1、完美WORD格式 導數及其應用 【考綱說明】1、了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函數的概念。2、熟記八個基本導數公式；掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則，了解復合函數的求導法則，會求某些簡單函數的導數。3、理解可導函數的單調性與其導數的關系；了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件(導數在極值點兩側異號)；會求一些實際問題(一般指單峰函數)的最大值和最小值。 【知識梳理】導 數導數的概念導數的運算導數的應用導數的幾何意義、物理意義函數的單調性函數的極值函數的最值常見函數的導數導數的運算法則一、導

2、數的概念函數y=f(x),如果自變量x在x0處有增量，那么函數y相應地有增量=f（x0+）f（x0），比值叫做函數y=f（x）在x0到x0+之間的平均變化率，即=。如果當時，有極限，我們就說函數y=f(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x0處的導數，記作f（x0）或y|。即f（x0）=。說明：（1）函數f（x）在點x0處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數在點x0處不可導，或說無導數。（2）是自變量x在x0處的改變量，時，而是函數值的改變量，可以是零。由導數的定義可知，求函數y=f（x）在點x0處的導數的步驟：（1）求函數的增量=f（x0+）f（x0）；（2）求平均變化

3、率=；（3）取極限，得導數f(x0)=。二、導數的幾何意義函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0）處的切線的斜率是f（x0）。相應地，切線方程為yy0=f/（x0）（xx0）。三、幾種常見函數的導數 ; ; ; .四、兩個函數的和、差、積的求導法則 法則1：兩個函數的和(或差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(或差)，即： ( 法則2：兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘以第二個函數,加上第一個函數乘以第二個函數的導數，即：若C為常數,則.即常數與函數的積的導數等于常數乘以函數的

4、導數： 法則3：兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數稱為復合函數。復合函數求導步驟：分解求導回代。法則：y|x= y|u u|x五、導數應用1、單調區間：一般地，設函數在某個區間可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數；如果在某區間內恒有，則為常數；2、極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；3、最值：一般地，在區間a，b上連續的函數f(x)在a，b上必有最大值與最小值。求函數(x)在(a，b)內的極值；

5、求函數(x)在區間端點的值(a)、(b)；將函數(x)的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定積分(1)概念：設函數f(x)在區間a，b上連續，用分點ax0x1xi1xixnb把區間a，b等分成n個小區間，在每個小區間xi1，xi上取任一點i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區間長度），把n即x0時，和式In的極限叫做函數f(x)在區間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間a，b叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。基本的積分公式：C； C（mQ， m1）；dxl

6、nC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數）。(2)定積分的性質（k為常數）；（其中acb。(3)定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x) (f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a0，且x1時，f(x)，求k的取值范圍。b=1f(x)=1【解析】(1)f,(x)=由于直線x+2y-3=0的斜率為，且過點(1,1)，=f,(1)=故 即 解得a=1，b=1。(2)由（1）知，所以。考慮函數，則。(i)設，由知，當時，。而，故當時，可得；當x（1，+）時，h（x）

7、0從而當x0,且x1時，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）設0k0,故h （x）0,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）0，可得 h（x）0;當x時，f (x)0,所以f(x)在x=處取得極大值，在x=處取得極小值。（2） 若為上的單調函數則f (x)恒大于等于零或f (x)恒小于等于零，因為a0所以=（-2a）2-4a0，解得00）.（）令F（x）xf（x），討論F（x）在（0.）內的單調性并求極值；（）求證：當x1時，恒有xln2x2a ln x1.【課后作業】一、選擇題1.（2005全國卷文）函數,已知在時取得

8、極值,則=( ) A 2B 3C 4D 52(2008海南、寧夏文）設，若，則（ ）A B C D 3（2005廣東）函數是減函數的區間為（ ）A B C D（0，2）4.（2008安徽文）設函數 則（ ）A 有最大值 B 有最小值 C 是增函數D 是減函數5（2007福建文、理）已知對任意實數x有f(x)=f(x)，g(-x)=g(x)，且x0時，f(x)0，g(x)0，則x0，g(x)0 B f(x)0，g(x)0C f(x)0 D f(x)0，g(x)0）有極大值9. （）求m的值； （）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.【參考答案】【課堂練習】一、選擇110AADBD DD

9、CCC(2) 填空（1） 3 ； 12； 13. 2 ； 14. ,球的體積函數的導數等于球的表面積函數三、解答題15. 解：每月生產x噸時的利潤為，故它就是最大值點，且最大值為：答：每月生產200噸產品時利潤達到最大，最大利潤為315萬元.16. 解：()因為, 所 即當因斜率最小的切線與平行，即該切線的斜率為-12，所以 解得()由()知 17解：（1） 求導：當時，, 在上遞增當，求得兩根為即在遞增, 遞減, 遞增（2）要使f(x)在在區間內是減函數，當且僅當，在恒成立，由的圖像可知，只需，即, 解得。a2。所以，的取值范圍。18.解：（）因為 所以切線的斜率為故切線的方程為即。（）令y

10、= 0得x=t+1, x=0得所以S（t）=從而當（0，1）時，0, 當（1,+）時,0,所以S(t)的最大值為S(1)=。19 解：的定義域為（）當時，；當時，；當時，從而，分別在區間，單調增加，在區間單調減少（）由（）知在區間的最小值為又所以在區間的最大值為20.（）解：根據求導法則得故 于是列表如下：x (0,2) 2 (2,+)F（x） - 0 +F(x) 極小值F（2） 故知F（x）在（0，2）內是減函數，在（2，+）內是增函數，所以，在x2處取得極小值F（2）2-2In2+2a.（）證明：由于是由上表知，對一切從而當所以當故當【課后作業】1、 選擇1-10 DBDAB ACABD1

11、、 填空11. ； 12. ；13. 32；14. 2 , -2 .三、解答題15. 解：（I） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3，所以函數f(x)的單調遞減區間為（，1），（3，）（II）因為f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a，所以f(2)f(2)因為在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上單調遞增，又由于f(x)在2，1上單調遞減，因此f(2)和f(1)分別是f(x)在區間2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函數f(x)在區間2，2上的最小值為716.解（），。從而

12、是一個奇函數，所以得，由奇函數定義得；（）由（）知，從而，由此可知，和是函數是單調遞增區間；是函數是單調遞減區間；在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。1、 解：()由的圖象過點P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)處的切線方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,即解得b=c=-3。故所求的解析式為f(x)=x3-3x2-3x+2,() (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,當x1+時, (x)0;當1-x1+時, (x)0f(x

13、)=x3-3x2-3x+2在(1+,+)內是增函數,在(-, 1-)內是增函數,在(1-,1+)內是減函數.18.解：設長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為.故長方體的體積為從而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當0x1時，V（x）0；當1x時，V(x)0，故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。從而最大體積VV（x）912-613（m3），此時長方體的長為2 m，高為1.5 m.答：當長方體的長為2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m3。19解：（）因為是函數的極值點，所以，即，因此經驗證，當時，是函數的極值點（）由題設，當在區間上的最大值為時，對一切都成立，即對一切都成立令，則由，可知在上單調遞減，所以， 故a的取值范圍是（2）當時，拋物線的對稱軸為，當a0時，有h(0)= -60, 所以h(x)在上單調遞減，h(x) 0時,因為h(0)= -60,所以要使h(x)0在上恒成立,只需h(2) 0成立即可,解得a;綜上，的取值范圍為20.解：() f(x)3x2+2mxm2=(x+m)(3xm)=0,則