1、.中考壓軸題中的數形結合一般性數學試卷的最后一題在測試學生的數學素養的基礎上，本著適度區分的原則，最后一題的三個小題的坡度逐漸提升，達到分層的效果這些試題一般性取材于課本但高于課本，強調知識的靈活運用，綜合性較強，原創題較少，大多屬于改編體，它們的基本圖形在幾何畫板中加以研究，達到推陳出新的效果，絕大多數屬于改編題下面以08年靜安、楊浦兩區模擬考最后一題為例，進行歸納分析它們的難度略低于中考的壓軸題例1（08靜安）如圖，在四邊形ABC D中，B=90，AD/BC，AB=4，BC=12，點E在邊BA的延長線上，AE=2，點F在BC邊上，EF與邊AD相交于點G，DFEF，設AG=x, DF=y（1

2、）求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；（2）當AD=11時，求AG的長；（3）如果半徑為EG的E與半徑為FD的F相切，求這兩個圓的半徑分析：本題以直角梯形為載體，第1小題梯形結合相似形知識來研究兩條線段的數量關系，探求函數關系式和定義域;第2小題在研究特殊情況下知道函數值AD=11求自變量AG的值，第三小題結合圓的內容以兩圓相切（外切和內切）這一知識點來壓軸其實如果學生基礎扎實，利用兩圓相切關系建立等式：當E與F外切時，EF=EG+FD=EG+FG，當E與F內切時，EF= FDEG，相關的量都用含自便量的代數式來表示，從而利用關系等式建立方程，解方程求出自便量的值，再求出兩個圓的半徑，考察了

3、方程思想略解：（1）AD/BC，B=90，EAG=B=90，EG=FG= DFG=EAG=90，EGA=DGF，DFGEAG，y關于x的函數解析式為，定義域為 （2）DFGEAG，GD= 當AD=11時， 經檢驗它們都是原方程的根，且符合題意，所以AG的長為1或 （3）當E與F外切時，EF=EG+FD=EG+FG，FD=FG，DFGEAG，E=AGE=FGD=GDFAG=AE=2； E的半徑EG=，F的半徑FD=當E與F內切時，EF= FDEG，3，E的半徑EG=，F的半徑FD= 所以E的半徑為2，F的半徑為4；或E的半徑為，F的半徑為4例2（08楊浦）如圖，RtABO在直角坐標系中，ABO=

4、900，點A（-25，0），A的正切值為，直線AB與y軸交于點C（1）求點B的坐標；（2）將ABO繞點O順時針旋轉，使點B落在x軸正半軸上的B/處。試在直角坐標系中畫出旋轉后的A/B/O，并寫出點A/的坐標；AOBxyxC（3）在直線OA/上是否存在點D，使COD與AOB相似，若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由 分析：本題以直線(一次函數)為載體，它與坐標軸的結合鑲嵌了母子直角三角形在內，結合三角比知識求點B的坐標就構成了第一小題; 第二小題結合我們上海考題的一貫特色，圖形三大運動之一旋轉來考察學生的畫圖能力，直接寫出坐標則秉承了上海06年中考24題的一貫分格，只不過06年的24題以

5、二次函數為載體；第三小題則結合了相似形只是考察分類討論的數學思想和方程思想其實這種習題如果學生留意一下,就會成為傻瓜題,不管是否結合坐標系背景,只要是文字語言敘述的存在性問題,都會保證一個字母相同(提供一個相等的角)分兩種情況；如果沒有相同字母時一定會隱藏相等的叫在里面，分類討論的方法相同,如挖掘出A=COA/當或時,第1、2比例項不變，第3、第4比例項調換位置，最多時有三個答案略解：（1）易得B（16，12）（2）正確畫圖A/（20，15）（3）在RtAOC中，AO=25，tgA=，OC=設OA/的解析式為y=kx，則15=20k，則k=，y=xABO旋轉至A/B/O，AOB=A/OB/，A

6、OB+A=900，COA/+A/OB/=900，A=COA/在直線OA/上存在點D符合條件，設點D的坐標為（x，x），則OD=1) 當即，也即x=16時，COD與AOB相似，此時D（16，12）2) 當即，即x=時COD與AOB相似，此時D（）1對于兩類壓軸題的對比分析圖 形(1)AOBxyxC(2)共同點代數、幾何的高度綜合（數形結合）；著力于數學本質及核心內容的考查;四大數學思想：數學結合、分類討論、方程、函數不 同 點以形為載體，研究數量關系以數為平臺，研究形的特征通過設、表、列獲得函數關系式通過方程思想確定點的坐標或函數關系式研究特殊情況下的函數值研究特殊圖形的存在性我市今年各區最后兩

7、題均屬于一道以形為載體，研究數量關系、一道以數為平臺，研究形的特征，這也和最近兩年中考題最后兩題吻合2習慣于思考試題編制方法與策略要結合想考察的內容，有針對性地選好起點題，這個起點題可以是課本上的例習題，也可以是往年的中考題只要題的基礎好，有它的發展的空間，就可以將它進行拓展、引申,即變式或改編改編的方法很多，例如，改換或置換題設與結論，強化或弱化條件；改變或轉換考查目標與題型，縱向挖掘，橫向發展，以及改換試題背景，改變命題的呈現形式（如開放、探索式），改換圖形（如由等腰直角三角形改為等邊三角形或直角三角形或一般等腰三角形）等同一起點題需要進行多方面、多角度進行改編，在控制難度的前提下，達到試

8、題需要所要發揮的功效譬如說（08靜安）就是以直角梯形作為載體,結合相似形知識編制出1、2小題，也只有結合圓的知識形成探索，利用圓與圓的位置關系這一基礎知識點滲透方程和分類討論的數學思想，其次，（08楊浦）題則以直線（一次函數）作為載體，結合相似形中的基本圖形（母子三角形）或是運用三角比知識來確定點的坐標，最后一小題則是相似形知識滲透分類討論和方程思想來確定點的坐標其實這題還可以再添一條線，作其它變化 例3如圖，已知P與軸相切于坐標原點O，點A(0 ,2)是P 與軸的交點，點B,連結BP交P 于點C,連結AC并延長交軸于點D(1) 求線段BC的長；(2) 求直線AC的函數解析式；(3) 當點B在

9、軸上移動時，是否存在點B，使BOP相似于AOD? 若存在，求出符合條件點的坐標;若不存在，請說明理由該題還可以作出其它變化，這里對它的開放性不一一列舉編制習題如改換題設,拓展知識深度和廣度; 改變圖形，追求知識本質的理解;改換題型，增強思維的靈活性和深刻性;改換角度，理清知識之間相互聯系;改編情景，訓練理解能力和建模能力等以下舉例進行對比分析: AQPDCB例4（1）（06松江）如圖，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，C=90，CD=9，BC=，P、Q分別是邊AB、CD上的動點（點P不與點A、點B重合），且有BP=2CQ（1）求AB的長；（2）設CQ=,四邊形PADQ的面積為，求關于的函數解

10、析式，并寫出的取值范圍；（3）若以C為圓心、CQ為半徑作C，以P為圓心、以PA的長為半徑作P當C與P外切時，試判斷四邊形PADQ是什么四邊形，并說明理由分析：本題從載體到每個小題考察的內容都是和08靜安的最后一題的編制手法類似的DyOAOBOxC（2）如圖，已知二次函數的圖象經過點，與軸交于點，軸，且（1）求的值；（2）求二次函數的解析式；（3）如果二次函數的圖象與軸交于C、D兩點（點C在左惻）問線段BC上是否存在點P，使POC為等腰三角形；如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由分析：本題從載體到每個小題考察的內容都是和08楊浦的最后一題的編制手法類似的壓軸的點從06年的等腰三角形的

11、存在性變化為08楊浦相似形的存在性，共性在于：分類討論和方程思想的使用下面再以一道習題感悟習題的改編的策略例6【起點題】如圖1，CAE是ABC的外角，ADBC，且1=2，求證：AB=AC.改編1.如圖1，CAE是ABC的外角，AB=AC，且1=2，求證： ADBC.改編2. 如圖2，CAE是ABC的外角，ADBC，且1=2，AF為ABC的中線，求證：AFAD.改編3. 如圖3，CAE是ABC的外角，ADBC，且1=2，過AC的中點H作AD的垂線交AE于G，求證:AG=AB. 改編4.如圖4，CAE是ABC的外角，ADBC，且1=2，過C作CGAD于G，F為BC的中點，連結FG.（1）AC與FG

12、有何數量關系？并說明理由；（2）當ACFG時，ABC應為什么三角形？ABCDMNE改編5. 已知：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明這類習題只屬于常規的中檔題.就不在加以論述.其實，上述例題很常規，流行于外省市中考題的中檔題，上海還沒有改編.但是最后壓軸題以幾何為載體的不過是分為圓與三角形、特殊的四邊形，如果是前者，最后一小題用等腰、直角、相似性存在性問題壓軸；如果是后者，一般性最后一小題就是加入圓的內容，運用直線與圓相切

13、（07上海最后一題）、圓與圓的位置關系的討論（08上海最后一題）等.3. 讓試題成為教師的朋友一般性,試題的八個維度：看題，做題，選題，組題，講題，編題，研題，評題.從題上顯功夫.與試題對話.教師先要做題，知道關鍵所在；將題目分類，同類題中將題目分層分類理順；觀察、比較、研究題目之間的內在聯系；最后總結提煉出帶規律性的東西來；這時精選題目，將題目分組,回歸應用；讓學生經歷自己相類似的發現過程再對學生進行指導促進提高他們的數學素養.譬如,去年上海數學卷24題學生的失分很多,原因在于南匯的同行們類似的習題就講解不多,學生們讀不懂該題,感覺陌生.許多同學第2小題都作不出來，導致得分率不高.如圖，在直

14、角坐標平面內，函數（，是常數）的圖象經過，其中過點作軸垂線，垂足為，過點作軸垂線，垂足為，連結，（1）若的面積為4，求點的坐標；（2）求證：；（3）當時，求直線的函數解析式分析：于同時具有以形為載體，研究數量關系，以數為平臺，研究形的特征略解：（1）（2）（3）方法1:，當時，有兩種情況：當時，四邊形是平行四邊形，由（2）得，得點的坐標是（2，2）易得直線的函數解析式是 當與所在直線不平行時，四邊形是等腰梯形，則，點的坐標是（4，1）易得直線的函數解析式是 或是方法2:當時，由兩點間距離公式建立關于的方程，用方程思想求出的值加以求解.這里方法一就是在考察學生對平行四邊形和等腰梯形的認識來壓軸,或是說