1、10/21/20211,x,exf2x2)(221)().,(2nx, 0為常數其中一、正態分布的定義一、正態分布的定義定義. 設隨機變量x的概率密度為則稱x服從正態分布正態分布記作1. 正態分布正態分布 ( normal distribution )或高斯分布高斯分布 ),10/21/20212；21最大值正態密度函數的特性：正態密度函數的特性：x rx,exf2x2)(221)(21)(xfy ；對稱曲線關于x) 1 (取得時當)(2xfx，）（；，軸為漸近線以時當xxfx0)()3(121)4(222)(dxexxydxe2222)(x10/21/202130.511.5，）（對稱軸不變

2、的大小時改變當固定)(6xf圖形越矮越胖.越大圖形越高越瘦越小而形狀在改變,；，.)(5軸作平移變化只是沿著的圖形不變的大小時改變當固定yxf，）（xxyooxy31110/21/202142. 標準正態分布標準正態分布為標準正態分布標準正態分布,1, 0時當,nx1)(0,特別地,.x,exx2221)(oxy.dtexxt2221)(且其分布函數：x)(x則稱n(0,1)其概率密度為10/21/20215：) )的的性性質質( (標標準準正正態態分分布布函函數數x).(1xoxy)(xxx)0() 1 (;21)()2(dxex2221, 1)( x;222dxex(3)10/21/202

3、16).1, 0( ny3. 正態分布向標準正態分布的轉化正態分布向標準正態分布的轉化),(2nx若,xy將隨機變量x進行標準化標準化,即令則有則x落在區間x1, x2 內的),(2nx)(21xxxp定理：定理：設.xx)()(12概率為10/21/20217二、正態分布的數字特征二、正態分布的數字特征;)(. 1xe期望.)(. 22xd方差xdx)()(3. 標準差10/21/20218( 法則)求 x 落在區間內的概率.),(2nx)3,3(解解: :.9973. 03 3倍標準差原理倍標準差原理: : 3 設 很大,基本上認為此區間 為x實際可能的取值區間.997. 0)3|(|xp

4、則例例. .設隨機變量)33(xp)3()3()3()3(1)3(2199865. 02),(2nx)33(,10/21/20219思考：思考：？，,變化嗎變化嗎變化的時候變化的時候當當)(|x|p.)|(|保持不變但變化xp，、.6826. 0) 1|(|xp)|(|xp) 1() 1 (1) 1 (218413. 02分析分析:),n(x2設設10/21/2021103(3(線性組合性線性組合性).).設且x、y相互獨立, 則正態分布的性質正態分布的性質nxxx,21, 2 , 1),(2ninxiii),(2nx).,(22bbanbxay則1 (線性性線性性). 若),(),(22yy

5、xxnynx).,(22yxyxnyx2 (可加性可加性). 設相互獨立，且則).,(12211niiiniiiniiiccnxc10/21/202111且,21nxxx;, 2 , 1, 0)(,)(2nixdxeii則隨機變量xnnxpniin1lim設隨機變量相互獨立, 服從相同的分布,定理定理1.1.獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理 .dtext2221nnxynii*n1對于任何實數x，有10/21/202112注：注：,) 1 (*分布的分布將趨于標準正態時當nyn，).1, 0(*anyn即(3) 獨立同分布的隨機變量的和近似服從正態分布. );,(1);,()2

6、(2121*nanxnxnnanxyniiniin10/21/202113定理定理2.2.棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理 設在獨立試驗序列中，事件a的概率p(a)=p( 0p1 ), 隨機變量 yn 表示事件a在n次試驗中發生的次數， 則對于任何實數x，有xpnpnpypnn)-(1lim.dtext2221注：注： 由定理知yn b(n, p).當n充分大時, 將yn標準化后, 其近似服從n(0,1);而 yn近似服從n (np, np(1-p).10/21/202114二維正態分布二維正態分布,121),()()(2)()1(21222222yyyxyxxxyyxrxryxeryxf.) 1|(|, 0, 0,是分布參數，其中rryxyx定義定義: 設二維連續隨機變量設二維連續隨機變量(x,y)的聯合概率密度的聯合概率密度則稱則稱(x, y)服從二維正態分布，記作服從二維正態分布，記作),(),(22rnyxyxyx10/21/202115定理定理1 設二維隨機變量設二維隨機變量(x,y)服從二維正態分布服從二維正態分布為何值，都有正態分布，且無論參數的邊緣分布都是與則) 1|(|yx),(22rrrnyxyx可見，聯合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布可見，聯合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不