1、數量關系數量關系 第八章第一部分第一部分 向量代數向量代數第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間形式空間形式 點點, , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標法坐標法; ; 向量法向量法坐標坐標, , 方程（組）方程（組）空間解析幾何與向量代數 目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算 第一節一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運算 第八八章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 表示法:向量的模 :

2、 向量的大小,21mm記作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又稱矢量). 1m2m既有大小, 又有方向的量稱為向量自由向量:與起點無關的向量.單位向量: 模為 1 的向量,零向量: 模為 0 的向量,有向線段 m1 m2 ,或 a ,a或.a或記作 e 或e .或 a .00或，記作目錄 上頁 下頁 返回 結束 規定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量

3、平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個向量經平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個向量共面 .記作a ;目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、向量的線性運算二、向量的線性運算1. 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規律 : 交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba cba目錄 上頁 下頁 返回 結束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 向量的減法向量的減法三角不等式ab)( ab有時特別當,ab aa )( aababaabababa0

4、baba目錄 上頁 下頁 返回 結束 可見aa 1;1aa3. 向量與數的乘法向量與數的乘法 是一個數 ,規定 :時，0,0時,0時總之:運算律 : 結合律分配律因此，同向與aa 與 a 的乘積是一個新向量, 記作.a;aa，反向與aa;aa.0aaa)(aa)(aa)( aaba)(ba , 0a若ae則有單位向量.1aaaeaa 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1. 設 a 為非零向量 , 則( 為唯一實數)證證: “ ”., 取 且再證數 的唯一性 .則,0故.即abab設 abba反向時取負號, a , b 同向時取正號則 b 與 a 同向,設又有 b a ,0)(aaa baa

5、b.ab故,0a而目錄 上頁 下頁 返回 結束 “ ”則,0 時當例例1. 設 m 為mbacd解解:abcd 對角線的交點,0 時當ba,0 時當,aab ,bdaacmc2ma2bdmd2mb2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,mdmcmbmaba表示與試用baab)(21bama)(21abmb)(21bamc)(21abmd目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyz三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數軸按右手規則組成一個空間直角坐標系. 坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 o , 坐標面 卦限(八個)1. 空間直角

6、坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念o面xoy面yozzox面目錄 上頁 下頁 返回 結束 在直角坐標系下xyz向徑 11坐標軸上的點 p, q , r ;坐標面上的點 a , b , c點點 m特殊點的坐標 :有序數組),(zyx 11)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr), 0(zyb(稱為點 m 的坐標坐標)原點 o(0,0,0) ;ror)0 ,(yxam), 0 ,(zxc目錄 上頁 下頁 返回 結束 坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面 :xoy面0 zyoz面0 xzox面0 yxyzo目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 向量的坐

7、標表示向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點 m , ),(zyxm則沿三個坐標軸方向的分向量分向量,),(zyxxoyzmnbca,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標為此式稱為向量 r 的坐標分解式坐標分解式 ,任意向量 r 可用向徑 om 表示.nmonomocoboa記記 , ixoa, jyob rkzjyix稱為向量,kzoc kzjyixrikjr.,的坐標稱為向量 rzyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算則),(zzyyxxbababa),(zyxaaaxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對應坐標成

8、比例:，為實數設),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb baa,0 時當aab ab目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求解以向量為未知元的線性方程組解解: 2 3 , 得)10, 1,7(代入得)16,2,11(ayx35byx23.211,212），（），（其中babax32)3(21bxy目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 已知兩點在ab所在直線上求一點 m , 使解解: 設 m 的坐標為, ),(zyx如圖所示abmo11ab, ),(111zyxa),(222zyxb及實數, 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.mbamammbamoaom mbom

9、ob aoom )(omob omoboa(m目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: 由得定比分點公式定比分點公式:,121xx,121yy121zz,1時當點 m 為 ab 的中點 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點公式中點公式:abmoabm目錄 上頁 下頁 返回 結束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx則有222oroqopxoyzmnqrp由勾股定理得),(111zyxa因ab得兩點間的距離公式:),(121212zzy

10、yxx212212212)()()(zzyyxx對兩點與, ),(222zyxb, rom作nmon babaoaobba),(zyxr 設omr omr oroqop目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321mmm證證:1m2m3m21mm 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432mm 2)75( 2) 12( 2)23( 631mm 2)45( 2)32( 2) 13( 63132mmmm即321mmm為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 在 z 軸上求與兩點)7,

11、 1 ,4(a等距解解: 設該點為, ),0,0(zm,bmam因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點為及)2,5,3(b. ),0,0(914m思考思考:(1) 如何求在 xoy 面上與a , b 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與a , b 等距離之點的軌跡方程 ?離的點 . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1) 如何求在 xoy 面上與a , b 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與a , b 等距離之點的軌跡方程 ?)7, 1 ,4(a)2,5,3(b提示提示:(1) 設動點為, )0,(yxm利用,bmam得,028814 yx(2)

12、 設動點為, ),(zyxm利用,bmam得014947zyx且0z例例6. 已知兩點),3, 1 ,7()5,0,4(ba和解解:141)2,1,3(142,141,143baba求ab的單位向量 e .e目錄 上頁 下頁 返回 結束 oyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設有兩非零向量 任取空間一點 o ,oab稱 =aob (0 ) 為向量 的夾角. 類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . 與三坐標軸的夾角 , , 為其方向角方向角.cos222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. ,aoa 作, bob ,baba,0),(zyxr給定r稱),(ba記作),(ab或rx

13、r目錄 上頁 下頁 返回 結束 oyzxrcos222zyxxcos222zyxycos222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質:)cos,cos,(cosrxryrzrrer:的單位向量向量 r目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 已知兩點)2,2,2(1m和, )0,3, 1(2m的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321mm(21mm21mm目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8. 設點 a 位于第一卦限,解解: 已知角依次為,43求點 a 的坐標 . ,4,3

14、則222coscos1cos41因點 a 在第一卦限 , 故,21cos于是6,cos,coscos)3,23,3(故點 a 的坐標為 . )3,23,3(向徑 oa 與 x 軸 y 軸的夾 ,6ao且oa第二節 oaeao6,21,2221目錄 上頁 下頁 返回 結束 uouuaa)(prj或記作m3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影第二節 oua則 a 在軸 u 上的投影為 例如, ),(zyxaaaa 在坐標軸上的投影分別為 設 a 與 u 軸正向的夾角為 ,m, 即 cos)(aaucosazyxaaa,投影的性質投影的性質2) uuaa)()(1) uuubaba)()()(為實數) mm目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9.第二節 設立方體的一條對角線為om, 一條棱為 oa, 且 , aoa 求oa 在 om 方向上的投影. 解解: 如圖所示, 記 moa = , cosaomomoa313a作業作業 p12 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19acosprjoaoaom目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題解解: 因1. 設求向量在 x 軸上的投影及在 y 軸上