1、l第三講l1.偏微分方程求解有限元法的原理加權余量法和變分法1.解析法2.運用范圍有限，適用于實際求解，但有劇烈的物理含義常系數微分方程3.某些復雜問題，很思索根本找不到解析解4.2. 數值法5.工程實踐中運用廣泛，復雜場域問題，但物理含義不很清楚。任何問題總可以找到數值解數學方法222222tJtAA.l2.數值求解方法2/41. 根本思想： 以偏微分方程的近似解來替代其真解，只需近似解與真解足夠以偏微分方程的近似解來替代其真解，只需近似解與真解足夠接近，就可以近似解作為問題的解，并滿足足夠的精度。接近，就可以近似解作為問題的解，并滿足足夠的精度。2. 根本方法：1.假設一個近似解，該解為一

2、組方式上簡單函數假設一個近似解，該解為一組方式上簡單函數 的線性組合的線性組合來表示，線性組合的系數就是一組待定系數來表示，線性組合的系數就是一組待定系數2.然后建立一種思索了微分方程和邊境條件的關于真解然后建立一種思索了微分方程和邊境條件的關于真解 和近似解和近似解間誤差的目的函數間誤差的目的函數 F3.用適當的算法使得該目的函數最小化用適當的算法使得該目的函數最小化最小化的過程就確定了最小化的過程就確定了待定系數，從而也就得到了問題的近似解。待定系數，從而也就得到了問題的近似解。 i iC嘗試函數，基函數，形函數.l2.數值求解方法2/4目的函數最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近

3、真解；目的函數最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得構成近似解的待定系數。另一方面，求得構成近似解的待定系數。數學上，構成目的函數的方法很多，不同的構成方法就構成了不同的數學上，構成目的函數的方法很多，不同的構成方法就構成了不同的數值解法，電磁場中就常見的是：加權余量法和變分法。數值解法，電磁場中就常見的是：加權余量法和變分法。.l3.電磁場位函數偏微分方程的數值求解方法加權余量法電磁場問題總可以用位函數的偏微分方程和相應的邊境條件表述電磁場問題總可以用位函數的偏微分方程和相應的邊境條件表述222222tJtAA ) 1(1g)2()2(22ht兩個偏微分方程方式一

4、樣，故以電位方程的求解過程為例。磁位矢兩個偏微分方程方式一樣，故以電位方程的求解過程為例。磁位矢量的方程可以分解到各個分量上變為標量方程。量的方程可以分解到各個分量上變為標量方程。.在求解場域內，偏微分方程的真解為在求解場域內，偏微分方程的真解為 ，近似解為，近似解為 它由一組簡單函數它由一組簡單函數 的線性組合表達，表達中有待定系數的線性組合表達，表達中有待定系數 即：即：l3.電磁場位函數偏微分方程的數值求解方法加權余量法加權余量法加權余量法 i iC 1niiiC簡單函數，普通選用簡單方式的函數，一旦選定就是知的了待定系數是真正的求解目的問題的自在度近似解.l3.電磁場位函數偏微分方程的

5、數值求解方法加權余量法加權余量法就是一種定義近似解與真解之間誤差即余數，并設加權余量法就是一種定義近似解與真解之間誤差即余數，并設法使其最小的方法。法使其最小的方法。 : 22）（）（上：邊界內場域RR加權余量法誤差即余數的定義：加權余量法誤差即余數的定義：留意：普通余數并不表示近似解與真解間的代數差場域內，加權余留意：普通余數并不表示近似解與真解間的代數差場域內，加權余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差別即余數，來代表近似解量法的采用拉普拉斯算子作用后的差別即余數，來代表近似解整體接近偏微分方程真解的程度。整體接近偏微分方程真解的程度。問題的自在度.l3.電磁場位函數偏微分方程的數值求解方法加

6、權余量法當余數小于要求的精度時，就可以以為近似解就是偏微分方程的解。當余數小于要求的精度時，就可以以為近似解就是偏微分方程的解。要減少余數，我們可以經過尋求適當的待定系數來實現。要減少余數，我們可以經過尋求適當的待定系數來實現。為有效表達減小余數的效果，還選取適當的加權函數，以使余數和該加為有效表達減小余數的效果，還選取適當的加權函數，以使余數和該加權函數的積分為權函數的積分為0?！凹訖嘤嗔糠ǖ膩碛?。加權余量法的來由。 ; *jjww設加權函數為：.l3.電磁場位函數偏微分方程的數值求解方法加權余量法 ,.2 , 1 d d *jRwRwjj，目標函數：加權余數的定義：加權余數的定義：加權函數

7、的選取方法很多：如點重合、子域重合、最小二乘法、迦遼金法。加權函數的選取方法很多：如點重合、子域重合、最小二乘法、迦遼金法。效果較好的、運用較多的是迦遼金法：效果較好的、運用較多的是迦遼金法：jjjww*即：迦遼金法選取嘗試函數本身為加權函數即：迦遼金法選取嘗試函數本身為加權函數.l3.電磁場位函數偏微分方程的數值求解方法加權余量法 0 d d )()(趨于則余數最小，令，RjjjRjFRRF由此構建加權量法的目的函數：由此構建加權量法的目的函數：上述過程中，曾經將偏微分方程轉化為上述過程中，曾經將偏微分方程轉化為j個代數方程組，便于計算機求解。個代數方程組，便于計算機求解。關于函數的函數，稱

8、為：泛函數，或泛函.l3. 加權余量法例1例例1.兩極電容板內部電場分布問題：兩極電容板內部電場分布問題：根據問題特點將根據問題特點將3維問題簡化為維問題簡化為2維，維，進一步簡化為進一步簡化為1維。維。該問題是靜態電場問題，該問題是靜態電場問題，偏微分方程和邊境條件：偏微分方程和邊境條件：;10; 0002d.22112211211 xCxCCCxCCiiiniii加權余量法求解：加權余量法求解：1.選取嘗試函數、構造近似解：選取嘗試函數、構造近似解：1,2)(i iix2.結合問題，寫出余數表達式：結合問題，寫出余數表達式：22C R :22l3. 加權余量法例1實際上恣意選取，操作中越簡

9、單越好 020 )()()(222221122122CxCxCxCiii.2.結合問題，寫出余數表達式：結合問題，寫出余數表達式： ）（）（：Rl3. 加權余量法例1 )xCxC(dx )xCxC( xdxdx0 xx2211221100處：在處：在）（）（221121xCxCxCiii）（ 10 0 00處：在處：在）（）（dxxdxx )dCdC(Rdx R xdxx100022110處：在處：在.3. 加權余數表達式：加權余數表達式：2 , 1 d d )(jRRFjjRj，l3. 加權余量法例1010110010021221232212222110221102dC)d(dCd)ddCd

10、C(dC d )xCxC( ( x d )xCxC( ( x d)C( x d Rd RF,jdx |dxx |0 xd11)R( 1得到一個代數方程：時.3. 加權余數表達式：加權余數表達式：l3. 加權余量法例1010)32( )10(032 d )10)( ( d )0)( ( d)2( d d ,2223132423132 |x221120 |0 x2211202222)(2dCddCdddCdCdCxCxCxxCxCxCxRRFjdxdxdR又得到一個代數方程：時.4. 求解上述兩個代數方程組，得到待定系數，從而確定近似解求解上述兩個代數方程組，得到待定系數，從而確定近似解l3. 加

11、權余量法例10 /10 21；解得：CdCxdxCxCxCiii10221121近似解：）（加權余量法求解流程：加權余量法求解流程：1.選取嘗試函數、構造近似解選取嘗試函數、構造近似解2.結合問題，寫出余數表達式結合問題，寫出余數表達式3. 寫出加權余數表達式寫出加權余數表達式4. 令各加權余數表達式為令各加權余數表達式為0，得到代數方程組，解之得到待定，得到代數方程組，解之得到待定系數，從而確定近似解系數，從而確定近似解.該靜態電場問題的真解解析解：該靜態電場問題的真解解析解：l3. 加權余量法例1真解與近似解一樣是由于嘗試函數選擇的剛好，通常是有差別的，如選用三角函數，但求解過程會復雜，可

12、見嘗試函數的選取是有技巧的。.l4. 加權余量法求解普通化偏微分方程的歸納 )( )(sq 普通化偏微分方程：線性微分算子那么其他數為：sRqR)()()()()()( 1niiiC 其中：令加權余數為0，構建代數方程：0d )(d )(0d )(d )(1*1*)(sCwqCwswqwFniiijniiijjjRj .l4. 加權余量法求解普通化偏微分方程的歸納由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可互換,代數方程變形： d d d)(d)(*1*1swqwCwCwjjniiijniiij 0d )(d )(1*1sCwqCwniiijniiij d swd qwCd)(wd)(w*jj

13、niii*jij1有j個代數方程，通常等于待定系數個數.l4. 加權余量法求解普通化偏微分方程的歸納代數方程寫成矩陣方式：d d d)(d)(*1*swqwCwwjjniiijij系數鼓勵邊境條件bFCK系數矩陣nn待定系數矩陣、源矩陣、邊境矩陣n1矩陣元素值： d d ddswbqwFwwKjjjjijijji*)()( 雖然元素值還需求積分、微分的求得，還難以借助計算機求解，但至少化為了代數方程組。經過選擇適宜的加權函數和嘗試函數可以大大簡化矩陣元素的矩陣方程。有限元方法就是如此.l5. 加權余量法的進一步優化邊境條件的處置22112 hngq適當的選取加權函數，并對加權余數積分進展處置，

14、可使某些邊境條件從加權余數的表達式中消逝，從而簡化矩陣方程及其系數的求解。以有源靜電場問題為例帕松方程.由近似解表述的加權余數為：l5. 加權余量法求解普通化方法的進一步優化 d d RwRwFjjRj*)(留意余數的本質可使上式第二項消失動滿足，則第一類邊界條件自，使得常常選?。┛珊喕嬎愕m當的選取（作限制意選，理論上嘗試函數可任其中近似解：gCiniii, 1 d d )()(*）（）（ jjww d d d 2112)()()(*hnwgwqwjjj ）（ d d d 2211122)()()(*）（）（）（ nwwwjjj.經過嘗試函數，簡化加權余數后：l5. 加權余量法求解普通化方

15、法的進一步優化njhwnwqwwhnwqwFjjjjjjRj,.,)()(*)(321d d d d d d 22222 上式第一項，由格林第一定律得： d d d d 212nwnwwwjjjj 降了微分階數，等于降了近似解嘗試函數的延續性要求，從而擴展了其選擇范圍.代入后：l5. 加權余量法求解普通化方法的進一步優化，則上式被大大簡化如選取加權函數：*)(jjjjjjjjjjjjjjjRjwwhwqwwhwnwqwnwnwwhwnwqwwF d d d d d d d d d d d d d 22221222 由于近似解在1類邊境上常數，所以此項為0選取特殊加權函數后，兩項和為0第二類邊境

16、條件也消逝了，闡明曾經自動滿足了.令加權余數為0即可得到求解原微分方程的一組代數方程：l5. 加權余量法求解普通化方法的進一步優化njhwqwwFjjjRj,.3 , 2 , 10d d d 2)(這里加權函數只需一個了，進一步，用迦遼金法，選加權函數為嘗試函數本身 1niiijjCw，且有近似解表達式：d d d 21hqCjjniiij）（.l5. 加權余量法求解普通化方法的進一步優化d d d 21hqCjjniiij）（由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可互換,代數方程變形： d d d 21hqCjjiniijd d d)(d)(*1*swqwCwwjjniiijij對比簡化

17、前的代數方程：曾經大大簡化，關鍵是邊境條件項全部消逝，微積分計算也降階、簡化.l5. 加權余量法求解普通化方法的進一步優化代數方程寫成矩陣方式： d d d 21hqCjjiniij njnjnjnnnjnninijiinjbbbfffccckkkkkkkkkkkk1112121111211 d d d 2hbqfkkjjjjijjiij 對稱矩陣，簡化計算還有積分求和，梯度差分，有限元將作處置小結：簡化后1、2類邊境條件自動滿足； 嘗試函數、加權函數選取 微分降階，簡化計算 對稱矩陣，簡化計算 根據情況源矩陣、邊境矩陣能夠為0對拉普拉斯方程和帕松方程問題適宜.l6. 簡化后加權余量法 例2例

18、1中的靜電場問題，變為兩電極板接地，中間充溢電荷。帕松方程.34231201xaxaxaxa加權余量法求解：加權余量法求解：1.初選嘗試函數、構造近似解：初選嘗試函數、構造近似解：4)31,2(i :3210，、xxxxi利用問題，對近似解進展簡化，對嘗試函數進展優化利用問題，對近似解進展簡化，對嘗試函數進展優化l6. 簡化后加權余量法 例2經過嘗試函數的選取，近似解滿足1類邊境條件，使得1類邊境條件在方程中消逝324110 00|aaaaxx；由此，嘗試函數和近似解優化為：由此，嘗試函數和近似解優化為：.)()(322312211xxcxxccc 2. 修正嘗試函數，以滿足修正嘗試函數，以滿

19、足1類邊境條件：類邊境條件：)(作好準備、其梯度為：、 3231222132231xxxxxxx l6. 簡化后加權余量法 例2.3.代公式計算矩陣元素代公式計算矩陣元素 邊境矩陣邊境矩陣b為為0l6. 簡化后加權余量法 例2.4. 封裝矩陣：封裝矩陣：l6. 簡化后加權余量法 例25. 求解矩陣，得近似解：求解矩陣，得近似解：.該有源靜態電場問題的真解解析解：該有源靜態電場問題的真解解析解：l6. 簡化后加權余量法 例2真解與近似解一樣是由于嘗試函數選擇的剛好，通常有差別。如例3.l7. 簡化后加權余量法 求解普通化的微分方程 例3偏微分方程描畫的問題如下：212|21 2212 xxdxd

20、xxdxdxdxd| )()( ），（加權余量法求解：加權余量法求解：1.初選嘗試函數、構造近似解：初選嘗試函數、構造近似解：34231201xaxaxaxa 4)31,2(i 3210，、 xxxxi: .利用問題及其邊境條件，對嘗試函數進展優化使近似解滿足邊境條件利用問題及其邊境條件，對嘗試函數進展優化使近似解滿足邊境條件經過嘗試函數的選取，近似解滿足1類邊境條件，使得1類邊境條件在方程中消逝2243211aaaax | 兩個方程，兩個獨立未知數，消兩個方程，兩個獨立未知數，消a1、a2，重定嘗試函數，邊境條件自動滿足，重定嘗試函數，邊境條件自動滿足，簡化求解過程簡化求解過程l7. 簡化后

21、加權余量法 求解普通化的微分方程 例32124823221432224322 aaaxaxaaxdxdxxx|)(| )( .2. 修正嘗試函數，以滿足修正嘗試函數，以滿足1、2類邊境條件：類邊境條件：)()()()()(111314491111314492212321 xxxCxxCxxxxxxx且近似解為：、 l7. 簡化后加權余量法 求解普通化的微分方程 例302102| 021 2212 xxdxdxRxdxdxdxdR| )(:)()( 條件自動滿足嘗試函數的選取，邊界），（余數為：余數為：.l7. 簡化后加權余量法 求解普通化的微分方程 例32221222124331441 211

22、1314491xxCxCxdxdxdxdRxxxCxxCx )()()()()()(代入： 結合問題，余數的詳細表達式為：結合問題，余數的詳細表達式為：問題的加權余數目的泛函為：問題的加權余數目的泛函為： 0 d 24331441 d d 2221 )()()(xxCxCRRFjjjRj .4. j=2,3時得代數方程：時得代數方程：5. 求解矩陣，得近似解：求解矩陣，得近似解：l7. 簡化后加權余量法 求解普通化的微分方程 例3 0d 24331441 31 d 24331441 21222121222122 )()()()()()()(xxCxCxxxxCxCFR 0d 24331441

23、111 d 24331441 212221221222133 )()()()()()()(xxCxCxxxxxCxCFR .5. 求解矩陣，得待定系數和近似解：求解矩陣，得待定系數和近似解：l7. 簡化后加權余量法 求解普通化的微分方程 例3)(.)(.)(.11134710311378244913471013782221 xxxxxxCC、 .真解解析解：真解解析解：l7. 簡化后加權余量法 求解普通化的微分方程 例3.l8. 歸納加權余量求解偏微分方程步驟加權余量法求解流程：加權余量法求解流程：1.初步選取嘗試函數、構造近似解初步選取嘗試函數、構造近似解2.結合問題的邊境條件對嘗試函數進展

24、修正，以簡化求解結合問題的邊境條件對嘗試函數進展修正，以簡化求解3.寫出余數表達式寫出余數表達式3. 寫出加權余數表達式迦遼金方法選取加權函數寫出加權余數表達式迦遼金方法選取加權函數4. 令權余數表達式在各嘗試函數下為令權余數表達式在各嘗試函數下為0，得到代數方程組，解，得到代數方程組，解之得到待定系數，從而確定近似解之得到待定系數，從而確定近似解.l8. 歸納加權余量求解偏微分方程步驟加權余數法求解普通性偏微分方程的方法：方程的近似解被表示為一系列獨立的嘗試函數的線性組合，其中包括未知的待定系數。通常用迦遼金原理選取加權函數，即令加權函數等于嘗試函數本身，從而完成對加權余數的定義，(嘗試函數

25、的選取滿足邊境條件)經過對加權函數在區域內和在邊境上的積分使其平均值為零，也就是說，使近似解與準確解之間的差別在某種目的下到達最小化。如此可以構成一個矩陣方式的代數方程組，求解該矩陣方程可以確定待定系數從而得到偏微分方程的獨一近似解。.l9. 變分法簡介另外一種求解偏微分方程的普通方法，即變分法。變分法與加權余數法類似，近似解也用一系列線性獨立的嘗試函數表示包括未知的待定系數。與加權余數法不同的是，變分法用另外的方法來構成求解待定系數的矩陣方程。在變分法中，首先要構成一個近似解的函數，稱為泛函。從廣義來說，加權余數積分(即平均值)也是一種泛函。然后使該泛函最小化，從而減小近似解的誤差。普通說來，要找到一個適宜于偏微分方程及邊境條件的泛函是一項難度很大的任務。由于前人已做了許多研討任務，已找到了適宜于許多常見方式的偏微分方程的泛函。對于電磁場方程來說，偏微分方程常具有拉普拉斯、帕松和赫姆