1、第8頁利用對稱點解三角形中的格點問題（本講適合初中）如果三角形的三個角的度數都是10的整數倍，三角形內一點與三角形的 三個頂點分別連結后，得到的所有的角也都具有這個性質，我們稱這樣的 點為三角形中的格點.求解三角形中的格點問題，常可利用對稱點.利用 對稱點求解三角形中的格點問題，方法簡單易行，解法簡潔巧妙，題面新 穎有趣，是學生鞏固知識，培養能力，陶冶情操，提高素質的寶貴資料. 1證明對稱點常用的方法大家知道，把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重 合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱.兩個圖形中的對應點叫做關 于這條直線的對稱點，這條直線叫做對稱軸.根據對稱點的定義不難知道

2、，欲證兩點M、N關于線段PQ所在的直線對 稱，只要證明 MPQ也 NPQ即可.不過，在證明對稱時，只須擺明 條件，而不必特別指明兩個三角形的全等關系.例1 在 ABC 中，/AEC=60，/ACE = 20，M%/A CE的平分線上一點，/MBC = 2 0 .求ZMAB的度數.解：如圖1，設/MBA的平分線交AC于D，連DM.圖1顯然，BM平分/DBC，而CM平分/DCB，即M為ADBC的內 心.可知 ZMDB=Z MD& 60.有/ADB = 6 0=/MDB .故 點A與點M關于BD對稱.則/MAB=90/DBA=70.這里證得“點A與點M關于BD對稱”是根據“角、邊、角” 例2 在AA

3、BC中，/ABC = /ACB = 4 0，P為形內一點，/PCA = /PAC = 2 0。.求ZPBC的度數.解：如圖2，以AC為一邊在AABC外作正ADAC .連DP.由/PCA = /PAC = 2 0，可知PA=PC .有點A與點C關于PD對1稱.得/PDA= 2/ADC=30.由ZACB=ZABC = 4 0，可知AB = AC = AD. 易知ZPAD=80=ZPAB，可知點E與點D關于PA對稱.有/ PEA=/PDA=30.則 ZPBC=10.這里證出“點A與點C關于PD對稱”是根據“邊、邊、邊”，證出“點B與點D關于PA對稱”是根據“邊、角、邊”.綜上可知，證明兩個點關于某線

4、段所在直線對稱，是一件很容易做的事 情.而且熟練以后，更可能節省些筆墨.明確了這一點，我們就要積極、 主動地創造條件，注意利用對稱點.2在哪些情況下應想到使用對稱點三角形中的格點問題，經常會給出或求證角平分線，這是使用對稱點的最 方便的條件，換言之，在題目給出或求證角平分線時， 要想到使用對稱點.例3 在 AABC 中，/ABC = 40，/ACB = 30，P 為/ABC的平分線上一點，/PCB=10 .求/PAB的度數.解：如圖3，在BA延長線上取一點D，使BD=BC .連DP、DC.圖3由BP平分/ABC，可知點D與點C關于BP對稱.有PD=PC.由/DPC = 2(/PBC + /PC

5、B)=6 0 ，可知APCD為正三 角形.有PC = DC.在AACD中，由/ADC=7 0=/DAC，可知AC = DC .有AC = PC.在APCA中，由/PCA=2 0 ，可知/PAC=80.則 /PAB = 3 0.這里由BP平分/ABC， 想到在BA延長線上取一點D, 使BD=BC， 則點D為點C關于BP的對稱點. 這是取對稱點的最簡單、最基本的方法. 例4 在 AABC 中，/ABC=50，/ACB = 30，Q 為形內 一點，/QBA = /QCA=2 0。.求/QAB的度數.解：如圖4,設BQ交AC于D,過點D作BC的垂線交QC于E.連BE.圖4由/QBC=30=/ACB，可

6、知DE為BC的中垂線.由/QCB = 10，可知 /EBC=10，/QBE=20=/QBA.由/EDB=6 0=/EDC，可知/BDA=6 0=/BDE.有 點A與點E關于BD對稱.則/QAB=/QEB =/EBC+/ECB=20.這里注意到EQ是ZAQC的平分線，故想到在QC上取點E,使ZEB Q = ZABQ，則點E為點A關于BQ的對稱點.為此想到滿足條件的點 E,恰為BC中垂線與QC的交點。又由/QBC = 3 0=/ACB, 想到BQ與AC的交點D應為BC中垂線上的另一點.于是，我們選擇了 如上的方法找到點A關于BQ的對稱點E.例5在 AABC 中，/ABC=50,/ACB = 30,

7、 Q為形內一點，/QCA = /QAB= 20.求/QBC 的度數.解：如圖5，設BC的中垂線分別交BA、AC于D、E，F為垂足.連 QE、BE、DC.由/ACD=2 0=/ACQ，/DAC=8 0=/QAC，可知點D與點Q關于AC對稱.有 /AEQ=/AED=/FEC=60.由/BEF=/FEC=6 0 ，可知/AEB=6 0=/AEQ.有 B、Q、E三點共線.則/QBC=/EBC=30.這里注意到AC是AAOB的/QAB的外角平分線（這一點并不引人注 目），在BA延長線上取一點D,使DA = QA，則點D為點Q關于AC 的對稱點.為此我們通過BC的中垂線，把/ABC “翻折”到ZDCB 的

8、位置，是非常恰當的.例6 在 AABC 中，/CAB = /CBA= 50, O為形內一點，/O AB=10 , ZOBC= 20.求/OCA的度數.解：如圖6,過點C作AB的垂線交BO延長線于E.連AE.由/CAB=/CBA=50，可知點A與點B關于CE對稱.又由/ OBC=20,/ECB = 4 0,有/CEA = /CEB=12 0.于是，/OEA=120=/CEA.由/EAB=/EBA=3 0,/OAB=l 0,可知AE平分/C AO.有點C與點O關于AE對稱.則/OCA = /COA=12(180/OAC)=70.這里從準確的圖形我們能夠猜想AO = AC，或說點O與點C的對稱軸經

9、過點A.由于圖中沒給出對稱軸，我們通過AE的中垂線，將直線EO “翻 折”到AE位置，從而解決了/CAO的平分線的問題.處理是巧妙的.綜上我們討論了在圖形中出現角平分線時應想到使用對稱點當圖形中缺 角平分線時，也要設法調整圖形，使角平分線及時“出現”，為確定對稱 關系提供方便.3如何選擇對稱點的位置恰當地選擇對稱點，能夠使圖形出現更多的特殊性，能夠使圖形具有更多 的好性質，能夠使求解來得方便，簡捷，新穎，巧妙為此，選擇對稱點 時，應當以能夠出現特殊圖形為原則.3.1讓對稱點落在某線段的中垂線上例 7 在 ABC 中，/AEC=50，/ACE = 30，R為形內 一點，/RBC = /RCB =

10、 2 0。.求ZRAB 的度數.解：如圖7，以AB為一邊在AABC形內一側作正ADAB .連DR、DC.圖7由ZACB = 30， 可知點D為AABC的外心. 于是，DB=DC.有 /DCB=/DBC=10，/BDC=160.由ZRBC = Z RC4 20，可知RB = RC .有RD為BC的中垂線，1且/RDB= 2 /BDC= 80.由/RBA=30。，可知點A與點D關于BR對稱.有ZRABZR DB=80。.這里以AB為一邊在ABC形內一側作正ABD，實質上就是找到了點A關于BR的對稱點，由于點D在BC的中垂線上，使 求解很方便.3.2讓對稱點落在某三角形的外接圓上例 8 在AABC

11、中，/ ABC=60，Z ACB=40，P 為形內一點， / PBC=20，Z PC* 10 .求 ZPAB 的度數.解：如圖8,設點D為點B關于PC的對稱點.連DA、DB、DC、D在 ABCD 中， 由/DCB = 20， 可知/BDC=80=/BAC. 有A、D、E、C四點共圓.由DC平分ZACB，可知DA = DB .易 知APBD為正三角形，有DP = DB .則DP = DA = DB，即點D為PAB的外心.故/PAB=12/PDB=30.這里，點B關于PC的對稱點D恰好在AABC的外接圓上，使圓內接四 邊形的性質能在求解中發揮作用.可見在選擇對稱點時，能使其位于某三 角形的外接圓上

12、，也是很理想的.3.3讓對稱點與另一點的某個對稱點重合例9 在 AABC 中，/ABC = /ACB= 40，P 為形內一點，/P AC = 20，/PCB= 30.求/PBC 的度數.解：如圖9,設點D為點C關于AP的對稱點.連DA、DB、DC、DP.圖9由 /PAC = 20，ZPCA=10，可知 ZDAC = 40，/ PDA=/ PC4 10。，則 PDC為正三角形.由/ABC = /ACB = 4 0，可知AC = AB = AD .由/BAD =6 0，可知AABD為正三角形.有/DBC=60/ABC = 20.由/PCB = 30。，可知點P與點D關于BC對稱.故ZPBCZDBC

13、 = 20.這里尋到的點D是點C關于AP的對稱點，也是點P關于BC的對稱點.理想的巧合，使解法很漂亮.以上三例分別說明了選擇對稱點的常見的目標，當然還會有其他的目 標.對這些情況的深入研究，能使我們熟悉和喜歡利用對稱點解題，即使 在較復雜的問題中，也能順其自然，輕松流暢地尋出理想的解法來.例10 在 AABC 中，/ABC=50，/ACB=30，R 為形 內一點，/ RAC=/RCB= 20.求/RBC 的度數.解：如圖10,設點E為點R關于AC的對稱點，點D為點A關于EC的對稱點.連 DA、DR、DE、DC、EA、EC. 圖10易知 EDA為正二角形，有AD = AE = AR .在ACD中

14、，易知/DAC=8 0 ，可知ZBAC+ZDAC=180.有B、A、D三點共線.得/DCB = 50=/DBC，且 / BDC=80。.在 ARD中，由/RAD=10 0,可知/RDA=/DRA=40=12/BDC.由、可知點B與點C關于DR對稱.則/RBC=/RCB=20.這里，先是將ARAC沿AC向上翻，然后又將AEAC沿EC向上翻， 這一翻再翻，構造出等腰 DBC正ADAE、等腰AARD，證出點B與點C關于DR對稱， 也就求出了/RBC.其間巧取對稱，真是奇妙. 例11 在 AABC 中，/ABC=5 0，/ACB = 2 0，N 為形 內一點，/NAB = 40，/NBC=3 0。.求

15、ZNCB的度數.解：如圖11，過點N作AC的垂線交BA延長線于P.在AN延長線上 取一點Q,使/QBC = 3 0 .連PC、QC、QB、PQ、PN.圖11由/PAC=7 0=/NAC，可知點P與點N關于AC對稱.有PC = NC.由ZNAB = 4 0，ZABC=5 0 ，可知AQ丄BC .有點N與點 Q關于BC對稱得QC=NC.則 PC = QC.易知ABQN為正三角形，有NB=NQ.由/NPA=9 0/PAC = 2 0=/NBA，可知NP=NB. 則 NP=NQ.易知APNC也厶“。.可知ZNCP = ZNCQ，即2/NCA=2 ZNCB.得ZNCA=ZNCB.1故ZNCB= 2ZACB=10.這里，一是將ANAC向上翻，二是將ANBC向下翻，這上翻下翻構造 了正ANBQ，等腰AANP，以點N為外心的APBQ，兩個全等的等 腰ANCP 和ANCQ .其間，巧用對稱，堪稱一絕.三角形中的格點問題，為對稱點的使用提供了廣闊的空間，只要我們潛心 研究，科學歸納，總會有新的規律被發掘和利用.練習題題號在厶ABC中P為形內一點，求出卜面空格中的角的度數答案/ ABC/ ACB/ PBC/ PCB/ PAB14 03 02 010 01026 04 02 03 0