1、一部用黃老哲學研究解題的數學書一部視解題如游戲的數學書哲學的視野與數學的神韻數學一例 精彩千解 （下） 孟祥禮 著哲學是望遠鏡，數學是顯微鏡例題、出處及對待課本上的例題的正確態度例題：過點作直線與軸的正半軸、的正半軸分別交于兩點，當的面積最小時，求直線的方程.出處：本題是普通高中課程標準教科書蘇教版數學必修5第三章“不等式”第100頁的例3.對待課本上的例題的態度：很多同學總覺得數學課本太簡單，不重視課本上的例題的鉆研。筆者認為這是不恰當的。重點都在課本里，這一點對于任何科目的學習都有指導作用。“道生一，一生二，二生三，三生萬物。”（老子：道德經）數學課本就隱藏了數學之“道”，將課本上的例題反

2、復鉆研，換著法子演練，看穿例題的結構; 解題不在于多，而在于精，在于思考了多少（當然，大量的、自覺的、有反思的解題是有效的）.“得道之本，握少以知多，得事之要，操正以正畸。”“故能至素至精，浩彌無形，然后可以為天下正。”（黃帝四經）本書給出了該例題的2000余種解法，這些解法將一些常見的知識、方法和技巧巧妙地排列組合，美輪美奐，真實體現數學解題的奇趣.解法探究題記-圖難于其易也，為大于其細也；天下之難作于易，天下之大作于細.（老子：道德經）解法系列8 從直線的參數方程入手解法1：設直線的傾斜角為，則直線的參數方程為 在中，令，得 .將代入，得，即 在中，令，得 將代入，得 即. 由二元算術幾何

3、均值不等式，得當且僅當，即，也即時，取“”.因此，當的面積最小時，直線的方程為，即 解法2：同解法1，.由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當即，也即時，取“”.（余略）解法3：同解法1，得 ，.由柯西(cauchy)不等式，得當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法4：同解法1，得，.由二元幾何-調和均值不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.，當且僅當時，取“”.當且僅當時，取“”.（余略）解法5：同解法1，得 ，.即 由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法6：同解法1，得 ，.即 由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法7：

4、同解法1，得，.即 ，.由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法8：同解法1，得，.即 ，.由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當即，也即時，取“”.（余略）解法9：同解法1，得 ，.即 ，.由柯西(cauchy)不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法10：同解法1，得 ，.即 ，.由二元幾何-調和均值不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.，當且僅當時，取“”.當且僅當時，取“”.（余略）解法提示：若令，則容易得到.利用解法系列1的方法，可得解法11-解法130.注：本解法系列供參加數學競賽或重點大學自主招生的同學參考.解法系列9 從直線的極坐標

5、方程入手 解法提示：如圖9-1，以原點為極點、軸為極軸建立極坐標系，則 圖9-1設直線的傾斜角，則由正弦定理可得直線的極坐標方程為 ，其中，為直線上任一點的極角. 令，得 即 令，得即 若令，則容易得到.利用解法系列1的方法，可得解法1-解法120.注：本解法系列供參加數學競賽或重點大學自主招生的同學參考.解法系列10 從直線的法線式方程入手 解法1：如圖10-1，設直線的法線的輻角為，則直線的法線式方程為，其中，是原點到直線的距離. 直線過點， ， . 直線的法線式方程為 圖10-1 令，得，即 令，得 ，即 由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當，即時，取“”.因此，當的面積最小時，直線的方

6、程為，即 解法2：同解法1，得，由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當即時，取“”.（余略）解法3：同解法1，得，由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當，即時，取“”.（余略） 解法4：同解法1，得，由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當，即時，取“”.（余略） 解法5：同解法1，得，由基本不等式，得當且僅當，即時，取“”.（余略） 解法6：同解法1，得，由柯西(cauchy)不等式，得當且僅當，即時，取“”.（余略） 解法7：同解法1，得，由二元幾何-調和均值不等式，得 當且僅當，即時，取“”.當且僅當時，取“”.當且僅當時，取“”.（余略） 解法8：同解法1，得，由二元算術幾何均值不等式，得當且

7、僅當，即時，取“”.解法9：同解法2，得，由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當，即時，取“”.（余略）解法10：同解法1，得，由柯西(cauchy)不等式，得當且僅當，即時，取“”. （余略）解法11：同解法1，得，由二元幾何-調和均值不等式，得 當且僅當，即時，取“”.當且僅當時，取“”.當且僅當時，取“”.（余略） 解法提示：若令，則容易得到利用解法系列1的方法，可得解法12-解法131.注：本解法系列供參加數學競賽或重點大學自主招生的同學參考. 解法系列11 從三角函數的定義入手 解法1：如圖11-2，過點分別作軸、軸的垂線、，垂足分別為、，連接，則， 圖11-1 ， 由二元算術幾何均

8、值不等式，得 當且僅當，即時，取“”.因此，當的面積最小時，直線的方程為，即 解法2： 同解法1，得 由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當即時，取“”.（余略）解法3：同解法1，得 由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當，即時，取“”.（余略）解法4：同解法1，得 由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當，即時，取“”.（余略）解法5：同解法1，得 由基本不等式，得當且僅當，即時，取“”.（余略）解法6：同解法1，得 由柯西(cauchy)不等式，得當且僅當，即時，取“”.（余略）解法7：同解法1，得 由二元幾何-調和均值不等式，得 當且僅當，即時，取“”. 當且僅當時，取“”.當且僅當時，取“”.

9、（余略）解法8：同解法1，得 ， 即 由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當，即時，取“”.（余略）解法9：同解法8，得 由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當即時，取“”.（余略）解法10：同解法8，得 由柯西(cauchy)不等式，得當且僅當，即時，取“”.（余略）解法11：同解法8，得 由幾何-調和均值不等式，得 當且僅當，即時，取“”. 當且僅當時，取“”.當且僅當時，取“”.（余略）解法提示：若令，則容易得到利用解法系列1的方法，可得解法12-解法131.解法系列12 從三點共線（向量方法）入手解法1：如圖12-1，設點的坐標分別為，則 ，共線，且點在線段的內部， 即 ， 圖12-1 由

10、二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.因此，當的面積最小時，直線的方程為，即解法2：同解法1，得 由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當，即時，取“”.（余略）解法3：同解法1，得 由二元幾何-調和均值不等式，得 當且僅當，即時，取“”., 當且僅當時，取“”.當且僅當時，取“”.（余略）解法4：同解法1，得 由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當時，取“”. 當且僅當時，取“”.當且僅當，即時，取“”.（余略）解法5：同解法1，得 令 ，得 當且僅當 即時，取“”. 當且僅當時，取“”. 當且僅當，即時，取“”.（余略）解法6：同解法1，得 構造關于的一元二次方程 是此方

11、程的二實根，由， 得，當且僅當時，取“”. 當且僅當，即時，取“”.（余略）解法7：同解法1，得 構造關于的一元二次方程 是此方程的一個實根， 由 ， 得 ，當且僅當時，取“”. 當且僅當，即時，取“”.（余略）解法8：同解法1，得 構造關于的一元二次方程 是此方程的一個實根， 由 ，得，當且僅當時，取“”. 當且僅當，即時，取“”.（余略）解法9：同解法1，得 令 得當且僅當，即時，取“”.當且僅當，即時，取“”.（余略）解法提示：由，得利用解法系列1的方法，可得解法10-解法129.解法系列13 從向量共線入手 解法提示：如圖13-1，設，則 與共線， 圖13-1 利用解法系列1的方法，可

12、得解法1-解法120.注：類似地，也可由與共線或與共線解題.解法系列14 從定比分點坐標公式入手 解法1：如圖14-1，設，點分有向線段所成的比為，則 圖14-1 .由二元算術幾何均值不等式，得當且僅當，即，也即時，取“”. （余略）解法2：同解法1，得.由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當即，也即時，取“”.（余略）解法3：同解法1，得.由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當即，也即時，取“”.（余略）解法4：同解法1，得 .由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當即，也即時，取“”. （余略）解法5：同解法1，得 .由柯西(cauchy)不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”. （余略）

13、解法6：同解法1，得 .由二元幾何-調和均值不等式，得 當且僅當 也即時，取“”. ，當且僅當時，取“”.當且僅當時，取“”.（余略）解法7：同解法1，得 .是正實數， 由及，得，當且僅當,即時，取“ ”. （余略）解法8：同解法1，得 . 令，得 當時，；當時，因此，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，當，即時，有最小值2. （余略）解法提示：由，容易得到利用解法系列1的方法，可得解法9-解法128.注：本解法系列供參加數學競賽或重點大學自主招生的同學參考.解法系列15 從正弦定理入手（1）解法1：如圖15-1，連接，則 設.在中，由正弦定理，得 圖15-1即 ， 在中，同理可得： 當且僅當

14、，即，也即時，取“”.因此，當的面積最小時，直線的方程為，即解法2：同解法1，得 ， 由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當即，也即時，取“”.（余略）解法3：同解法1，得 ， 由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法4：同解法1，得 ， 由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法5：同解法1，得 ， 由基本不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法6：同解法1，得 ， 由柯西(cauchy)不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法7：同解法1，得 ， 由二元幾何-調和均值不等式，得 當且僅當，即，也即時，

15、取“”.，當且僅當時，取“”.當且僅當時，取“”.（余略）解法8：同解法1，得 ， ， 由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法9：同解法8，得 ， 由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當即，也即時，取“”.（余略）解法10：同解法8，得 ， 由柯西(cauchy)不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法11：同解法8，得 ， 由二元幾何-調和均值不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.當且僅當時，取“”.當且僅當時，取“”.（余略）解法12：同解法1，得 , 由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.（余略）解法13：同解法1

16、，得 , 由二元算術幾何均值不等式，得 當且僅當，即，也即時，取“”.（余略） 解法提示：若令，則容易得到利用解法系列1的方法，可得解法14-解法133.注：在中，由，也可得.解法系列16 從正弦定理入手（2）解法提示 ：如圖16-1，連接，連接，則 設. 在中，由正弦定理，得 圖16-1即 ， 在中，同理可得：若令，則容易得到利用解法系列1的方法，可得解法1-解法120.解法系列17 從正弦定理入手（3）解法提示：如圖17-1，連接，連接，則設，則.在中，由正弦定理，得 即 , 在中，同理可得： 圖17-1 若令,則容易得到利用解法系列1的方法，可得解法1-解法120.解法系列18 從三角形的相似關系入手解法提示：如圖18-1，過點分別作軸、