1、* *含時三體散射系統的波恩近似計算摘要：在當今社會，三體散射系統對研究氣象觀察和預測有重大意義。 文章首先羅列了散射的基本理論知識， 包含了散射現象和散射截面， 接著討論計算方法， 通過建立光學勢模型，對三體散射進行波恩近似計算， 最后討論含時三體散射系統分別在長程和短程的波恩近似計算， 結果發現，用于短程的含時波恩近似計算收斂更快， 而于長程的含時波恩近似計算不收斂。關鍵詞 : 含時三體散射，波恩近似計算，非彈性碰撞0 引言散射是近代物理實驗中揭示物質現象的主要手段之一，它對原子物理、原子核物理、高能物理以及等離子物理和天體物理的研究與發展起到了至關重大的作用。人們主要通過各種類型的實驗，

2、來研究各種散射過程，而且三體散射的研究對氣象觀察和預測有重大意義。散射系統基于一個由 Temkin和 Poet 建立的橫波模型，這個模型模擬電子原子散射中的非彈性過程。對于所有的散射系統，波恩級數計算相對于含時薛定諤方程的直接解來說更能獲得精確的橫截面。本次課題就選擇了長程和短程三體散射系統的波恩近似計算。1 基本理論知識1.1 散射方向準直的均勻單能粒子由遠處沿著z 軸方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射開去，此過程成為散射過程。在量子力學的散射理論中，散射現象的廣義定義可以認為是兩粒子之間發生碰撞的現象，它可以可分為彈性碰撞、非彈性碰撞和反應這三種不同情況1 。若在散射過程中

3、，入射粒子和靶粒子的內部狀態都不發生變化，則成為彈性散射，否則成為非彈性散射。一般在處理散射問題的時候，我們取在較重粒子置于一個靜止的相對坐標系內，而將碰撞看成是一個入射粒子和靶粒子發生碰撞作用后使兩者的動量產生變化的過程。在這個過程中，我* *們看重的是散射粒子的角分布（或者稱散射截面、微分截面），角關聯、極化等，而角分布等的觀測依賴于出射粒子的波函數在r的漸近行為， 主要受入射粒子能量、碰撞過程中的相互作用等的影響 2 。如上所述，在散射的過程中，我們取在較重粒子靜止的相對坐標系中，用折合質量的方法來討論，是以散射題目能夠看作是，在靶粒子的作用下入射粒子產生轉變的題目。1.2 散射截面為簡

4、單起見，我們討論在彈性散射過程中，入射粒子與靶粒子的相互作用為定域勢V( r ),在出射方向 (, ) 上散射截面（即微分截面，角分布）為d( , )。當勢場 V( r )不隨時間產生轉d變，而入射電子的動量為pi 時，入射粒子的波函數為：1 E tte h1(1.2.1)上式中的滿足定態薛定諤方程的要求：HEt(1.2.2)12V r(1.2.3)H2m pi12(1.2.4)Et2m pi在散射之后，在宏觀上觀測，出射粒子與碰撞點的距離并不遠，然而在微觀上看它們之間的距離是非常大的，足以對粒子之間的相互作用產生影響，因此波函數滿足的邊界處對于碰撞點可以看作是是無窮遠的，此時在邊界外部勢場V

5、( r)對粒子運動已經沒有什么影響。在r時薛定諤方程（ 1.2.2 ）式的漸近方程為：2h20 (1.2.5)(r )2m即22(r ) + k (r ) 0(1.2.6)其中，* *kp(1.2.7)經由過程求得上述薛定諤方程的漸進方程式的一般形式解：ikrikre(r ) =Aef ( , )r(1.2.8)其中， A 是常數。f ( , ) 為散射振幅，代表球面波的波幅會隨著方向( , ) 的改變而改變。ikre 為向外傳播的散射波。在邊界以內的區域里，由于勢場V( r )0 ，所以粒子波函數(r ) 的情況非常繁雜。然而因為實驗上的計量也是在微觀上的無窮遠處進行的，因此我們只需要關注怎

6、樣求漸近解，而邊界以內區域里的具體解就不需要去求了，因為它沒有了計算的價值。因此我們只要計算出漸近解里f (,) 的具體形式，即可獲取散射題目所需要的躍遷概率和散射截面了。d, ) 。與散射振幅 f ( , ) 的關系為：(dd2f ,(1.2.9),d2 計算方法2.1 光學勢模型這里我們以建立電子被原子散射的光學勢模型為例子討論。光學勢方法的首要主題是，將電子被原子散射的多體作用的過程看成是入射電子在靶原子的等效勢場中運動，這樣就把繁瑣又龐大的多體題目直接過渡成為單體題目，大大地縮減了題目的計算過程。這種方法的關鍵是要用適合的勢模型模擬電子與原子間各種復雜的相互作用。我們所采用的光學勢模型

7、中全面考慮了庫倫勢錯誤 ! 未找到引用源。 V c 、極化勢 錯誤 ! 未找到引用源。 V p 和交換勢 V e 以及體現非彈性散射項的吸收勢。過程中，電子被原子散射取得的等效勢可以寫作：V opt rV R r iV a r(2.1.1)* *上式中，實部主要反映彈性散射，它也可以表示為：V R rV s rV p rV e r(2.1.2)其中， V sr 表示靜電勢， V pr 表示極化勢， Ver 表示交換勢。虛部Va r 表示吸收勢，是一個用來反映非彈性散射的物理量，電子在勢場中運動時的薛定諤方程為：22+ k2V r(2.1.3)在實際計算過程中我們運用對角度求平均值的辦法來確保電

8、子所在的勢場是一個中心勢場，入射電子在受中心勢場的影響下,所得的波函數可以作如下分波展開：Fr(2.1.5)rr Y10i 0式中221r r2L(2.1.6)=r22rrY10為球諧函數 ,滿足：2l l1 Y10L Y10=(2.1.7)代入 (2.1.5) 的式子可得：Y10d2l (l21)2Vrr0(2.1.8)2k2F 1i 0rdrr即徑向分波方程為 :21)dl (l2Vrk2F 1r0(2.1.9)22drr當 r 足夠大時，上式的漸近解為：F121h 1S1H 1F 12121h 1S1H 1h 1S1 h 1kr , 錯誤 ! 未找到引用源。 是第一類Hankel 函數，

9、代表散射波，2上式中h 1是第二* *類 Hankel函數，代表入射波。S1 代表復散射矩陣元，它與分波相移1 的聯系如下式：S1exp 2i1對于彈性散射 ,1 為實數， S1 1；對于非彈性散射，1 為復數， S11；對徑向分波方程求解：2l (l 1)drk2Fr0（ 2.1.10 ）2221drrV opt可得 V optr0 時的任一點mk r m 處的徑向波函數F 1r 的對數導數：f 1F1F1m（ 2.1.11 ）mF1mF1m然后由波函數的連續性及邊界條件：F 1kr krj1kri n1 krS1 kr j1kri n1 kr（ 2.1.12 ）在上式中j1代表球 Bess

10、el 函數，n1 代表 Neumann函數，然后我們就可以通過上式算出S1和 112m h2S1m f1 h1mm（ 2.1.131m f1 h111mm hm利用有效勢的作用范圍方程:tan1k 2（ 2.1.14 ）2l12l2l1可以確定最大分波數Lm ax 。然后由以下公式求各種截面。分波彈性散射截面定義為：qe,l2 (2l 1)1 S12k（ 2.1.15 ）分波非彈性散射截面定義為：qa, lk2 2l 1 1 S12（ 2.1.16 ）微分散射截面定義為：* *d122l1 S11 P1 cos（ 2.1.17 ）d2ikl 0式中 P1 cos 為勒讓德函數。2.2 波恩近似

11、計算若是粒子散射與散射中心相互作用的勢能比入射粒子的動能小得多，此時勢能U r 可以被當做是微擾時，可用波恩近似來計算散射截面1。體系的哈密頓量寫為：HH 0 H上述式子中H0p2, 自 由 粒 子 的 哈 密 頓 量 為 H U r 。2m2我們把箱歸一化的動量本征函數 L 3 eikr作為 H 0 的本征函數， 這類歸一化描述在體積L3 內有一個粒子，微擾使粒子從動量為hk 的初態躍遷到動量為hk 的末態 1 。根據能量守恒有：222k kk入射離子流強度為 vL3 ， vhkm在單位時間內散射到立體角d內的粒子數表示為:dn vL 3 q , d（ 2.2.1 ）與此同時，方向在立體角d

12、內的末態的態密度表示為:* *2LP mmhkd2 h同時，在單位時間內散射到立體角d內的粒子數表示為:2L3U r ei k k r2L3mkddndr83h2h= vL 3mkU r ei k k r dr2d（2.2.2. ）42 h3v比較兩式，注意到 vhk，可得 :mm2i k k r2q4 2 h4U r edr（ 2.2.3 ）上述式子中在絕對值號里面保留負號的原因是，用其他方法得到的散射振幅引入矢量 :f 有一個負號。K k k（2.2.4 ）它的數值是： K 2k sin。其中是散射角，hK 是動量的變化量，此變化由散射引發。于2是（ 2.2.3 ）式的積分可以簡化為:a2

13、UrdrU r r 2dre iKr cos sin d d0004rU rsin Krdr（ 2.2.4 ）=k 0因而4m22rU r sin Krdr（ 2.2.5 ）q2 h4K0如果勢能已經得知，那么通過前面的式子能夠獲得微分散射截面，若是將勢能近似地寫作球對稱的壘或勢阱，結果如下:U 0 , raU r0, r a那么波恩近似成立的前提就能輕易得出。要是在勢場中散射波的相移很小，尤其是s 分波的* *相移非常小，那么就表示勢場對于散射波并沒有起太大作用，這樣看來把勢場看做微擾是可以成立的，因而只要分析s 分波相移就能夠獲得波恩近似成立的前提。由 kk 1 U 0 得：Ek 1U 0

14、 cot ka 1U 0k cot ka 0（2.2.6 ）EE當粒子能量很高時， EU0, 1U 01U 0。上式左邊余切的宗量可以寫成：E2Eka 1U 0kaka U 02E2E當這個宗量與ka 差一小角時，相移也很小。因而波恩近似的有效前提是：kaU 0aU 012Ehvv 是入射粒子的經典速度。因此得出，波恩計算方法普遍被用在粒子的高能散射計算中。而在勢阱的情況下，波恩計算對低能散射也可能是有用的。由（ 6 ）式可知，當 ka1, EU 0 時，有：tanU 0a2mU00Etan(2.2.8)h因此只要 a2mU 0 不是很接近于,那么0 很小，波恩近似則可以使用。h23 討論遠程

15、和近程三體散射的含時波恩近似計算各種短程和遠程三體散射系統都進行了含時波恩近似計算。遠程系統是一個標準的電子原子散射的 s 波模型，這個模型由Temkin(phy,Rev.126,130(1962)和 Poet(phy B 3081(1978)提出。含時薛定諤方程的一個直接解可以算出確切的激發和電離截面的全散射系統。用于短程的含時波恩近似計算收斂更快，因為有弱結合電位和高入射電子能量。用于遠程含時波恩近似計算不收斂,* *盡管一階激發和電離截面非常合理。我們開展了各種短程和遠程三體散射系統的含時波恩級數計算。散射系統基于一個由Temkin和 Poet 建立的橫波模型，這個模型模擬電子原子散射中

16、的非彈性過程。一個 截斷參數用來調整帶電粒子的相互作用的范圍。對于所有的散射系統，波恩級數計算相對于含時薛定諤方程的直接解來說更能獲得精確的橫截面。改進的Temkin-Poet模型的含時薛定諤方程是（原子單位）：r1, r2, t, r2V r1 , r2r1, r2 , t(3.1)iH r1t其中非微擾哈密頓為：1212earearH r1, r2122r22r2r1r2(3.2)12微擾 由下式給出：V r1 , r2e ar(3.3)r是一個可 調截斷 參數。一階含時波恩級數方程可以很容易導出：i0r 1, r 2 ,tH 0 r1 , r20r1 ,r2 , t(3.4)ti1r 1

17、, r 2 ,tH 0r1, r21r1 , r2 , tV r1 , r20r1, r2 , t(3.5)tinr 1 , r 2 , tH 0r1 , r2nr1, r2 ,tVr1, r2n1 r1 , r2 , t(3.6)t含時薛定諤方程或者含時波恩級數方程可以通過所有徑向波的離散和二維晶格的運算符解決。 S 散射的初始條件是r1 , r2 , t0 即是單粒子的薛定諤方程的基態解的對稱乘積：12ear2r 2rP rP r(3.7)表 11短程三體散射系統無彈性的橫截面* *波恩階數30eV50eV100eV1 k 秒標準1 k 秒標準1 k 秒標準12.0121.160.8171

18、.100.2241.0622.3151.020.9381.010.2551.0131.4800.980.6480.990.1921.0041.5261.000.6581.000.1931.0051.5911.000.6761.000.1961.001.5731.000.6721.000.1951.00表1是 一 個1 短 程 三 體 散 射 系 統 無 彈 性 的 橫 截 面 。 橫 截 面 以Mb給 出(1.0Mb1.010 18 cm2) 。表 21的短程三體散射系統無彈性的橫截面430eV50eV100eV1 21 k標準1 21 k標準121 k標準秒秒秒秒秒秒10.4914.614.

19、480.1752.403.430.0450.782.4421.99920.705.600.5479.053.320.0992.271.8431.77019.282.830.3897.151.490.0601.511.0240.4254.670.780.1101.850.780.0310.590.9250.1611.480.830.1021.380.960.0340.631.0060.3703.691.090.1422.111.040.0370.731.0170.3933.931.050.1412.121.010.0370.721.0080.3583.560.990.1362.030.980.0

20、360.711.00* *0.3563.551.000.1362.031.000.0360.711.001表2是 一 個短 程 三 體 散 射 系 統 無 彈 性 的 橫 截 面 。 橫 截 面 以Mb給 出4(1.0Mb 1.010 18 cm2 ) 。一個傳入的徑向波束，波恩級數方程的初始條件為0r1 , r2 , t 0 等于同一對稱化乘積.按照波束傳播，在n 0 時，0 r1 ,r2 , t0 激發，電離概率和橫截面由通過預測精確波函數nr1, r2 , t T或者 nt h 階近似波函數j r1 ,r2, tT提出一套完整的單粒子薛定諤方程的j 0束縛和連續解，詳細的計算過程在以前的

21、工作中已經得出。首先 ,我們考慮1這種截止參數 的選擇，單粒子薛定諤方程只的短程三體散射系統，對于有一個束縛態解，在0.242束縛能下。因此，唯一無彈性過程是基態的直接電離。在幾個不同的入射能量下的電離截面的結果列于表1。r1r20.2 網狀間隔的200200 點徑向晶格足夠用來計算時間聚合碰撞概率。我們也跟蹤波函數,1.0 始終是確切的結果,而且函數的波恩級數應該收斂于 1.0 。波恩級數的計算可以用來收斂所有的入射能量，更高的能量甚至收斂更快。30eV的最低入射能量還是比較高的，因為它的電離勢幾乎124 倍。我們注意到， 所有的第一階波恩具體的計算結果優于二階波恩的結果。接下來我們考慮短程

22、三體散射系統，對于這個截止參數的選擇，有兩個束縛態的解，7.790 eV 的束縛能基態和0.088eV 的束縛能激發態。 因此，有 1 2 秒的時間來激發基態的直接電離。 在幾個不同的入射能量下的非彈性截面的結果如表2 所示。帶r1r20.2 的網眼間距的 400400 點徑向晶格用來計算時間聚合碰撞概率。波恩級數計算的收斂再次適用于所有的入射能量，其中更高能量收斂更快。30eV 的最低入射能量現在僅是四倍電離勢。我們注意到，30eV 一階的入射能量波恩計算結果優于第五階波恩計算結果。最后我們認為一個0 的遠程三體散射系統，也就是標準的Temkin-Poet模型。用帶有? r?= ? r ?=

23、0.2網格間距的400 400 的點徑向晶格時有七個束縛態解，基態是13.47 的束縛能。* *當然在連續極限中，當網格間距變為零和框大小趨于無窮，我們得到一個束縛態的無窮值和13.61eV 束縛能的基態。在幾個不同的入射能量的非彈性截面結果如表3 所示。表 30 的遠程三體散射系統無彈性的橫截面30eV50eV100eV1 21 k標準121 k標準121 k標準秒秒秒秒秒秒11.6822.650.6201.690.1600.621.3011.971.000.5091.501.000.1370.601.00表3是 一 個0 的 遠 程 三 體 散 射 系 統 無 彈 性 的 橫 截 面 。

24、橫 截 面 以Mb給 出(1.0Mb1.010 18 cm2 ) 。時間融合碰撞概率只能提取用于一階波恩和精確的計算。在一階波恩計算中，波函數的歸一化和在基態的剩余概率與方程時間傳播持續增加。另一方面，我們獲取時間融合非彈性碰撞的概率。在二階波恩計算，所有的碰撞概率與方程時間傳播持續增加。因此，波恩級數計算可用來發散所有入射能量。我們注意到，非彈性的一階波恩結果與精確的計算一致，甚至更高的入射能量符合的更好。我們的一階含時波恩級數計算與一階非彈性截面不含時庫侖波恩計算密切相關。不幸的是， 我們很難適應目前的含時波恩近似計算與非彈性的橫截面不含時失真波計算問題在于兩電子波函數的初始條件。如果我們

25、讓r1 , r2r1 , r2U r2r1 , r2 V r1, r2 U r2 。隨著H 0 H 0 ,一個基態解的對稱化乘積和一個傳入波束不是Eq 的解。因此我們不能確定目前一階失真波理論的時間相關法是最好的。由 H. P.凱利在她的非彈性電子原子散射多體微擾理論計算中首次提出，長程庫侖場發散出現在可見勢高階項庫倫的任意選擇或者失真波。，根據潘和凱利的建議，可能采取的行動過程，就是選擇庫侖的混合基礎和扭曲的波連續狀態，例如，對于光學勢高階不同方面之間會發生強烈的取消。然后此混合的基礎來計算僅有限低階光學勢，以獲得非彈* *性散射截面。 在另一方面， 我們含時三體散射波恩級數計算的研究出現了

26、另一種方法。聰明一點，一組短距離多體哈密頓的高階光學勢的計算漸近，（如0 ）是確切的多體哈密頓解。當然，完整多體哈密頓含時解可能證明更容易一點。4 結論用于短程的含時波恩近似計算收斂更快，用于長程的含時波恩近似計算不收斂。參考文獻 :1 周世勛 .量子力學教程 M. 高等教育出版社 ,2011,5.2 章韋芳 . (e,2e) 反應中三重微分截面的理論計算分析J.池州學院學報，2010 ，24 （ 3 ）:40-54.3 趙鴻 ,馬穎 .三體散射的動力學 J.大學物理 ,2014(08).4 鄧小玖 . 玻恩近似的條件 J. 廣西物理 ,1997(03) ： 10-16.5 張永德 .玻恩近似

27、適用條件的推導與討論J. 大學物理 ,1988(06) ：11-13.6 張德明 .三體散射 J. 阜陽師范學院學報 (自然科學版 ) ,1984(01).7 曾耀榮 ,鄭容森 .對量子散射中的幾種方法的討論J.玉林師專學報 ,1998(03):41-46.8 廖玉芳 ,俞小鼎 ,吳林林 ,何彩芬 ,尹忠海 . 強雹暴的雷達三體散射統計與個例分析J. 高原氣象 ,2007(04):160-168.9 朱峰 . 基于群方法的多體散射結構解析波函數的構建J. 學術動態 ,2008(02):11-13.10 尤鳳翔 ,龔善初 ,陳文濤 . 量子散射的近似計算 J. 丹東紡專學報 , 2003(04) ： 66-68.11 Duan, Bin,Bai, Zaiqiao,Gu, Yan.Chaotic scattering in collinear Ze-e-three-bodyCoulombsystems.PhysicalReviewA-Atomic,Molecular, and Optical Physics . 2000.12 S.Neil Rasband.Dynamics. 1983.13Lemon L R.The rada“ Three-body scatter spike”: An operational large-hail sign