nnn 例如例如,發散，而發散，而11(1)nn n 收斂收斂.11nn 但但 注注3 應用比較判別法時應用比較判別法時, 須找合適的已知斂散性的級數須找合適的已知斂散性的級數作為參考級

7、數作為參考級數. 重要參考級數重要參考級數: 幾何級數幾何級數, p - 級數級數, 調和級數調和級數. . 例例2 判定級數判定級數131nnnn 的斂散性的斂散性. .解解113nn 而而 收斂收斂,13133nnnnnnn 因為因為則級數則級數收斂收斂.131nnnn 1111(1)(1)(1)nn nnn 例例3 判定級數判定級數11(1)nn n 的斂散性的斂散性. .解解則級數則級數11(1)nnn 發散發散.111nn 而而 發散發散,因為因為設兩個正項級數設兩個正項級數推論推論9.2.111nnnnuv 及及c 0，使得從某項，使得從某項 (如第如第n項項) 起滿足起滿足 ,

8、如果如果存在常數存在常數(,1,0)nnucvnn nc則則 (1)當級數當級數也收斂也收斂;收斂時收斂時, 級數級數1nnv 1nnu (2)當級數當級數1nnu 發散時發散時, 級數級數1nnv 也發散也發散.定理定理9.2.3 (比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式)11nnnnuv 及及lim,nnnulv 若兩個正項級數若兩個正項級數滿足滿足: (1)當當0 l +時時, 級數級數11nnnnuv 和和同斂散同斂散;1nnv 1nnu (2)當當l= 0且級數且級數也收斂也收斂;收斂時收斂時, 級數級數(3)當當l= +且級數且級數也發散也發散.1nnv 發散時發散時, 級數級數

9、1nnu 3,22nnnllvuv于于是是11nnnnuv和和同斂散同斂散;則級數則級數01nnuv有有(2) lim0,nnnuv 由由 1,nnn 使使得得則對于則對于 nnuv 即即，2nnullv有有(1) lim,nnnulv 由由 證證,2lnnn 使使得得則對于則對于3022nnullv1nnv 也收斂也收斂;則若級數則若級數1nnu 收斂收斂, 01nnvu有有(3) lim,nnnuv 由由 nnvu 即即，1,nnn 使使得得對于對于則則lim0,nnnvu 解解而級數而級數11pnn 是收斂的是收斂的的斂散性的斂散性.11sin(1)pnpn 例例5 判定級數判定級數1s

10、inlim1pnpnn1 因為因為所以級數所以級數是收斂的是收斂的11sinpnn 1nnv 也發散也發散.則若級數則若級數1nnu 發散發散, 例 6 判定級數211ln(1)nn的斂散性 解 由 ln(1x)x(x0)可知 221ln(1)lim11nnn而211nn收斂 所以 解 由 ln(1x)x(x0)可知 2211ln(1)()nnn 解 由 ln(1x)x(x0)可知 2211ln(1)()nnn 所以 2211ln(1)()nnn 所以 221ln(1)lim11nnn 收斂 所以211ln(1)nn收斂 定理定理9.2.4 (達朗貝爾比值判別法達朗貝爾比值判別法)若正項級數若

11、正項級數1nnu 滿足滿足1lim,nnnulu 2. 比值判別法比值判別法則則(1) 當當0 l 1時時, 級數級數1nnu 發散發散;(3) 當當l = 1時時, 級數級數1nnu 可能收斂可能收斂, 也可能發散也可能發散. (1)當當 l 0且滿足且滿足1,lr ,nnn 存存在在使使11nnulru 1,nnnnuru 于于是是 有有1,nnulu 有有1,nnuru 22,nnur u ,nnnnur u 證證 則則11()n nnnn nnuru 收斂收斂.從而在它前面增加從而在它前面增加n項的級數項的級數1nnu 也收斂也收斂.1 (01)nnnr ur 而而收斂收斂,11,nn

12、ulqu , lim0.nnu 于于是是(2)當當 l 1時時, 則對任意給定的則對任意給定的 0且滿足且滿足1,lq ,nnn 存存在在使使則當則當n n時時, 后項后項 un+1 始終大于前項始終大于前項un1nnu 故故發散發散.1nnulu 有有但當但當 p 1時時, p 級數收斂級數收斂; 當當 p 1 時時, p 級數發散級數發散.1lim11(1)npn 比如比如 p 級數級數11,pnn 無論無論 p 取何值取何值, 均有均有1limlim(1)pnpnnnunun (3) 當當 l = 1時時, 級數級數1nnu 可能收斂可能收斂, 也可能發散也可能發散.例例7 判定級數判定

13、級數 的斂散性的斂散性.11(1)!nnnn 因因為為 12(2)!lim1(1)!nnnnnnn （）故原級數收斂故原級數收斂. .解解121lim111nnnnnne 1limnnnuu 1lim10nn 故原級數發散故原級數發散. .解解1(1)!110!10limlim nnnnnnnnuu 例例8 判定級數判定級數 的斂散性的斂散性.1!10nnn 1(2)(2) limlim1(1) (3)(1)nnnnunn nunnn 因因為為 解解比值審斂法失效比值審斂法失效, , 改用比較審斂法改用比較審斂法11 ,(2)2nn nn 又又因因為為 11,2nn 而而級級數數發發散散11.

14、(2)nnn n 故故級級數數發發散散例例9 判定級數判定級數 的斂散性的斂散性.11(2)nnn n 定理定理9.2.5 (柯西根值判別法柯西根值判別法)若正項級數若正項級數1nnu 滿足滿足lim,nnnul 則則 (1) 當當0 l 1時時, 級數級數1nnu 發散發散;(3) 當當 l = 1 時時, 級數級數1nnu 可能收斂可能收斂, 也可能發散也可能發散.3. 根值判別法根值判別法(1)1,(1)/ 20,ll 當當時時 對對證證,nnn 存存在在自自然然數數使使當當時時 有有112nnllulr ,nnurnn即即 1201,nnnrrrr 因因為為當當時時收斂。收斂。1,.nnu 所所以以 級級數數收收斂斂(2)1,(1)/ 20,ll 當當時時 對對,n存存在在自自然然數數,nn 使使當當時時 有有112nnllulr ,nnurnn 即即121,nnnrrrr 因因為為當當時時發發散散1,.nnu 所所以以 級級數數發發散散,.nru 并并且且由由知知limlim ( )nnnnnnaun 因因為為 lim01nan例例10 判定級數判定級數1( )nnan 的斂散性的斂散性. .解解 的斂散性的斂散性.例例11 討論級數討論級數1(0)nnnxx 解解 因為因為故原級數收斂故原級數收