1、二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義一、問題的提出一、問題的提出四、小結(jié)、思考題四、小結(jié)、思考題五、作業(yè)五、作業(yè)第六節(jié)、方向?qū)?shù)與梯度第六節(jié)、方向?qū)?shù)與梯度三、梯度的概念三、梯度的概念1513xy32 2實(shí)例：實(shí)例：一、問題的提出一、問題的提出應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？原點(diǎn)的距離成反比原點(diǎn)的距離成反比金屬板受熱金屬板受熱(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使它使假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到在在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，處有一個(gè)螞蟻， 問這只螞蟻問這只螞蟻問

2、題的實(shí)質(zhì)：問題的實(shí)質(zhì)： 應(yīng)沿由熱變應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向即冷變化最驟烈的方向即梯度方向爬行梯度方向爬行一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義（如圖）（如圖）的變化率問題的變化率問題討論函數(shù)討論函數(shù)),(yxfz 在一點(diǎn)在一點(diǎn)沿某一方向沿某一方向0P設(shè)設(shè)l是是xoy平面上以平面上以000(,)P xy為始點(diǎn)的一條射為始點(diǎn)的一條射線，線，(cos ,cos)le 是是與與l同方向的單位向量。同方向的單位向量。oyxl( , )P x y000(,)P xyle射線射線l的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為00cos , (

3、0)cos.xxttyyt 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù),內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，0()U P的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)000(,)P xy( , )zf x y00(cos ,cos)P xtyt 為為l上的另一點(diǎn)，上的另一點(diǎn)，且且0().PU P若函數(shù)增量若函數(shù)增量0000(cos,cos)(,)f xtytf xy 與與P到到0P的距離的距離0PPt的比值的比值0000(cos ,cos)(,),f xtytf xyt 當(dāng)當(dāng)P沿著沿著l趨于趨于0P時(shí)的極限存在，時(shí)的極限存在，則稱此極限為則稱此極限為函數(shù)函數(shù)( , )f x y在點(diǎn)在點(diǎn)0P沿著方向沿著方向l的的記為記為00(,)xyfl即即

4、定義定義或或00(,),xyzl0000000(,)(cos ,cos)(,)lim.txyff xtytf xylt 方向?qū)?shù)的幾何意義：方向?qū)?shù)的幾何意義： 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)00(,)xyfl就是就是函數(shù)函數(shù)( , )f x y在點(diǎn)在點(diǎn)沿方向沿方向000(,)P xyl的變化率。的變化率。若函數(shù)若函數(shù)( , )f x y在點(diǎn)在點(diǎn)000(,)P xy的偏導(dǎo)數(shù)存在，的偏導(dǎo)數(shù)存在，(1,0),lei那么那么00(,)xyfl00,;xfxy又若又若(0,1),lej那么那么00000(,)(,)limtf xt yf xyt00(,)xyfl00,;yfxy00000(,)(,)limtf xy

5、tf xyt同理：同理：函數(shù)函數(shù)( , )f x y在點(diǎn)在點(diǎn)000(,)P xy沿著沿著x軸負(fù)向和軸負(fù)向和y 軸負(fù)向的方向?qū)?shù)分別為軸負(fù)向的方向?qū)?shù)分別為00,xfxy00,.yfxy和和反之，反之，00(,)xyzl假設(shè)假設(shè),lei存在，存在，那那么么00,xzxy未未必存在。必存在。如如22zxy在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)O處沿處沿li方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù)(0,0)zl0( ,0)(0,0)limtz tzt0limttt1,而偏導(dǎo)數(shù)而偏導(dǎo)數(shù)0,0 xz不存在。不存在。證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為(,)( ,)0000f xx yyf x y 關(guān)于方

6、向?qū)?shù)的存在及計(jì)算，有關(guān)于方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算，有定理定理 且有且有 如果函數(shù)如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)是可微是可微( , )zf x y000(,)P xy分的，分的， 則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都的方向?qū)?shù)都存在，存在，(,)(,)cos(,)cos.000000 xyxyffxyfxyl 其中其中cos,cos 為方向?yàn)榉较騦的方向余弦。的方向余弦。但點(diǎn)但點(diǎn)00(,)xx yy在以在以000(,)P xy為始點(diǎn)的射線為始點(diǎn)的射線l上時(shí)，上時(shí)， 應(yīng)有應(yīng)有( ,)( ,)( ),0000 xyf x yxf x yy o cos ,xt所以所以(cos,cos)(,)li

7、m00000tf xtytf xyt 00000( )lim(,)cos(,)cosxyto tfxyfxyt 00(,)xyfl故方向?qū)?shù)存在，故方向?qū)?shù)存在，0000(,)cos(,)cos .xyfxyfxy 且且0000(,)cos(,)cos,xyfxyfxy cos,yt, t (,)( ,)0000f xx yyf x y ( ,)( ,)( ),0000 xyf x yxf x yy o 13,22le解解(1,2)(1,2)22,xfx(1,2)(1,2)24;yfy(1,2)fl12 3. 例例1 1 求函數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)。的方向的方

8、向?qū)?shù)。22( , )f x yxy(1,2)(1,2)P(2,23)Q方向方向l (2 1,232)PQ (1, 3),與與l同方向的單位向量為同方向的單位向量為所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù)122342解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx cossin sin(),24 故故(1 ）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)， /4 方向?qū)?shù)達(dá)到最大值方向?qū)?shù)達(dá)到最大值2;（2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)， 5 /4 方向?qū)?shù)達(dá)到最小值方向?qū)?shù)達(dá)到最小值2;（3）當(dāng)）當(dāng)和和時(shí)，時(shí)，3 /4 7/

9、4 方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于0.例例2 求函數(shù)求函數(shù)22),(yxyxyxf 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)沿與沿與x軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射線l（1最大值；最大值； （2最小值；最小值； （3等于零？等于零？的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).并問并問在怎樣的方向上此方向?qū)г谠鯓拥姆较蛏洗朔较驅(qū)?數(shù)有數(shù)有該函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)當(dāng)該函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)當(dāng)?shù)谑加谠谑加谠c(diǎn)的任何射線上，點(diǎn)的任何射線上，然也不可微），然也不可微），含原點(diǎn)的充分小的一段，含原點(diǎn)的充分小的一段， 在在這段上這段上f的函數(shù)值恒為零，的函數(shù)值恒為零， 于是由方向?qū)?shù)的定義，于是由方向?qū)?shù)的定義，1f1f0f0f在原點(diǎn)處沿任何方向在

10、原點(diǎn)處沿任何方向l都有都有(0,0)0.fl都存在包都存在包時(shí)，時(shí)，例例3 設(shè)設(shè) 1,( , ) 0,f x y 當(dāng)當(dāng)20,yxx 其余部分，其余部分，研究研究f在原點(diǎn)的方向?qū)?shù)。在原點(diǎn)的方向?qū)?shù)。解解,(,)(cos ,cos ,cos )(, )lim,00 00000000tx y zff xtytztf x y zlt 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義它在空間一點(diǎn)它在空間一點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)( , , ),uf x y z沿著方向沿著方向的方向的方向0000(,)P xy z(cos ,cos,cos )le 同理可以證明：同理可以證明

11、： 若函數(shù)若函數(shù)( , , )uf x y z在點(diǎn)在點(diǎn)000(,P xy0,)z可微，可微， 則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向(cos ,cos,le cos ) 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為,(,)(,)cos(,)cos000000000 xyxy zffxy zfxy zl ,(,)cos .000zfxy z 例例4 求函數(shù)求函數(shù)222ux yy zz x在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1,1)M沿向量沿向量(1, 2,1)l 方向的方向?qū)?shù)。方向的方向?qū)?shù)。解解 ,121666le(1,1,1)xu( , , )21 1 12xyz, 3(1,1,1)yu( , , )21 1 12xyz, 3(

12、 , , );1 1 13zu(1,1,1)ul136. 0236136解解令令, 632),(222 zyxzyxF44,xPPFx66,yPPFy22,zPPFz故故,xyxPPPnFFF4, 6, 2 ,2224622 14,n 方向余弦為方向余弦為例例5 設(shè)設(shè)n是曲面是曲面632222 zyx 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 1(P處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)2122)86(1yxzu 在此處沿方向在此處沿方向n的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzy

13、xzu22286 .14 coscoscosPPuuuunxyz .711 故故12221(68) ,(1,1,1)uxyPz4, 6, 2 , 2 14nn三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問題問題P定義定義一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域內(nèi)具有內(nèi)具有D則對(duì)于每一點(diǎn)則對(duì)于每一點(diǎn)000(,),P xyD0000(,)(,) ,xyfxy ifxyj記為記為00 (,),f xygrad即即00 (,)f xygrad0000(,)(,) .xyfxy i

14、fxyj這向量稱為函數(shù)這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)000(,)P xy梯度，梯度，的的000000(,)(,)cos(,) cosxyxyffxyfxyl 00|grad(,)|cos ,f xy 由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知00 (,)f xygradle當(dāng)當(dāng)0 時(shí)，時(shí)，即沿梯度方向時(shí)，即沿梯度方向時(shí)，00(,)xyfl方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)取得最大值，取得最大值，這個(gè)最大值就是梯度的模這個(gè)最大值就是梯度的模00 |grad(,)|.f xy結(jié)論結(jié)論它的模它的模它的方向是函數(shù)在該它的方向是函數(shù)在該(2) 與函數(shù)在該點(diǎn)的梯度相反的方向是函數(shù)在該點(diǎn)與函數(shù)在該點(diǎn)的梯度相反的方向是函數(shù)在該點(diǎn)

15、的方向?qū)?shù)取得最小值的方向，的方向?qū)?shù)取得最小值的方向， 其最小方向?qū)?shù)為其最小方向?qū)?shù)為是一個(gè)向量，是一個(gè)向量，00() ,f xygrad就是方向?qū)?shù)的最大值就是方向?qū)?shù)的最大值00 |grad(,)|f xy 00|grad(,)|.f xy點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，垂直的方向的方向?qū)?shù)等于零。垂直的方向的方向?qū)?shù)等于零。函數(shù)函數(shù)的梯度的梯度000(,)P xy在點(diǎn)在點(diǎn)( , )f x y(1)( , )f x y在點(diǎn)在點(diǎn)000(,)P xy處沿與梯度處沿與梯度00 (,)f xygrad(3)當(dāng)當(dāng)xf 不為零時(shí)，不為零時(shí)，x軸到梯度的軸到梯度的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角

16、 的正切為的正切為tan.ffyx 例例6設(shè)設(shè)2( , )ln(),zf x yxy(1) 求求f在點(diǎn)在點(diǎn)(0,1)P處沿從處沿從P到到(2,0)Q方向的變化率方向的變化率.(2) f在點(diǎn)在點(diǎn)(0,1)P處沿什么方向具有最大增長率，其處沿什么方向具有最大增長率，其最大增長率為多少？最大增長率為多少？解解(1)(2, 1),PQ 21 ,.55le又又22(0,1)12(0,1),yfxyxygrad(1,2),(0.1) fl(1,2)21,550.211255 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面。表示一個(gè)曲面。),(yxfz 所截得所截得cz ,),( czyxfz投影如圖投影如圖.oyx2),

17、(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線( , )f x ygrad梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P(2)f在點(diǎn)在點(diǎn)(0,1)P處沿梯度處沿梯度(0,1)(1,2)fgrad方向方向具有最大的增長率，具有最大的增長率， 其最大增長率為其最大增長率為(0,1)fgrad5.曲面被平面曲面被平面所得曲線在所得曲線在xOy面上面上等高線的畫法等高線的畫法播放播放圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如,梯度與等高線的關(guān)系：梯度與等高線的關(guān)系：函數(shù)函數(shù)( , )zf x y 在點(diǎn)在點(diǎn)( , )P x y的梯度的方向的梯度的方向( , )f x yc

18、在這點(diǎn)的法線的一在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，個(gè)方向相同， 且從數(shù)值較低的且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)。線方向的方向?qū)?shù)。與點(diǎn)與點(diǎn)P的等高線的等高線( , , ).gradffff x y zijkxyz 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階義一個(gè)向量義一個(gè)向量(梯度梯度)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，( , , ),P x

19、 y zG 則對(duì)于每一點(diǎn)則對(duì)于每一點(diǎn)都可定都可定方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值導(dǎo)數(shù)的最大值.類似地類似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，的等量面，),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與此函數(shù)在點(diǎn)此函數(shù)在點(diǎn)czyxf ),(過點(diǎn)過點(diǎn)P的等量面的等量面在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，向相同，面，面，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).解解 由梯度

20、計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得( , , )uuuu x y zijkxyzgrad(23)xi故故(1,1,2)5212 .uijkgrad例例7 求函數(shù)求函數(shù) yxzyxu2332222 在點(diǎn)在點(diǎn) )2 , 1 , 1 (處的梯度，并問在處的梯度，并問在 哪些點(diǎn)處梯度為零？哪些點(diǎn)處梯度為零？(42)yj6,zk在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為0.下面簡單介紹數(shù)量場與向量場概念：下面簡單介紹數(shù)量場與向量場概念：若對(duì)于空間區(qū)域若對(duì)于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)內(nèi)的任一點(diǎn),M都有都有一個(gè)確定的數(shù)量一個(gè)確定的數(shù)量(),f M則稱則稱()f M在在G上確定了一個(gè)上確定了一個(gè)數(shù)量場數(shù)量場一個(gè)數(shù)量場可

21、用一個(gè)一個(gè)數(shù)量場可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)數(shù)量函數(shù)()f M來確定。來確定。數(shù)量場數(shù)量場（1）向量場向量場（2）若與點(diǎn)若與點(diǎn)M相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)向量(),F M則稱在則稱在G上確定了一個(gè)向量場上確定了一個(gè)向量場一個(gè)向量場可以用一個(gè)向量值函數(shù)一個(gè)向量場可以用一個(gè)向量值函數(shù)()F M來確定，來確定，從而從而()()()() ,F MP M iQ M jR M k其中其中(),(),()P M Q MR M都是點(diǎn)都是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù)。的數(shù)量函數(shù)。（如溫度場、密度場等）。（如溫度場、密度場等）。(如力場、速度場等如力場、速度場等)。于是向量函數(shù)于是向量函數(shù) ()f Mgrad確定一個(gè)向量場，確定一個(gè)

22、向量場，稱為稱為梯度場，梯度場，它是由數(shù)量函數(shù)它是由數(shù)量函數(shù)()f M產(chǎn)生的，產(chǎn)生的， 通常稱通常稱函數(shù)函數(shù)()f M為這個(gè)向量場的勢(shì)，為這個(gè)向量場的勢(shì)，而這個(gè)向量場又稱而這個(gè)向量場又稱為勢(shì)場。為勢(shì)場。注：注：任何一個(gè)向量場不一定是勢(shì)場，任何一個(gè)向量場不一定是勢(shì)場，因?yàn)樗灰灰驗(yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度。定是某個(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度。mr解解 mxr 2mrrx3,mxr同理同理 myr 3,myr mzr 3,mzr從而從而mrgrad2.mxyzijkrrrr若用若用re表示與表示與OM 同方向的單位向量，同方向的單位向量， 那么那么mrgrad2.rmer因此數(shù)量場因此數(shù)量場mr的勢(shì)場即梯度的勢(shì)場即梯度222rxyz為原點(diǎn)為原點(diǎn)O與點(diǎn)與點(diǎn)( , , )M x y z的距離。的距離。例例8求數(shù)量場求數(shù)量場所產(chǎn)生的梯度場，其中常數(shù)所產(chǎn)生的梯度場，其中常數(shù) 0,m 場場mrgrad稱為引力場，稱為引力場，而函數(shù)而函數(shù)mr稱為引力勢(shì)。稱為引力勢(shì)。1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯