1、.確定主應力大小和方向問題分析 基礎部 秦定龍 一 問題的提出 在工程結構設計中，為了全面評價梁的強度安全，確保工程結構萬無一失，經常要遇到計算結構中的主應力的大小和確定主應力的方向問題， 以便于分析結構破壞的原因，或者合理布置結構形式，或者正確布置結構內的受力鋼筋等。圖一(a)所示的鋼筋混凝土簡支梁，為什么會在軸線以下部分出現斜裂縫而破壞?圖一(b)所示的鑄鐵試件在受到壓縮或扭轉時，為什么會沿與軸線成的斜面上發生破壞?這些都與結構內的主應力大小和方向有關。在圖二(a)中，鋼筋混凝土簡支梁的兩組主應力軌跡線是根據主應力的方向繪制出來的，而圖二(b)中梁內的彎起鋼筋和縱向受力鋼筋則是根據圖二(a

2、)中梁的主應力軌跡線布置的。 圖一（a）q(a) 圖二 (b)上述情況說明，在對結構進行強度分析或計算時，都要涉及到結構內主應力大小的計算和確定主應力方向的問題。一般情況下，主應力的大小可按特定的公式算出來，而在確定應力的方向時，人們往往不容易正確確定出來。本文就怎樣快速準確確定主應力大小和方向作闡述和介紹。 二 主應力大小及方向的確定方法 圖三表示從某一構件中取出的單元體，設它處于平面應力狀態下。假定在一對豎向平面上的正應力為,切應力為；在一對水平面上的正應力為y，切應力為y，它們的大小和方向已經求出?，F要求出這個單元體的最大正應力、最小正應力即主應力的大小和方向。對應力、和角度的正負號規定

3、如下：正應力(或主應力)以拉應力為正，壓應力為負；切應力對單元體內的任一點以順時針轉為正，以反時針轉時為負；角度以從x軸的正向出發量到截面的外法成n是反時針轉為正，是順時針轉為負。按照上述的規定，可以判斷出，、及是正值；是正值，是正值，角是負值。（a）主應力的確定方法有兩種：一種是解析法，一種是應力圓法。下面分別討論之。1確定主應力大小和主平面位置的解析法 (b) 圖三根據對主應力的定義，進行嚴格的數學推導，得出計算平面應力狀態下單元的主應力公式如下： (1) 由式(1)可以看出， 有兩個根。因為 說明和都能滿足公式(1)，這就是說，處于平面應力狀態下的單元體上有兩個主平面，并且這兩個主平面應

4、是互相垂直的。 (單元體上切應力為零的平面稱為主平面，主平面上的正應力即為主應力。) 兩個主平面上的主應力大小的計算公式為（2） 利用公式(1)和(2)，在已知、y和的情況下，就可以很容易的求出兩個主應力的大小和相應主應力的方向，并且與分別作用在兩個互相垂直的平面上。如圖中所示的單元體，只要確定了主平面ef的位置，另一個主平面gf的位置也就隨之確定了。 現在的問題是：在e f平面上，究竟作用的是主應力呢?還是主應力。這就需要我們認真加以研究對待了。我們已可以根據公式(2)計算出在平面應力狀態下的兩個主應力的數值和根據公式(1)算得x軸與某一個主平面外法線之間的夾角(也就是與某一個主應力的夾角)

5、，從而確定兩個主平面的位置。但是除了這些之外，我們還必須進一步判斷出究竟是與哪一個主應力的夾角，才能確定每一個主應力的方向。 由式(1)可以看出，的極值是無窮大(當時的情況)，即總是小于或等于，因此總是小于或等于的銳角，也就是說由確定方向的那個主應力總是偏向于x軸的。根據實踐經驗和理論分析知道，較大的主應力總是偏向和中的較大者，較小的主應力則總是偏向于和中的較小者。因此，可以歸納出確定主應力方向的規則如下： 當時，是與兩個主應力中代數值較大者的夾角； 當時，是與兩個主應力中代數值較小者的夾角； 當時，主應力的方向可以從單元體上的應力情況直觀判斷出來。為了便于記憶，可把上述的規則通俗的敘述為：

6、“小偏小來大偏大，夾角不比大”。 2確定主應力大小和主平面位置的應力圓法 關于用應力圓確定主應力大小和主平面位置的方法，現以圖四(a)所示的單元體為例介紹如下：首先根據單元體上的已知應力、y作出應力圓如圖四(b)昕示，然后從圖上量得，?，F證明如下：因為： 合起來就是： 它與由解析法求得的主應力計算公式(2)相同 此外，主應力的方向也可以由圖四(b)求得。因為為與所夾角的二倍(即)，而由轉至是按順時針轉向，所以應該是負值。據此，就可以在單元體上，自的方向，按順時針轉向量一角就得到主應力的方向,的方向則與的方向垂直，如圖四(a)中所示。 三 主應力分析實例 例：圖五(a)所示的單元體，是從某受力構

7、件K點處截取出來的。已知x=25Mpa， ，。試用應力圓法和解析法求出該單元體的主應力大小和方向。 解： (一) 用應力圓法求解 1 作應力圓 建立直角坐標系，按選定的比例尺，由和的值定出與x面相對應的點；再由和y的值定出與y面相對應的點，連接直線并交軸于點，以C為圓心，為半徑作一圓，即為該單元體的應力圓，見圖五(b)所示。(a)圖五(b) 2 求主應力的大小 應力圓上A和B點分別為單元體上兩個主平面所對應的點，主應力的大小按所選用的比例尺直接從圖上量取得 該單元體上有一拉一壓兩個主應力。由于主應力是按代數值順序排列，為拉應力的是，為零是，為壓應力的是。因此，平面應力狀態下的兩個主應力若為一拉一壓，則主拉應力為，主壓應力為 (因為)。 3 求主應力的方向 從應力圓上量得圓心角。，且是由反時針方向旋轉而得，所以為正。的主平面角，即在單元體上， 由x軸開始反時針方向旋轉就可以得到作用的主平面的外法線n，從而確定的方向及其主平面的位置；至于的方向則必定與 的方向垂直。由兩個主平面組成的單元體也畫在圖五(a)中。 (二)由解析法求解將代入(2)和(1)式便可求出主應力的大小，方向，即既 解得： 。=30