1、1第二章第二章 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)間接效用函數(shù)與支出函數(shù) 2一、相對(duì)價(jià)格變化與收入變化對(duì)最優(yōu)一、相對(duì)價(jià)格變化與收入變化對(duì)最優(yōu) 消費(fèi)量的影響消費(fèi)量的影響1.間接效用函數(shù)間接效用函數(shù)1x2x2yp1yp12pp12pp1yp31x2yp1yp1yp2x2yp收入變化的影響收入變化的影響41x2x0 x1x2x價(jià)格和收入變化對(duì)最優(yōu)消費(fèi)量的影響價(jià)格和收入變化對(duì)最優(yōu)消費(fèi)量的影響5二、間接效用函數(shù)二、間接效用函數(shù) 間接效用函數(shù)的存在對(duì)于說明政府政策對(duì)消間接效用函數(shù)的存在對(duì)于說明政府政策對(duì)消費(fèi)者福利的影響有比較便利的條件，如控制價(jià)費(fèi)者福利的影響有比較便利的條件，如控制價(jià)格和收入政策。格和收入政策。( ,

2、 )max ( )( , )nx Rv p yu xxp y. .st p xy1.基本概念基本概念 間接效用函數(shù)表示收入和價(jià)格兩個(gè)變量下間接效用函數(shù)表示收入和價(jià)格兩個(gè)變量下消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)時(shí)的效用，或最大化效用消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)時(shí)的效用，或最大化效用與價(jià)格集和收入集之間的函數(shù)關(guān)系。與價(jià)格集和收入集之間的函數(shù)關(guān)系。62.2.間接效用函數(shù)的性質(zhì)間接效用函數(shù)的性質(zhì)（1 1）在價(jià)格和收入上）在價(jià)格和收入上 是連續(xù)的。是連續(xù)的。()nRR預(yù)算集的定義域 當(dāng)價(jià)格和收入有微小變化時(shí)，最大化的效用當(dāng)價(jià)格和收入有微小變化時(shí)，最大化的效用也會(huì)有微小的變化。因?yàn)槿绻矔?huì)有微小的變化。因?yàn)槿绻鹵（x）是連續(xù)的，是連續(xù)

3、的，則最大化（一階導(dǎo)數(shù)）的值一定也是連續(xù)的。則最大化（一階導(dǎo)數(shù)）的值一定也是連續(xù)的。7 （2 2）它對(duì)于價(jià)格和收入是零次齊次的，即）它對(duì)于價(jià)格和收入是零次齊次的，即價(jià)格和收入的同比例變化并不影響效用水平。價(jià)格和收入的同比例變化并不影響效用水平。( ,)max ( ), . .nx Rv tp tyu xst tp xymax ( ), . .nx Ru xst p xy需要證明，對(duì)于所有的需要證明，對(duì)于所有的t0，都有：，都有：( , )(,),(,)( , )v p yv tp tyv tp tytv p y即證明：證明：8l（3 3）在收入上）在收入上y y是嚴(yán)格遞增的，而在價(jià)格是嚴(yán)格遞增

4、的，而在價(jià)格p p上上則是嚴(yán)格遞減的。則是嚴(yán)格遞減的。( , )max ( ), . .nx Rv p yu xst p xy其中，其中，*( , )xxp y因此，因此，( , )/max ( )/nx Rv p yyu xy ( , )( )()L xu xyp x*(,)()0, (1,2,)iiiL xu xpinxx9l將將x*與與*代入代入L()。因此：因此：*( , )(,)v p yL xyy由于，由于，*()0( (),0iiu xupx嚴(yán)格遞增*( , )00v p yy因此，因此，10（4 4）滿足羅爾恒等式。）滿足羅爾恒等式。l如果間接效用函數(shù)如果間接效用函數(shù) 在點(diǎn)上在

5、點(diǎn)上 是可導(dǎo)的，且：是可導(dǎo)的，且：l一定存在一定存在l這個(gè)證明要用到包絡(luò)定理。這個(gè)證明要用到包絡(luò)定理。( , )v p y(,)py(,)0v p yy( , )( , )( , ),1,2,jjv p yv p yxp yjnpy 11(,)(,)m ax (,) s.t (,)(,)|(,)(,)|xxpyxxpyufpypxyvpyL xyyvpyL xxpp 由得 ， L(x,)=u(x)+ (y-px)兩式相除，就可以得到羅爾恒等式。兩式相除，就可以得到羅爾恒等式。123.3.間接效用函數(shù)的應(yīng)用間接效用函數(shù)的應(yīng)用: :政府稅收對(duì)效用的影響政府稅收對(duì)效用的影響設(shè)效用函數(shù)為設(shè)效用函數(shù)為:

6、1212( ,)u x xx x最大化問題為最大化問題為:12maxx x1 122. .stp xp xy121 122()Lx xyp xp x10Lx20Lx0L13因此，可得到因此，可得到:*21121*122xppxxpp即x*1212,22yyxxpp若若p1=0.25， p2=1，y=2 。*1212( ,),xxu x x把 和 代入可得到:0.50.51212(, )()()222yyv p pypp14l若政府征收若政府征收0.50.5元的所得稅，消費(fèi)者收入降為元的所得稅，消費(fèi)者收入降為1.51.5元，間接效用也從元，間接效用也從2 2降為降為1.51.5。l現(xiàn)考慮政府對(duì)現(xiàn)

7、考慮政府對(duì)X X1 1征收商品稅征收商品稅0.250.25元，此時(shí)元，此時(shí),p,p1 1會(huì)從會(huì)從0.250.25漲到漲到0.50.5元。元。問題問題1：商品稅使政府能征到：商品稅使政府能征到0.50.5元的稅收嗎元的稅收嗎? ?問題問題2 2：商品稅對(duì)消費(fèi)者的間接效用的影響有：商品稅對(duì)消費(fèi)者的間接效用的影響有 多大？多大？15l（1 1）*11,2(2yxyp收入不變)lp p1 1從從0.250.25漲到漲到0.50.5元后，元后， 。說明政府開征。說明政府開征商品稅后，消費(fèi)者仍會(huì)購買商品稅后，消費(fèi)者仍會(huì)購買2 2單位的商品單位的商品X1X1，政府的稅收也是政府的稅收也是0.50.5元。元。

8、*12x 16112(2)0.5,(, ),pv p py代入新的間接效用函數(shù)為:120.50.50.5122(2) (, )1.41 1.52()()2(0.5)1yv p pypp 可見，開征商品稅對(duì)消費(fèi)者的間接效用的負(fù)可見，開征商品稅對(duì)消費(fèi)者的間接效用的負(fù)面作用大于開征所得稅。面作用大于開征所得稅。 原因：一是價(jià)格提高減少了消費(fèi)者的實(shí)際購原因：一是價(jià)格提高減少了消費(fèi)者的實(shí)際購買力；二是改變了商品的相對(duì)價(jià)格。開征所得買力；二是改變了商品的相對(duì)價(jià)格。開征所得稅只產(chǎn)生第一方面的影響。稅只產(chǎn)生第一方面的影響。172.支出函數(shù)支出函數(shù)一、支出函數(shù)的定義一、支出函數(shù)的定義 支出函數(shù)：這是個(gè)支出最小化

9、問題，選擇合適支出函數(shù)：這是個(gè)支出最小化問題，選擇合適的的x x使得滿足約束條件。使得滿足約束條件。 如果在價(jià)格為如果在價(jià)格為p時(shí)為滿足特定效用水平時(shí)為滿足特定效用水平u所必需所必需的最低花費(fèi)為的最低花費(fèi)為e(p,u), ,則：則：*1 122( , )( , )( , )hhe p up xp up xp ue18(,)m i n ()s . t . ()L =x -() -()0() -0()()nxRiiiiijjepupxuxupuxuLuxpxxLuxupuxxpuxx19l求出的最小解稱為?？怂剐枨蠛瘮?shù)。記為：求出的最小解稱為?？怂剐枨蠛瘮?shù)。記為：(, ),1,2,.hiixxp

10、uin代入支出代入支出pxpx得最小支出函數(shù)。記為：得最小支出函數(shù)。記為：*1 122( , )( , )( , )hhe p up xp up xp ue201xx2,()xRu xu2:xRpxpx最小化支出問題最小化支出問題uO2x21ep*1ep11ep2( , )hxp u1( , )hxp u21二、?？怂剐枨蠛瘮?shù)二、?？怂剐枨蠛瘮?shù)l希克斯的需求函一般記為：希克斯的需求函一般記為：l即為達(dá)到既定的效用水平即為達(dá)到既定的效用水平u，選擇的最小支出，選擇的最小支出時(shí)消費(fèi)者對(duì)時(shí)消費(fèi)者對(duì)x的需求。的需求。(,)h p u22l?？怂沟男枨蠛瘮?shù)又稱補(bǔ)償性需求函數(shù)。希克斯的需求函數(shù)又稱補(bǔ)償性需

11、求函數(shù)。l一是某商品價(jià)格下降，效用增加，可假定把一是某商品價(jià)格下降，效用增加，可假定把消費(fèi)者收入減少（負(fù)的補(bǔ)償），使其效用水消費(fèi)者收入減少（負(fù)的補(bǔ)償），使其效用水平與以前一樣。平與以前一樣。l二是某商品價(jià)格上升，效用減少，此時(shí)增加二是某商品價(jià)格上升，效用減少，此時(shí)增加消費(fèi)者的收入，使其效用水平也不變。消費(fèi)者的收入，使其效用水平也不變。l這兩種情況下，消費(fèi)者的選擇會(huì)發(fā)生何種變這兩種情況下，消費(fèi)者的選擇會(huì)發(fā)生何種變化？化？23BCA2x1x1x1poo11p01p00212(,)hxppu10212(,)hxppu0112(, )hxpp u00112(, )hxppu10112(, )hxppu

12、1102pp0102ppA價(jià)格變動(dòng)的價(jià)格變動(dòng)的替代效應(yīng)替代效應(yīng)?？怂剐枨笄€?？怂剐枨笄€24l如果如果u()是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的，則當(dāng)是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的，則當(dāng)p0時(shí)，時(shí)，支出函數(shù)支出函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 對(duì)于對(duì)于p可微，且可微，且三、謝潑特引理三、謝潑特引理0000(,)(,), (1,2, )hiiie p uxx p uinp( , )e p u00(,)e p u含義：已知支出函數(shù)，可通過該函數(shù)對(duì)價(jià)格求含義：已知支出函數(shù)，可通過該函數(shù)對(duì)價(jià)格求偏導(dǎo)，推導(dǎo)出希克斯需求函數(shù)。偏導(dǎo)，推導(dǎo)出?？怂剐枨蠛瘮?shù)。25證明：證明：(, )min(),( )nxRe p up xu xu由于L(x,)=x+-(

13、)puu xmin p x在處,有*L(x ,)=x +-()puu x運(yùn)用包絡(luò)定理，可得到：運(yùn)用包絡(luò)定理，可得到：*( , )( ,)( , )hiiiie p uL xxx p upp26例：例：11212(,)() , 01)u x xxx由,求支出函數(shù).121122,1/1212min(). .()0,0 xxp xp xs tuxxxx1121 12212(, )() Lx xp xp xuxx1111121111121222112()0()0()0LpxxxxLpxxxxLuxx2711122111112122111111122222, u=(x),:1pxpxpxxxpxuppu

14、xxxpp把 代入得281r令,可得到:1111112212221()hrrrrpxuuxpppp1111121()hrrrrxu ppp 這即是這即是x2和和x1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)（只取決于的希克斯需求函數(shù)（只取決于p和和u）。）。29 將將x2和和x1代入支出函數(shù)問題的目標(biāo)函數(shù)，可得：代入支出函數(shù)問題的目標(biāo)函數(shù)，可得：121112221211111111212122112(, )(, )(, )()()()hhrrrrrrrrrrre pp up xpp up xpp uuppppuppppu pp 求上式對(duì)于求上式對(duì)于p1的偏導(dǎo)，可直接驗(yàn)證謝潑特引理。的偏導(dǎo)，可直接驗(yàn)證謝潑特引理。30l如果收入為如果收入為y y，消費(fèi)的商品數(shù)量和價(jià)格分別為：，消費(fèi)的商品數(shù)量和價(jià)格分別為：四、預(yù)算份額四、預(yù)算份額1212( ,)(,)nnx xxp pp和則稱：則稱：iiip