1、第八章 非線性控制系統Nonlinear Control System內容提要8.1 概述8.2 相平面圖8.3 奇點和極限環8.4 非線性系統的相平面圖分析8.5 非線性特性的描述函數8.6 用描述函數分析非線性系統8.1 概述典型非線性特性非線性系統的運動特點非線性系統的研究方法一、典型非線性特性(一)飽和非線性 (Saturation nonlinear)輸入近似飽和特性輸出實際飽和特性M-Mt-t0輸入0輸出KKh-h(二)死區非線性 (Dead zone nonlinear)一、典型非線性特性(三)間隙非線性 (Backlash nonlinear)0輸入輸出Kb-b一、典型非線性特

2、性(四)繼電器型非線性輸入輸出M-M0(a)輸出M-M0h-h輸入(b)輸入輸出M-M0h-h(c)輸出M-M0mh-mh輸入h-h(d)(On-off nonlinear)當系統中含有一個或多個具有非線性特性的元件時， 該系統稱為非線性系統。一般地，非線性系統的數學模型可以表示為其中f(0)和g(0)為非線性函數。 當非線性程度不嚴重時，可以忽略非線性特性的影響，從而可將非線性環節視為線性環節；當系統方程解析且工作在某一數值附近的較小范圍時，可運用小偏差法將非線性模型線性化。 注意，對于非線性程度比較嚴重，且系統工作范圍較大的非線性系統，只有使用非線性的分析和設計方法，才能得到較為正確的結果

3、。 要對系統進行高性能和高精度的控制，必須針對非線性系統的數學模型，采用非線性控制理論進行研究。此外，為了改善系統的性能，實現高質量的控制，還必須考慮非線性控制器的設計。例如，為了獲得最短時間控制，需對執行機構采用繼電控制，使其始終工作在最大電壓或最大功率下，充分發揮其調節能力；這了兼顧系統的響應速率和穩態精度，需使用變增益控制器。 非線性特性千差萬別，對于非線性系統，目前還沒有統一的且普遍適用的處理方法。線性系統是非線性系統的特例，線性系統分析和設計方法在非線性控制系統的研究中仍將發揮非常重要的作用 二、非線性系統的運動特點(一)穩定性 與系統的結構和參數及系統的輸入信號和初始條件有關。 研

4、究時應注意： 1、系統的初始條件； 2、系統的平衡狀態。二、非線性系統的運動特點tE0e(t)(二)系統的零輸入響應形式 某些非線性系統的零輸入響應形式與系統的初始狀態有關。 非線性系統，在初始狀態的激勵下，可以產生固定振幅和固定頻率的周期振蕩，這種周期振蕩稱為非線性系統的自激振蕩或極限環。二、非線性系統的運動特點(三)極限環（自激振蕩）e(t)頻率0振幅K 0K K =0K非線性彈簧M重物粘性阻尼器B系統微分方程：M +B +Kx+ x =0K3x.x.(四)頻率響應系統進行強迫振蕩實驗時的微分方程是：M +B +Kx+ x =Pcoswt K3x.x.頻率響應具有硬彈簧的機械系統00 x1

5、23465K 0具有軟彈簧的機械系統040 x51326K 0 x.0且a2-4b0，兩個實部為負的共軛復根，相軌跡奇點為穩定的焦點。（2） a0且a2-4b0且a2-4b0兩個負實根，相軌跡奇點為穩定的節點。（4）a0且a2-4b0兩個正實根，相軌跡奇點為不穩定的節點。（5）a=0，一對虛根，相軌跡奇點為中心點。（6）b0, m=M，系統方程為：在區域內 T + =KMe.e.e0, m=-M系統方程為：與T + =-KMe.e.其相平面圖對稱于原點 比較,M-M-em若繼電元件有滯環特性 DD)()( 0時,當eMeMme DD)()( 0時,當eMeMme 在 0時的平面內，分界線為e

6、D。在 0時的平面內，分界線為e D。它們把相平面分為兩部分。 eee e.其右半平面，系統在M信號作用下，系統方程為：T + =-KMe.e.相軌跡為曲線族。其左半平面，系統在M信號作用下，系統方程為：T + =KMe.e.相軌跡為曲線族 。M-M-em若繼電元件有死區 當 eD , m M當 eD , m M當 DeD , m 0元件特性為：分界線為e D和e D，它們將相平面分為三個區域 e e.在區域內 T + =-KMe.e.在區域內 T + =KMe.e.在區域內T + =0e.e.Tee1dd相軌跡斜率為：8.3 非線性特性的描述函數一、諧波線性化o 描述函數 (describi

7、ng function) 是對非線性特性在正弦信號作用下的輸出，進行諧波線性化處理之后得到的，表達形式上類似于線性理論中的幅相頻率特性。描述函數法對系統的基本假設是：1、可歸化為下圖所示的典型結構。2、非線性部分輸出中的高次諧波振 幅小于基波振幅。 3、線性部分的低通濾波效應較好。 非線性特性G輸入信號x(t)Asinwt 0357Y)sin331(sin4)(ttMtyww01)sin(21214ntnnMw方波信號的富里葉級數Mxy0yM02 t02 tx推廣到一般情況，設輸出信號可以表示為富氏級數形式: 10)sincos(2)(nnntnBtnAAtyww10)(sin2nnntnYA

8、w1,2,3)d()sin(120nttntyBn wwnnnnnnBABAYarctan22 ; 0,1,2)d()cos(120nttntyAn ww式中若非線性特性具有奇對稱特性，則A00 )(sinsincos)(1111wwwtYtBtAty式中 ww201)d()cos(1tttyAww201)d()sin(1tttyB11121211arctanBABAY ; 二、描述函數(describing function) 非線性元件輸出信號y(t)中的一次諧波分量y1(t)與正弦輸入信號x(t)的復數比，稱為非線性元件的描述函數(describing function)，其數學表達式為

9、 BjAYN XAA1111()BjAYN XAA1111()式中：A為非線性元件正弦輸入信號的振幅；Y1為非線性元件正弦輸入信號中一次諧波分量的振幅； 1為非線性元件正弦輸入信號中一次諧波分量的角位移。三、典型非線性特性的描述函數(一)飽和非線性 輸出 y(t)k輸入x(t)s-s020-11x(t)X tx(t) Xsinwt 20 1-1ksy(t) ty(t)y1(t) Y1sinwt sxkssxtkXty wsin)(飽和非線性輸出 由于飽和非線性是原點單值奇對稱 所以，A00，A10 從圖中可得 sA1arcsin0arctan111121211BABBAY 20201)d()s

10、in(4)d()sin(1wwwwtttytttyB11kAttttwwww2204sind()sind()11kAsttttAwwww2204sind()sind()11kAstttAwww20411sin2cos24 kAssssAAA22arcsin1-(A) 飽和非線性的描述函數為 YBN XAA111() ksssAAA22arcsin1 s(A)0 x(t)X2-11 tx(t) Xsinwt 輸出 y(t)k輸入x(t)0-k20 1-1y(t) ty(t)y1(t) Y1sinwt (二)死區非線性 非線性的輸出 DDDXtXkXty )sin( 0)(w20201)d()si

11、n(4)d()sin(1wwwwtttytttyBD2)d()sinsin(4www1tttXkD222)d(sin)d(sin4wwww11ttXttkX )(-1arcsin222DDDDXXXXkX 死區非線性的描述函數為 XBXYXN111)( -1arcsin22 DDDXXXkk )(DX mhM-M-mhh-hy(t)x(t)020 x(t)X tx(t) Xsinwt 31242y(t) ty(t)y1(t) Y1sin(wt +1)03421(三)具有死區和滯環的繼電器型非線性非線性的輸出 )(4321 wwtMtMty , Xharcsin1Xmharcsin23, Xha

12、rcsin3 Xmharcsin21)(0 m式中：由于具有死區和滯環的繼電器特性是對原點多值奇對稱，它在正弦輸入作用下的輸出量y(t)既不是奇函數又不偶函數，所以A1和B1都必須計算，但A00 ww201)d()cos(1tttyA4321)d(cos)d(cos1wwwwttMttM4321sinsinwwtMtM)( 1)(2hXmXMhww201)d()sin(1tttyB4321)d(sin)d(sin1wwwwttMttM4321cos-cos-wwtMtM)( 11222hXXmhXhM于是具有死區和滯環繼電器的描述函數為 XjABXN11)()( 1)(2112222hXmXM

13、hjXmhXhXM8.6 用描述函數分析非線性函數v 非線性系統的典型結構v 非線性系統的穩定性分析 v 非線性系統自激振蕩的穩定性分析 v 非線性系統結構圖的簡化 o 對非線性系統進行分析，首先考慮的是穩定性和自激振蕩問題。o 描述函數法對于系統的穩定性、產生自激振蕩的條件、自激振蕩的振幅和頻率的確定、以及如何抑制自激振蕩等問題，都能夠給出比較符合實際的解答。 一、非線性系統的典型結構 一個非線性環節的描述函數只是表示了該環節在正弦輸入下，環節輸出的一次諧波分量與輸入的關系。如果這個系統發生了自激振蕩，我們總可以假定非線性環節輸入端的振蕩是接近于正弦波的形式。 如圖所表示的非線性控制系統，其

14、中G代表系統的線性部分。非線性特性G二、非線性系統的穩定性分析若已知系統中非線性特性的描述函數N(X)和線性部分的頻率特性G(jw)，則系統的特征方程為 1N(X)G(jw )0 或 N(X)G(jw ) 1 可改寫為G(jw )N(X)1線性系統的特征方程為 G(jw ) 1 根據復平面內系統的開環頻率特性G(jw )曲線與臨界點(1，j0)的相對位置，應用乃奎斯特(Nyquist)穩定判據，可以分析線性控制系統的穩定性。 在同一復平面內畫以w 為參變量的系統線性部分的頻率特性G(jw )曲線和以X為參變量的非線性特性的負倒描述函數1/N(X)曲線，根據兩者的相對位置，應用乃奎斯穩定性判據，

15、可以分析諧波線性化后非線性系統零平衡狀態的穩定性。 可以把乃奎斯特穩定判據，推廣應用于諧波線性化的非線性系統，需要修改的僅僅是將復平面內的臨界點(1，j0)擴展為臨界曲線-1/N(X)曲線。 利用乃奎斯特穩定性判據，如果如果 1/N(X)曲線不被曲線不被G(jw w )曲線包圍，則系統的零曲線包圍，則系統的零平衡狀態是穩定的。平衡狀態是穩定的。=0+XReImG(jw)=0-1N(X)(a)0如果如果 1/N(X)曲線被曲線被G(jw w )曲線全部包圍或曲線全部包圍或部分包圍，則系統狀態在干擾作用下，不部分包圍，則系統狀態在干擾作用下，不能回到零平衡狀態，所以系統就是不穩定能回到零平衡狀態，

16、所以系統就是不穩定的。的。 X0ReImG(jw)=0-1N(X)(b)AA=0+0ReImG(jw)=0X-1N(X)A B BB(c)三、非線性系統自激振蕩的分析如果非線系統的負倒描述函數1/N(X)曲線與線性部分頻率特性G(jw )曲線相交，交點處的參數振幅Xi和頻率wi使系統的特征方程成立，非線性系統可能產生Xisinwit的自激振蕩。 AA=0+0ReImG(jw)=0X-1N(X)A B BB(c)在復平面內在復平面內G(jw w )曲線與曲線與 1/N(X)曲線有交曲線有交點，在交點處，沿點，在交點處，沿A增加的方向增加的方向-1/N(X)曲曲線由不穩定區進入穩定區，則該交點處的

17、線由不穩定區進入穩定區，則該交點處的代表的是穩定周期運動（自激振蕩）；反代表的是穩定周期運動（自激振蕩）；反之，該交點處的代表的是不穩定周期運動。之，該交點處的代表的是不穩定周期運動。 分析非線性系統自激振蕩穩定性的判據為：例8.4 解：ANM1(A)4 )(1)-4(1)(18)-(1241)(4)(22222222wwwwwwwwwwwwjjjjjGX=0+0ReImG(jw)=0-2-1N(X)8M,=1X=4s(s+1)2 M-My(t)x(t)-x(t)0作G(jw)和-1/N(A)如右圖所示.在交點處，沿A增加的方向-1/N(X)曲線由不穩定區進入穩定區,故存在自振.令G(jw)的

18、虛部為零 ,求得交點處的頻率w 1w 202)(1wwjG代入G(jw)的表達式，得w 1(弧度/秒)交點處的參數應滿足 )(1)(xNjGwAM 24即 自激振蕩的參數為A8M/，w 1。 A8M/ M-Mx(t)4s(s+1)2y(t)-x(t)-hhM=1,h=0.6例8.5 )(1)-4(1)(18)-(1241)(4)(22222222wwwwwwwwwwwwjjjjjG解 NMhAAhAA22-1-1(A)41 ()-1(A0.6)1.2730.61 ()作G(jw)和-1/N(A)如右圖所示.)(1)(xNjGw由得到:12110.6182.46AAwwwG(jw)-2X=0.618=1 X=2.46=1-0.9480ReIm-1N(X)XX當A1=0.618時,在交點處，沿A增加的方向-1/N(X)曲線由穩定區進入不穩定區,故不存在自振.當A2=2.46時,交點處，沿A增加的方向-1/N(X)曲線由不穩定區進入穩定區,故存在自振.所以:自振參數: A=2.46,w 1四、非線性系統結構圖的簡化 為了應用描述函數法分析系統的穩定性及自激振蕩，需要將實際系統的各種結構形式歸化為典型結構。 在討論自激振蕩時，只研究系統內部的周期運動，并不考慮外部作用。因此，在將結構圖歸化時，可以認為所有外作用均為零。 eN1N2Gc兩個非線性部件并