1、( (振動(dòng)理論課件振動(dòng)理論課件) )單自由單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)-b-b線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)頻率方程單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)頻率方程022002022, 11阻尼比阻尼比 特征值特征值線性無關(guān)特解線性無關(guān)特解 111201,ddi)(0重根*2, 1021tetedtdtsin,costttee00,ttee*2*1,02200 xxx tex線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)阻尼狀態(tài)阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)1 0220 xxx 的通解為的通解為tCtCexddtsincos21臨界阻尼狀態(tài)

2、=1 tetCCx021過阻尼狀態(tài)1 tteCeCx2121201,ddi線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)阻尼狀態(tài)阻尼狀態(tài) 1欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài) 0220 xxx tCtCexddtsincos21阻尼自由振動(dòng)方程阻尼自由振動(dòng)方程02200 xxx kmcmcmk2,2,00tex頻率方程頻率方程02200202022, 1)1()1(i202, 11,ddi1時(shí)，時(shí)，兩個(gè)特征兩個(gè)特征 值為值為自由振動(dòng)的通解自由振動(dòng)的通解線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)阻尼狀態(tài)阻尼狀態(tài)阻尼自由振動(dòng)對初始條件的響應(yīng)阻尼自由振動(dòng)對初始條件的響應(yīng)tAexdtsin)sincos(000txxtxexddd

3、t00020020arctan,xxxxxxAdd其中其中C1 ,C2為待定常數(shù)，由初始條件決定。為待定常數(shù)，由初始條件決定。 00)0(,)0(:0 xxxxt初始條件：初始條件：tCtCexddtsincos21線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)欠阻尼自由振動(dòng)欠阻尼自由振動(dòng)tAexdtsin阻尼自由振動(dòng)的角頻率阻尼自由振動(dòng)的角頻率201d阻尼阻尼自由振動(dòng)的自由振動(dòng)的角頻率角頻率，略小于無阻尼振動(dòng)的，略小于無阻尼振動(dòng)的固有角頻率，也是系統(tǒng)固有的物理參數(shù)固有角頻率，也是系統(tǒng)固有的物理參數(shù) 阻尼自由振動(dòng)的周期大于無阻尼自由振動(dòng)的周阻尼自由振動(dòng)的周期大于無阻尼自由振動(dòng)的周期期

4、 20122ddT線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)阻尼自由振動(dòng)的振幅阻尼自由振動(dòng)的振幅tAe02mc阻尼自由振動(dòng)的振幅按指數(shù)規(guī)律衰減阻尼自由振動(dòng)的振幅按指數(shù)規(guī)律衰減 tAexdtsin由于阻尼作用引起能量由于阻尼作用引起能量耗散，系統(tǒng)不可能保持耗散，系統(tǒng)不可能保持等幅的簡諧振動(dòng)，而轉(zhuǎn)等幅的簡諧振動(dòng)，而轉(zhuǎn)變?yōu)檎穹粩嗨p振動(dòng)變?yōu)檎穹粩嗨p振動(dòng) 線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)阻尼振動(dòng)衰減幅度的表示阻尼振動(dòng)衰減幅度的表示減縮系數(shù)減幅系數(shù)：相鄰兩個(gè)振幅之比減縮系數(shù)減幅系數(shù)：相鄰兩個(gè)振幅之比 任意兩個(gè)相鄰極大值之比任意兩個(gè)相鄰極大值之比dTTtteAe

5、AeAA)(21對數(shù)減縮對數(shù)減幅率對數(shù)減縮對數(shù)減幅率 相隔相隔j個(gè)周期的振幅個(gè)周期的振幅11ln1jAAjjTjjdeAA11020,122ddTdTln212lndT線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)可利用實(shí)驗(yàn)測出對數(shù)減縮并換算出阻尼比可利用實(shí)驗(yàn)測出對數(shù)減縮并換算出阻尼比 212lndT1ln11jAAj可以計(jì)算使振幅衰減到一定程度所需要的時(shí)間可以計(jì)算使振幅衰減到一定程度所需要的時(shí)間 欠阻尼狀態(tài)阻尼對自由振動(dòng)的影響欠阻尼狀態(tài)阻尼對自由振動(dòng)的影響 阻尼使系統(tǒng)自由振動(dòng)的圓頻率略有降低周期阻尼使系統(tǒng)自由振動(dòng)的圓頻率略有降低周期增大。當(dāng)阻尼比較小時(shí)，阻尼對頻率及周期增大。當(dāng)阻尼

6、比較小時(shí)，阻尼對頻率及周期的影響可以忽略不計(jì)。的影響可以忽略不計(jì)。 201d阻尼使系統(tǒng)振動(dòng)的振幅按指數(shù)規(guī)律衰減。任意阻尼使系統(tǒng)振動(dòng)的振幅按指數(shù)規(guī)律衰減。任意兩個(gè)相鄰振幅之比為常數(shù)。兩個(gè)相鄰振幅之比為常數(shù)。 tAexdtsindTTtteAeAeAA)(21過阻尼狀態(tài)過阻尼狀態(tài)1為過阻尼狀態(tài) 0220 xxx 1時(shí)，兩個(gè)特征 值為不等的負(fù)實(shí)數(shù)021)1(022)1(阻尼自由振動(dòng)方程02200 xxx texkmcmcmk2,2,00頻率方程頻率方程022002022, 11過阻尼狀態(tài)續(xù)過阻尼狀態(tài)續(xù)由于過阻尼的存在，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不再是振動(dòng)，而由于過阻尼的存在，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不再是振動(dòng)，而是一種非周期性蠕

7、動(dòng)，仍按指數(shù)規(guī)律衰減。是一種非周期性蠕動(dòng)，仍按指數(shù)規(guī)律衰減。tteCeCx*2*121對應(yīng)的位移曲線對應(yīng)的位移曲線 過阻尼狀態(tài)振動(dòng)方程的通解過阻尼狀態(tài)振動(dòng)方程的通解teC*22teC*1100)0(,)0(:0 xxxxt初始條件：初始條件：11212002001xxxC11212002002xxxC臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)=1是介于欠阻尼與過阻尼之間的臨界狀態(tài)是介于欠阻尼與過阻尼之間的臨界狀態(tài) 0220 xxx =1時(shí)，時(shí)，兩個(gè)特征兩個(gè)特征 值為重根值為重根 阻尼自由振動(dòng)方程阻尼自由振動(dòng)方程02200 xxx texkmcmcmk2,2,00頻率方程頻率方程022002022, 11te02

8、, 1臨界阻尼狀態(tài)續(xù)臨界阻尼狀態(tài)續(xù)臨界阻尼的運(yùn)動(dòng)是非往復(fù)的衰減運(yùn)動(dòng)臨界阻尼的運(yùn)動(dòng)是非往復(fù)的衰減運(yùn)動(dòng) 對應(yīng)的位移曲線對應(yīng)的位移曲線 臨界阻尼狀態(tài)振動(dòng)方程的通解臨界阻尼狀態(tài)振動(dòng)方程的通解00)0(,)0(:0 xxxxt初始條件：初始條件：tetCCx021txxxext)(00000臨界阻尼狀態(tài)的應(yīng)用：臨界阻尼狀態(tài)的應(yīng)用：對受沖擊后要求盡快恢復(fù)對受沖擊后要求盡快恢復(fù)到原位置的裝置，多數(shù)都到原位置的裝置，多數(shù)都設(shè)計(jì)為臨界阻尼狀態(tài)。設(shè)計(jì)為臨界阻尼狀態(tài)。問題討論問題討論臨界阻尼狀態(tài)在工程上有什么實(shí)際應(yīng)用？為什么？臨界阻尼狀態(tài)在工程上有什么實(shí)際應(yīng)用？為什么？按照一個(gè)周期內(nèi)消耗能量相等的原那么，推導(dǎo)干摩按

9、照一個(gè)周期內(nèi)消耗能量相等的原那么，推導(dǎo)干摩擦阻尼和平方流體阻尼擦阻尼和平方流體阻尼 的的等效線性阻尼系數(shù)。等效線性阻尼系數(shù)。xxcFdd sgn2等效粘性阻尼等效粘性阻尼 除粘性阻尼以外，系統(tǒng)中還存在其它類型的除粘性阻尼以外，系統(tǒng)中還存在其它類型的阻尼，其性質(zhì)和數(shù)學(xué)描述比粘性阻尼復(fù)雜得阻尼，其性質(zhì)和數(shù)學(xué)描述比粘性阻尼復(fù)雜得多。多。為便于分析，工程中常將各種非粘性簡化為為便于分析，工程中常將各種非粘性簡化為等效粘性阻尼，使以上對粘性阻尼的分析結(jié)等效粘性阻尼，使以上對粘性阻尼的分析結(jié)果有更大的適用范圍。果有更大的適用范圍。等效的原那么是令非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)等效的原那么是令非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)

10、耗散的能量與等效粘性阻尼在同一周期內(nèi)耗耗散的能量與等效粘性阻尼在同一周期內(nèi)耗散的能量相等。散的能量相等。系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)時(shí)，阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)時(shí)，阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量可近似地利用無阻尼振動(dòng)規(guī)律的能量可近似地利用無阻尼振動(dòng)規(guī)律 tAxsin等效粘性阻尼續(xù)等效粘性阻尼續(xù)1粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量 TTdttAcdtxcdxxcE00222002)(costAx0sinCuuudu2sin4121cos200000000020002)2(sin41)(211)()(cos1)(cosTTTTtttdtdtt20AcE等效粘性阻尼續(xù)等效粘性阻尼續(xù)

11、2干摩擦阻尼干摩擦阻尼 干摩擦阻尼遵循庫侖定律即摩干摩擦阻尼遵循庫侖定律即摩擦力與接觸物體間的正壓力成擦力與接觸物體間的正壓力成正比，與運(yùn)動(dòng)方向相反。正比，與運(yùn)動(dòng)方向相反。xFFNdsgn其中其中為動(dòng)摩擦因數(shù)，為動(dòng)摩擦因數(shù)，為符號函數(shù)，定義為為符號函數(shù)，定義為 000101sgnxxxx當(dāng)當(dāng)當(dāng)運(yùn)動(dòng)方向不變時(shí)摩擦力為常值，所作運(yùn)動(dòng)方向不變時(shí)摩擦力為常值，所作的功等于摩擦力與運(yùn)動(dòng)距離的乘積，的功等于摩擦力與運(yùn)動(dòng)距離的乘積，因此在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量為因此在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量為 AFEN4粘性阻尼粘性阻尼 20AcEAFcN04干摩擦的等效粘阻尼系數(shù)與振幅成反比干摩擦的等效粘阻尼系數(shù)與振幅成反比

12、干摩擦阻尼的等干摩擦阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)效粘性阻尼系數(shù)等效粘性阻尼續(xù)等效粘性阻尼續(xù)3平方阻尼流體阻尼平方阻尼流體阻尼在低粘度流體介質(zhì)中以較大速度運(yùn)動(dòng)的物體，在低粘度流體介質(zhì)中以較大速度運(yùn)動(dòng)的物體，阻力接近于與速度平方成正比，與運(yùn)動(dòng)方向相反。阻力接近于與速度平方成正比，與運(yùn)動(dòng)方向相反。 xxcFdd sgn2其中其中cd為阻力系數(shù)。為阻力系數(shù)。 在運(yùn)動(dòng)方向不變的半在運(yùn)動(dòng)方向不變的半個(gè)周期內(nèi)計(jì)算耗散能個(gè)周期內(nèi)計(jì)算耗散能量再乘以量再乘以2倍得到倍得到 443203200382sgnTTddAcdtxcdxxxcdE粘性阻尼粘性阻尼 20AcE等效粘阻系數(shù)等效粘阻系數(shù)c與振幅成正比與振幅成正比 Ac

13、cd038流體流體阻尼的等效阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)等效粘性阻尼續(xù)等效粘性阻尼續(xù)4結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼由于材料為非完全彈性，變形過程由于材料為非完全彈性，變形過程中材料的內(nèi)摩擦所引起的阻尼稱作中材料的內(nèi)摩擦所引起的阻尼稱作結(jié)構(gòu)阻尼，其特征是應(yīng)力結(jié)構(gòu)阻尼，其特征是應(yīng)力應(yīng)變曲應(yīng)變曲線存在滯環(huán)。線存在滯環(huán)。 加載和卸載沿不同的特征曲線進(jìn)行。加載和卸載沿不同的特征曲線進(jìn)行。在振動(dòng)的每個(gè)周期內(nèi)，內(nèi)摩擦所耗散在振動(dòng)的每個(gè)周期內(nèi)，內(nèi)摩擦所耗散的能量等于滯環(huán)曲線所圍的面積。的能量等于滯環(huán)曲線所圍的面積。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明，滯環(huán)曲線的面積與應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明，滯環(huán)曲線的面積與應(yīng)變幅度的平方成正比變幅度的平方成正比

14、 2vAE比例系數(shù)比例系數(shù)表達(dá)不同的材料性質(zhì)。表達(dá)不同的材料性質(zhì)。 粘性阻尼粘性阻尼 20AcE等效粘阻系數(shù)僅取決于材料的物理性質(zhì)等效粘阻系數(shù)僅取決于材料的物理性質(zhì) 0vc 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)阻尼的等效阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)微分方程微分方程0kxxcxm 0220 xxx 02200 xxx mk0mc2kmc20阻尼比阻尼比阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)1欠阻尼狀態(tài)tCtCexddtsincos21自由振動(dòng)的解自由振動(dòng)的解tAexdtsin201d)sincos(000txxtxexdddt單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)減縮系數(shù)減幅系數(shù)減

15、縮系數(shù)減幅系數(shù)dTTtteAeAeAA)(21對數(shù)減縮對數(shù)減幅率對數(shù)減縮對數(shù)減幅率 212lndT相隔相隔j個(gè)周期的振幅個(gè)周期的振幅1ln11jAAj單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)1，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不再是振動(dòng)，而是，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不再是振動(dòng)，而是一種非周期性蠕動(dòng)，仍按指數(shù)規(guī)律衰減一種非周期性蠕動(dòng)，仍按指數(shù)規(guī)律衰減=1臨界阻尼的運(yùn)動(dòng)是非往復(fù)的衰減運(yùn)動(dòng)臨界阻尼的運(yùn)動(dòng)是非往復(fù)的衰減運(yùn)動(dòng) 臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)工程中常將各種非粘性簡化為等效粘性阻尼工程中常將各種非粘性簡化為等效粘性阻尼1,0等效的原那么是令非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的等效的原那么是令非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量與等效粘

16、性阻尼在同一周期內(nèi)耗散的能量相等能量與等效粘性阻尼在同一周期內(nèi)耗散的能量相等對受沖擊后要求盡快恢復(fù)到原位置的裝置，多數(shù)對受沖擊后要求盡快恢復(fù)到原位置的裝置，多數(shù)都設(shè)計(jì)為臨界阻尼狀態(tài)。都設(shè)計(jì)為臨界阻尼狀態(tài)。臨界阻尼狀態(tài)振動(dòng)方程的通解臨界阻尼狀態(tài)振動(dòng)方程的通解tetCCx021tteCeCx*2*121過阻尼狀態(tài)振動(dòng)方程的通解過阻尼狀態(tài)振動(dòng)方程的通解作業(yè)：作業(yè)： P28 習(xí)題習(xí)題 思考題：思考題： 減縮系數(shù)減縮系數(shù)任意兩個(gè)相鄰極大值之比任意兩個(gè)相鄰極大值之比tAexdtsin)sin()cos(ttAexdddt0 x x取極值的條件取極值的條件202011)tan(ddtx取極值的各個(gè)時(shí)刻取極值

17、的各個(gè)時(shí)刻t tn n滿足滿足21arctanntndn=1,2,3減縮系數(shù)續(xù)減縮系數(shù)續(xù)任意兩個(gè)相鄰極大值之間的時(shí)間間隔等于衰減振任意兩個(gè)相鄰極大值之間的時(shí)間間隔等于衰減振動(dòng)的周期動(dòng)的周期Tdx的極大值與極小值是相互交替出現(xiàn)的的極大值與極小值是相互交替出現(xiàn)的任意兩個(gè)相鄰極大值所對任意兩個(gè)相鄰極大值所對應(yīng)的時(shí)刻分別為應(yīng)的時(shí)刻分別為ts 和和ts+22)(2ssdttddssTtt2)(221arctanntnd減縮系數(shù)續(xù)減縮系數(shù)續(xù)ddssTsdTtsdtssetAetAexx)2sin()sin()(2dTeAA21稱為減縮系數(shù)減幅系數(shù)稱為減縮系數(shù)減幅系數(shù) dTe1ssxx12每隔一個(gè)周期，振幅

18、縮減為原來的每隔一個(gè)周期，振幅縮減為原來的1稱為減幅率稱為減幅率為常數(shù)為常數(shù)任意兩個(gè)相鄰極大值之比任意兩個(gè)相鄰極大值之比相隔相隔j個(gè)周期的振幅比個(gè)周期的振幅比dTeAA21相鄰兩個(gè)極大值之比相鄰兩個(gè)極大值之比jTjjjjdeAAAAAAAA1322111振動(dòng)中的阻尼振動(dòng)中的阻尼在前面的討論中，我們略去了運(yùn)動(dòng)所受的阻力，在前面的討論中，我們略去了運(yùn)動(dòng)所受的阻力，因而得出系統(tǒng)在自由振動(dòng)中機(jī)械能守恒，振幅保因而得出系統(tǒng)在自由振動(dòng)中機(jī)械能守恒，振幅保持不變的結(jié)論持不變的結(jié)論實(shí)際觀察所得結(jié)果與上述結(jié)論有出入實(shí)際觀察所得結(jié)果與上述結(jié)論有出入有必要考慮阻力對自由振動(dòng)的影響有必要考慮阻力對自由振動(dòng)的影響實(shí)際的阻力來源不一，形式多樣實(shí)際的阻力來源不一，形式多樣來自滑動(dòng)面之間有潤滑或無潤滑的摩擦力來自滑動(dòng)面之間有潤滑或無潤滑的摩擦力來自周圍介質(zhì)空氣、水等的阻力來自周圍介質(zhì)空氣、