1、幾何畫板在圓錐曲線習(xí)題中的應(yīng)用呂世瓊數(shù)信學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 10290133【摘要】隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展，以及科學(xué)技術(shù)在教育領(lǐng)域中越來越廣泛的應(yīng)用，教師從事教育活動的手段有了根本的改觀，作為新時代的數(shù)學(xué)老師，熟練掌握幾何畫板并將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)過程中是非常必要的。本文就幾何畫板在圓錐曲線習(xí)題教學(xué)中做了一個簡單的研究，對于部分有關(guān)的圓錐曲線的習(xí)題進(jìn)行分析研究，主要是利用幾何畫板進(jìn)行輔助解決，提高習(xí)題教學(xué)效率，也為中學(xué)教師提供參考?！娟P(guān)鍵詞】幾何畫板 圓錐曲線 習(xí)題教學(xué)在圓錐曲線方程這章中，一些與數(shù)形結(jié)合有關(guān)的題目等比較抽象，學(xué)生難以理解，且運(yùn)用代數(shù)方法運(yùn)算非常復(fù)雜，使用幾何畫板進(jìn)行輔助教學(xué)，

2、能夠拓寬學(xué)生的思維，通過幾何畫板的畫圖、計算等功能，給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生擺脫枯燥的數(shù)學(xué)。這樣既激發(fā)了學(xué)生的興趣，又大大提高了學(xué)習(xí)效率。本文將從圓錐曲線軌跡問題、最值問題進(jìn)行研究。1利用幾何畫板探究軌跡問題圓錐曲線軌跡問題是整個圓錐曲線章節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在高考中所占比值也相對較大，解決這類問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于抓住不變量，僅僅通過代數(shù)運(yùn)算有時很難發(fā)現(xiàn)其中的不變量，借助幾何畫板精確的畫圖、演示、計算功能有助于解決這方面的問題，大大提高教學(xué)效率。例1 圓的半徑為定長，是圓內(nèi)的一個定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡是什么？為什么？當(dāng)定點(diǎn)在圓外時，點(diǎn)

3、的軌跡是什么？為什么？【制作目標(biāo)】動態(tài)可視化的觀察、猜想、探究、發(fā)現(xiàn)圖形中的不變量。【方法步驟】（1） 構(gòu)造點(diǎn)，線段，以為圓心為半徑畫圓。（2） 在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，圓上任取一點(diǎn)，構(gòu)造線段、。（3） 構(gòu)造線段的垂直平分線交線段于，連接.（4） 追蹤的軌跡，如圖（1）。（5） 將點(diǎn)移動到圓外，觀察軌跡，如圖（2）。圖（1）圖（2)設(shè)計意圖：通過幾何畫板的直觀表現(xiàn)，讓學(xué)生通過對圖像的觀察分析抓住圖中的不變量。為解題指明了方向，避免盲目的利用代數(shù)方法進(jìn)行運(yùn)算。當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時，通過追蹤點(diǎn)的軌跡發(fā)現(xiàn)軌跡為橢圓。解題的關(guān)鍵在于抓住不變量+=+=.,即軌跡是以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓。當(dāng)點(diǎn)在圓外時，通過追蹤的軌

4、跡發(fā)現(xiàn)軌跡為雙曲線。通過對圖中各個量的觀察與分析，只要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題中的不變量。即解題的關(guān)鍵在于抓住=.即軌跡為以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為的雙曲線。例2 如圖，軸，當(dāng)點(diǎn)M在的延長線上，且,當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡的情況，與高中數(shù)學(xué)選修2-1教材頁例2相比，你有什么發(fā)現(xiàn)？【制作目標(biāo)】動態(tài)可視化的觀察、猜想以及推廣到一般情況?！痉椒ú襟E】（1） 選用螞蟻?zhàn)鴺?biāo)系，繪制點(diǎn)，構(gòu)造線段，度量其長度，改標(biāo)簽為，以原點(diǎn)為中心，半徑構(gòu)造圓。（2） 在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)。（3） 構(gòu)造線段，度量其長度，改標(biāo)簽為，分別度量點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，計算的值。（4） 繪制點(diǎn)，。（5） 追蹤點(diǎn)的軌

5、跡。圖（3）設(shè)計意圖：本題與教材例2非常相似，不同點(diǎn)在于的比值不同，由幾何畫板可知，兩題的結(jié)論相同，軌跡都為橢圓，如圖（3）。這時可以提出猜想，無論比值如何變，軌跡都為橢圓。如何驗證這個猜想呢？這時可以改變的長度，即的值就可以實現(xiàn)比值的改變。通過改變的長度我們可以不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)的軌跡都為橢圓，當(dāng)?shù)闹敌∮?時，軌跡為焦點(diǎn)在軸上，長軸長等于圓直徑的橢圓。當(dāng)?shù)闹档扔?時，軌跡就是圓。當(dāng)?shù)闹荡笥?時，軌跡為焦點(diǎn)在軸上，短軸長等于圓直徑的橢圓。由此可見橢圓的軌跡方程由圓的半徑與的比值決定。那橢圓的軌跡方程與圓的半徑與的比值又有怎樣特殊的關(guān)系呢？經(jīng)由前面的討論我們已經(jīng)知道，當(dāng)?shù)闹敌∮?時，橢圓的長半軸長=，

6、那么只需要確定的值就可以確定橢圓的軌跡方程。當(dāng)點(diǎn)在軸上時，的長即為橢圓的短半軸長，即。同理，當(dāng)大于1時，有。綜上討論，對于這一類型的題，點(diǎn)為以原點(diǎn)為中心為半徑的某圓上的一點(diǎn)，軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)M在的延長線上，且,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程。當(dāng)橢圓的軌跡方程為。當(dāng)時，橢圓的軌跡方程為例3 .求定點(diǎn)到定直線距離之比是的點(diǎn)的軌跡方程?！局谱髂繕?biāo)】動態(tài)可視化的觀察、猜想、探究點(diǎn)的軌跡與之間的關(guān)系?！痉椒ú襟E】（1） 構(gòu)造線段、，分別度量其長度，改標(biāo)簽為、。計算、的值。（2） 新建函數(shù)，構(gòu)造點(diǎn)。（3） 以點(diǎn)為圓心，為半徑構(gòu)造圓，新建函數(shù)、。（4） 構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)分別與圓的交點(diǎn)并追蹤其軌跡。圖（4）

7、設(shè)計意圖：構(gòu)造到定點(diǎn)距離與到定直線距離之比等于某個常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，在構(gòu)造過程中，通過幾何畫板的直觀性，我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像與圓的交點(diǎn)到函數(shù)的距離為，交點(diǎn)在圓上，所以交點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為半徑。這樣就實現(xiàn)了到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為，即離心率。通過改變的長度，即的值就可以觀察到滿足條件的點(diǎn)所形成的軌跡。通過改變或的值則軌跡的形狀有所變化。當(dāng)?shù)闹敌∮?時，軌跡為橢圓，當(dāng)?shù)闹荡笥?時，軌跡為雙曲線。當(dāng)?shù)闹档扔?時，軌跡為一條拋物線，如圖（4）。這樣不僅融合和了幾個習(xí)題，還統(tǒng)一了圓錐曲線的定義。通過幾何畫板的演示，我們發(fā)現(xiàn)軌跡的形狀是由，即離心率的值確定的，但是幾何畫板只能直觀的演示

8、，給解題指明方向或者是對結(jié)論的演示。對于求軌跡的方程不能給予嚴(yán)格的證明，這時就需要利用代數(shù)的方法進(jìn)行嚴(yán)格證明。到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為，化簡得到。假設(shè)，當(dāng)時，再次化簡得到，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。當(dāng)時，化簡得到，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。當(dāng)時，化簡得到，為什么不是拋物線的方程呢？為什么會出現(xiàn)這種情況呢？拋物線的定義是到定點(diǎn)的距離和到定直線（不經(jīng)過點(diǎn)）距離相等的點(diǎn)的軌跡，不經(jīng)過點(diǎn)，因此到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比應(yīng)寫為，化簡得到，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例4 從雙曲線上一點(diǎn)A引直線的垂線，垂足為，求線段中點(diǎn)的軌跡方程。如果曲線為橢圓，軌跡又有怎樣的變化？【制作目標(biāo)】動態(tài)可視化的觀察、猜想提供解題思

9、路?！痉椒ú襟E】（1） 構(gòu)造線段、 度量其距離并改標(biāo)簽為、。（2） 繪制點(diǎn)、。（3） 選擇自定義工具中圓錐曲線雙曲線/橢圓（焦點(diǎn)+離心率），以、為焦點(diǎn)，為離心率構(gòu)造曲線。（4） 構(gòu)造線段、度量其長度并改標(biāo)簽為、,計算的值。、（5） 繪制點(diǎn)，過兩點(diǎn)構(gòu)造直線。（6） 在曲線上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，構(gòu)造線段的中點(diǎn)。（7） 選中點(diǎn)與點(diǎn)，構(gòu)造軌跡。（8） 改變的大小，觀察軌跡的變化。設(shè)計意圖：由于幾何畫板的缺陷，不能直接構(gòu)造某點(diǎn)到函數(shù)圖上的垂線，因此采用通過直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)繪制直線。通過幾何畫板的直觀性觀察軌跡的變化，當(dāng)曲線為雙曲線時，中點(diǎn)C的軌跡為雙曲線，如圖（5）。但幾何畫板只為題目

10、提供一個思路或者是結(jié)果的驗證。具體求出軌跡的方程還需要結(jié)合代數(shù)的方法進(jìn)行解決。設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知B點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程中，得 又AB垂直于直線，故，由解方程組得的值，再將其帶入雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，得到關(guān)于的方程，即中點(diǎn)的軌跡方程。當(dāng)曲線為橢圓時，通過幾何畫板的直觀演示可知，中點(diǎn)的軌跡方程為橢圓，討論方法與雙曲線方法一致，可由學(xué)生自己討論。并讓學(xué)生下來討論，如果曲線為拋物線，中點(diǎn)的軌跡是否為拋物線，并驗證結(jié)論。在此題的解題過程中即體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，也培養(yǎng)了學(xué)生一定的探究能力。圖（5）圓錐曲線中關(guān)于求軌跡問題在整個圓錐曲線章節(jié)所占比重比較大，也是高考的重點(diǎn)也是

11、熱點(diǎn)，因此掌握好軌跡問題的解決方法非常重要。在圓錐曲線這章節(jié)中求軌跡問題絕大多數(shù)軌跡是圓錐曲線，即橢圓、雙曲線或拋物線，有時候也會是圓。這時就必須把握好各種曲線的定義以及性質(zhì)，方便在解題前進(jìn)行判斷，為解題指明方向，避免盲目的計算。通過以上的幾個例題，我們可以發(fā)現(xiàn)比較簡單的求軌跡問題可以直接通過圓錐曲線定義來判斷，進(jìn)而進(jìn)行求解。這時的關(guān)鍵在于找到題目中的不變量。其次是通過圓錐曲線的第二定義進(jìn)行判斷，通常是與比值有關(guān)。這時就需要緊緊抓住圓錐曲線的第二定義，若比值沒有規(guī)定范圍，則還要進(jìn)行分類討論。再則就是各種知識點(diǎn)混合，這就需要學(xué)生有將強(qiáng)的分析能力，有時候還會涉及到坐標(biāo)。但無論知識點(diǎn)再復(fù)雜，必須把握

12、住圓錐曲線的第一第二定義，這是解題的關(guān)鍵。2 利用幾何畫板探究圓錐曲線最值問題圓錐曲線中最值的探索問題在高考試題中出現(xiàn)頻率很大，且?guī)缀醵际菍で蠼鉀Q方法，復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算往往會讓不少同學(xué)望而卻步。幾何畫板作為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，同時也是我們研究最值問題的有力武器。它使得最值問題具體化、動態(tài)化、形象化，能夠更直觀有效的解決問題。下面結(jié)合集體案例給出借助幾何畫板探究圓錐曲線中最值問題的構(gòu)造過程及其設(shè)計流程。例5已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)，是雙曲線右支上動點(diǎn)，則的最小值為多少？ 若圓錐曲線為橢圓或者雙曲線，是否有最值，最值又為多少？ . 【制作目標(biāo)】動態(tài)可視化的觀察、猜想、通過轉(zhuǎn)化觀察出取得最值時點(diǎn)的

13、特殊位置。【方法步驟】（1）構(gòu)造線段、 度量其距離并改標(biāo)簽為、。（2）繪制點(diǎn)、。（3）選擇自定義工具中圓錐曲線A雙曲線/橢圓（焦點(diǎn)+離心率），以、為焦點(diǎn)，為離心率構(gòu)造曲線。（4）任取雙曲線外一點(diǎn),曲線右支上一點(diǎn)，連接、，并度量其長度。計算的值，移動點(diǎn) 觀察隨移動的值。圖（6）設(shè)計意圖：通過幾何畫板的直觀性，通過移動點(diǎn)P可以直觀的觀察出的最小值，但是通過幾何畫板所得到的最小值并不能作為我們的結(jié)論，它存在一定的誤差，且沒有嚴(yán)格的說服理由。但他能為我們的解題提供可視化的猜想。當(dāng)處于最小值時，點(diǎn)的位置有什么特殊嗎？通過直觀的觀察，當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線外部時，當(dāng)處于最小值時，點(diǎn)、位于通一條直線上，即圖（6）所

14、示。因此我們猜想當(dāng)點(diǎn)、共線時，的值最小。如何證明我們的猜想呢？我們要緊緊抓住三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系的值最小，最終求得是的最小值，我們可以再次轉(zhuǎn)化，=2a+，因此當(dāng)點(diǎn)、位于通一條直線上時，的值最小，即的值最小。當(dāng)點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部時，當(dāng)點(diǎn)、共線時，當(dāng)曲線為橢圓時，只需改變線段的長度，即的大小。當(dāng)A點(diǎn)在圓內(nèi)時，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上移動時，當(dāng)點(diǎn)、共線時，有最大值與最小值。如何證明猜想呢？這時我們也必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想與轉(zhuǎn)化，=,當(dāng)?shù)闹底钚r，有最小值，=，即點(diǎn)、共線且處于圖（7）位置時。圖（7）同理，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，有最大值，=,即點(diǎn)、共線且處于圖（8）位置時。圖（8）當(dāng)點(diǎn)在橢圓外時，當(dāng)點(diǎn)、共線時

15、，即有最小值。圖（9）當(dāng)圓錐曲線為拋物線時,點(diǎn)在拋物線內(nèi)?！痉椒ú襟E】（1） 利用自定義工具中拋物線（焦點(diǎn)+準(zhǔn)線）畫出拋物線。（2） 任取拋物線內(nèi)一點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)，連接、，并分別度量其長度。（3） 過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為（4） 計算的值。設(shè)計意圖：通過幾何畫板的直觀性，通過移動點(diǎn)可以直觀的觀察出的最小值，這是點(diǎn)、三點(diǎn)的位置并沒有特殊之處，這是就需要利用拋物線的性質(zhì)，將點(diǎn)到點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這時不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)、共線時，如圖（10）。=有最小值。圖（10）當(dāng)點(diǎn)在拋物線外時，點(diǎn)、共線時，如圖（11），有最小值。圖（11）變式：【的最小值】其中，點(diǎn)為曲線橢圓，雙曲線或拋物線）內(nèi)一定

16、點(diǎn)（異于焦點(diǎn)），是曲線上的一個動點(diǎn)，是曲線的一個焦點(diǎn)，是曲線C的離心率。分析：由雙曲線的第二定義知等于雙曲線上的點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離，從而=+，由圖知，當(dāng)、三點(diǎn)共線時，+取得最小值，即有最小值。例6 求橢圓上某點(diǎn)到直線距離的最大值與最小值，并求出取得最值時橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)?！局谱髂繕?biāo)】動態(tài)可視化的觀察、猜想、找出取得最值時點(diǎn)所處的特殊位置.【方法步驟】（1）構(gòu)造線段、度量其距離并改標(biāo)簽為、。（2）繪制點(diǎn)、。（3）選擇自定義工具中圓錐曲線雙曲線/橢圓（焦點(diǎn)+離心率），以、為焦點(diǎn)，為離心率構(gòu)造曲線。（4）構(gòu)造線段、度量其長度并改標(biāo)簽為、繪制點(diǎn)，過兩點(diǎn)構(gòu)造直線。(5)在曲線上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，

17、垂足為.(6)過點(diǎn)作直線的平行線，再作直線與橢圓的交點(diǎn)、并度量線段的長度。設(shè)計意圖：在課件制作過程中必須保證直線與橢圓不相交，本題直接通過幾何畫板很難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線左端距離時，點(diǎn)的特殊位置，因此需要轉(zhuǎn)化為求直線到直線之間的距離，因此過點(diǎn)作直線的平行線，這時直線可能與橢圓不止一個焦點(diǎn)，通過移動點(diǎn)，我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)取得最大小值時 ，兩個交點(diǎn)重合，即直線與橢圓相切時，線段取得最值。為了計算方便下面我們討論橢圓方程為，直線：方程為時線段最值的求法。有幾何畫板提供的思路我們知道當(dāng)直線與橢圓相切時有最值，即設(shè)的方程為，求得到，得，即直線的方程為，因此線段的距離，取得最值時的坐標(biāo)即求方程與方程的解，最后求得結(jié)果

18、。這時，可以將此題進(jìn)行推廣，當(dāng)圓錐曲線為雙曲線或者拋物線時，應(yīng)該怎樣解決。這時可以改變的大小進(jìn)行觀察，由幾何畫板可以看出當(dāng)兩個交點(diǎn)重合時有最小值，沒有最大值，具體的求解方法讓同學(xué)們類比推廣前的而方法進(jìn)行求解。圖（12）圖（13）最值問題貫穿整個高中課程，不僅僅是在圓錐曲線這一章節(jié)，由此可見最值問題的重要性。在圓錐曲線這一章節(jié)中的最值問題，關(guān)鍵點(diǎn)在于把握好各類圓錐曲線的定義與性質(zhì)，將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。一般情況下在取得最值的時候點(diǎn)所處位置比較特殊。如例5所示，將求的最值通過定義轉(zhuǎn)化為求得最值，這時點(diǎn)、共線時。如例6所示，當(dāng)取得最值時，兩個交點(diǎn)重合。所以求最值為題關(guān)鍵在于找到特殊位置。在平時練習(xí)中多

19、注意多總結(jié)，在高考中將節(jié)約大量的時間。在這個信息時代，教師要與時俱進(jìn)，單純的黑板講課已經(jīng)過時，我們必須利用好身邊的資源。幾何畫板在教師教學(xué)中起到了不可忽視的重要作用，因此教師應(yīng)重視提高幾何畫板操作技術(shù)水平和應(yīng)用能力，有針對性地利用幾何畫板來化解數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)難點(diǎn)。幾何畫板在輔助圓錐曲線習(xí)題教學(xué)中要以新課程的基本理念為指導(dǎo)，根據(jù)實際情況有效的進(jìn)行教學(xué)。需要把握好數(shù)形結(jié)合的原則，引起學(xué)生的興趣，發(fā)展學(xué)生的思維，同時應(yīng)注意幾何畫板只是起輔助作用而不能替代上課。當(dāng)然幾何畫板在整個高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，比如在立體幾何、函數(shù)等方面。本文采取選用例題進(jìn)行分析演示，但由于選用例題數(shù)量較少且只選取了軌跡與

20、最值兩個方面進(jìn)行分析，在研究過程中存在著不足和疏漏，若能全面的詳細(xì)的研究，相信對于整個圓錐曲線的教學(xué)將起到很大的作用【參考文獻(xiàn)】1葛建華.借助幾何畫板探究解幾定點(diǎn)定值問題.中小學(xué)教學(xué)研究,2013年.12期.第1頁 2陶丹.幾何畫板在圓錐曲線中的應(yīng)用研究.中國期刊網(wǎng),2006年.第9頁 3潘輝.幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.飛（素質(zhì)教育版），2013年.9期.第2頁 4中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書（數(shù)學(xué)選修 2-1）.人民教育出版社，2011年 5劉勝利.幾何畫板課件制作教程.科學(xué)出版社，2010年.第三版 6 薛均東.幾何畫板輔助初三集幾何動態(tài)有效教學(xué)的研究，2009年.第54頁 7張洪杰.幾何畫板優(yōu)化圓錐曲線統(tǒng)一定義.數(shù)學(xué)通報，2001年.5期.第1頁 8陳忠藝.圓錐曲線的最值問題與幾何畫板整合案例研究。新課程學(xué)習(xí)（學(xué)術(shù)教育），2011年.5期.第1頁 9黃偉巍.探究幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用.語數(shù)外學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教育），2012年.4期.第1頁 10楊建聞.運(yùn)用“幾何畫板”優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法.中國科教創(chuàng)新導(dǎo)