1、不等式期末復習講義知識點1.不等式性質實數的運算性質與大小順序之間的關系用途：a、比較兩個實數的大小b、證明不等式的性質c、證明不等式和解不等式比較大小方法：（1）作差比較法（2）作商比較法精選不等式的基本性質 對稱性：a b b a 傳遞性：a b, b c 可加性:a b a + 可積性:a b, c 0a b, c b, c d 乘法法則： 乘方法則：a cc b + c ac bc ； ac b + d開方法則:a b 0, c d 0ac bda b 0,an b n (n N)Va 暢n N)a b 0,（當且僅當a=b時等號）（當且僅當a=b時等號）2. 算術平均數與幾何平均數定

2、理：（1）如果 a、b R,那么 a + b22ab（2）如果a、b R，那么推廣:如果a,b為實數，則aba2 b22重要結論1)如果積xy是定值P,那么當x = y時，和x + y有最小值2;(2) 如果和x + y是定值S,那么當x = y時，和xy有最大值S2。?條件為? 一正：?二定：?三相等一正二定三相等” 各項都是正數 求和積定，求積和定:等號能成立?當等號不成立時，利用下列函數求最值。函數 f(x) xa(a0)在(0, jax上遞增，在ja,)上遞減。最重要的方法。則選擇作差比較法;則選擇作商比較法;當不等式的兩邊的差能分解因 當不等式的兩邊都是正數且 碰到絕對值或根式，我們

3、還3. 證明不等式的常用方法： 比較法：比較法是最基本、 式或能配成平方和的形式， 它們的商能與1比較大小， 可以考慮作平方差。綜合法：從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式的性質推導出欲證的不等式。綜合法的放縮經常用到均值不等式。分析法：不等式兩邊的聯系不夠清楚，通過尋找不等式成立的充分條件， 逐步將欲證的不等式轉化，直到尋找到易證或已知成立的結論。a m a結論：已知 a、b、m都是正數，且 a b，貝U:b m b4. 不等式的解法(1) 不等式的有關概念同解不等式：兩個不等式如果解集相同，那么這兩個不等式叫做同解不 等式。同解變形：一個不等式變形為另一個不等式時，如果這兩個不等式是同

4、解不等式，那么這種變形叫做同解變形。提問：請說出我們以前解不等式中常用到的同解變形去分母、去括號、移項、合并同類項(2) 不等式ax b的解法x|xb/a；x|x0時不等式的解集是 當a0時不等式的解集是 當a=0時,b0,其解集是(3) 一元二次不等式與一元二次方程、二次函數之間的關系A =甘一 二次函數 偸 片 x+bx+cA A(】A 0)的圖象元二次方程ax+b 直+c=0GH0)的根一元二次不等 式 aK+bx-H(?0(Q0)的解一元二次不等 式茨2十bx十cSO(AO)的解=fctji-4rx=2abX 二In2axE0xEHxE0a0a小結：解絕對值不等式的關鍵是一去絕對值符號

5、(整體思想，分類討論)轉化為不含絕 對值的不等式，通常有下列三種解題思路：(1)(2)(3)定義法:公式法:平方法:利用絕對值的意義，通過分類討論的方法去掉絕對值符號;| f(x) | a f(x) a 或 f(x) a; | f(x) | a(a0)f2(x) a2; | f(x) | 0)義。af(x) a ;f2(x) a2 ； (4)幾何意(5)分式不等式的解法分式不等式的解迭衛A整式不等式組Co0或V 0SOOA 嚴 DCIO目(甘或仲V 0cq M歩喙w 0gW QJwao 專 0)的解集是 x | avxv a,幾何表示為:o0-a0aI x | a (a 0)的解集是 x |

6、xv a或xa,幾何表示為:(6) 一元高次不等式的解法數軸標根法把不等式化為f(x) 0 (或V 0)的形式(首項系數化為正)，然后分解因式，再把根按 照從小到大的順序在數軸上標出來，從右邊入手畫線，最后根據曲線寫出不等式的解。(7)含有絕對值的不等式定理：|a| - |b|弓a+b冃a| + |b|?|a| |b|b且ab0等號成立?|a+b| 0等號成立推論 1 ：| ai + a2 + a3| | ai | +| a2 | + | a3|9推廣：|a1+a2+ +an|a1| +|a2| + + |an|推論 2： |a| |b冃a b|b,則 |a|b|B、若 ab,貝U 1/ab,

7、則 a3b3D、若 ab，則 a/b12、 已知a0. 1babab口 亠C、 abaab23、當0ab(1 a)bC、(1 a)b (1 a)b/24、若 log a3log b30，則 a、A、 0ab1C、 0bab0,則下列不等式1/a1/b的是(A )A、B、(二)比較大小若 0 a 3 n /4,sin a +COS a =a,sin 3 +cos 3 =b，則(A )a bC ab2a、b為不等的正數，n N,則(a nb+abn) (an 1+bn 1)的符號是(C 恒正 與a、b的大小有關設 1 x0,a 豐 1,比較 log at/2b的關系是B、D、B、ab abaD、a

8、bab2aD )B、(1+a)a(1+b)bD、(1 a)a(1 b)b(B)ba11bb : lg(a +1)lg(bC、D、2+1):2a2b中成立1、A、2、A、C、3、4、B、 a b5、比較6、7、設a、比較B、恒負D、與n是奇數或偶數有關2 . 2 2,lg(lgx) 的大小關系是 lgx lg xlg(lgx) 與log a(t+1)/2的大小。半與早的大小。va vb1,比較M 寸a 1Ja與N UaJa 1的大小。b是不相等的正數，A = -一- , G = Jab, H =2,21/a 1/bA、 G、 H、 Q的大小 。分析：要比較大小的式子較多，為避免盲目性，可先取特殊

9、值估測各式大小關系，然后 用比較法(作差)即可。(三)利用不等式性質判斷P是Q的充分條件和必要條件1、設x、y R,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關系命題甲：x0且y0,命題甲：x2且y2 ,2、已知四個命題，其中a、命題乙：x+y0且xy0命題乙：x+y4且xy4b R，a2b2的充要條件是|a| 2|b| 2;a2b2的充要條件是(a+b)充要條件充分不必要條件a2b2的充要條件是|a|b|與(a b)異號；a22c”的一個充分條件是( C )A、ac 或 bcB、ac 或 bv c(四) 范圍問題1、設 60v av 84, 28v bv 33,求：a+b,a b,a/b 的范

10、圍。2、 若二次函數y=f(x)的圖象過原點，且 K f( 1) 2,3 f(1) 2|a?|b|B、(a/2+b/2)2 abC、(a/2+b/2)2w a2/2+b2/2D、log1/2(a2+b2) log 1/2(2|a?|b|)2、x、y (0,+ 8)，則下列不等式中等號不成立的是( A1 1 1-72B、(x )x 1xx xC、(x+y)(1/x+1/y) 4已知6已知C、ac 且 bc D、ac 且 bv c已知(y-)4 yD、(lgx/2+lgy/2) a0,b0,a+b=1，則(1/a2 1)(1/b21)的最小值為(DB、7C、8a0,b0,c0 , a+b+c=1，

11、求證：1/a+1/b+1/c 9ad bc bc ad4aca0,b0,c0,d0,求證：bd(六)求函數最值1、若x4,函數y2w lg2x/2+lg 2y/2)時，函數有最值是5、大、62、設 x、y R, x+y=5 ,則3x+3y的最小值是()DA、10C、3、下列各式中最小值等于 2的是()DA、x/y+y/xx2 54C、tan a +cot aD、2x+2 -x134、已知實數 a、b、c、d 滿足 a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2 的最小值。5、已知 x0,y0,2x+y=1,求 1/x+1/y 的最小值。(七) 實際問題1、98 (高考)如圖，為處理含有某

12、種雜質的污水，要制造一個底寬為2cm的無蓋長方體沉淀箱，污水從 A孔流入，經沉淀后從 B孔流出，設箱體的長度為am，高度為bm，已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積ab成反比，現有制箱材料 60m2,問當a、b各為多少米時，沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小(A、B孔的面積忽略不計)。y,解一：設流出的水中雜質的質量分數為由題意y=k/ab，其中k為比例系數(k0) 據題設 2X 2b+2ab+2a=60(a0,b0)30 ab 2 a由 a0,b0 可得 0a k/18當 a=6 時,b=3,綜上所述，當a=6m,b=3m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。(k0)解二：設

13、流出的水中雜質的質量分數為y,由題意y=k/ab，其中k為比例系數要求y的最小值，即要求 ab的最大值。2b 2J2ab(當且僅當a 2b時等號成立)2J2ab 30,解得5丿23血ab 18,由 a 2b及 ab a 2b 30解得 a 6,b 3據題設 2X 2b+2ab+2a=60(a0,b0)，即 a+2b+ab=30ab即0即a=6,b=3時，ab有最大值，從而 y取最小值。綜上所述，當a=6m,b=3m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。2、某工廠有舊墻一面長 14米，現準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為 126 米2的廠房，工程條件是：建1米新墻的費用為a元；修1

14、米舊墻的費用為a/4元;x(x 14).問如126/x 米。x?a/4元，剩余拆去1米舊墻用所得材料建 1米新墻的費用為a/2元.經過討論有兩種方案：利用 舊墻的一段x(x14)米為矩形廠房的一面邊長；矩形廠房的一面長為 何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省？兩種方案哪種方案最好？ 解：設總費用為y元，利用舊墻的一面矩形邊長為x米，則另一邊長為x米(x 14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，建新墻的費用為(2x+ 2 ?126/x 14) ?a元，故總費用7)xa2527y - X a(2x 14)- a 2a(x4X2X 126 2J126,當X J126時等號成立，但1

15、4等號不成立。X設 f(x)=x+126/x, x 2X114,則 f(X2) f(X1)= X2+126/X2(X什 126/X1)=(X2 X1)(1 126/x1X2)0 f(x)=x+126/x 在14,+ )上遞增，f(x) f(14)- x=14 時 ymin=7a/2+2a(14+126/14 7)=35.5a綜上所述，采用方案，即利用舊墻12米為矩形的一面邊長，建墻費用最省。(八) 比較法證明不等式1、已知 a、b、m、n R+證明：am+n+bm+nambn+anbm變：已知 a、b R+,證明：a3/b+b3/aa2+b22、 已知 a、b R+,f(x)=2x 2+1,a

16、+b=1,證明：對任意實數 p、q 恒有 a?f(p)+b ?f(q) f(ap+bq)(九) 綜合法證明不等式1、已知a、a、2、已知3、已知爲Vba、b c a a c bb、c為不全相等的正數，求證： abb、c R,且 a+b+c=1，求證：a2+b2+c2 1/3b、c為不全相等的正數，且abc=1,求證：廠 111VC a b c4、已知 a、b R+, a+b=1,求證：Ja 1 /2 Jb 1/2 2(十)分析法證明不等式1、 已知a、b、c為不全相等的正數，求證： bc/a+ac/b+ab/ca+b+c2、 已知函數 f(x)=lg(1/x 1),X1、x2 (0,1/2)，

17、且 X1M X2,求證：f(Xi) f(X2)f X1X223、設實數 x,y 滿足 y+x2=0,0a1，求證：loga (ax+ay) loga2+1/8(十一)反證法、放縮法、構造法、判別式法、換元法等證明不等式1、設 f(x)=x 2+ax+b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一個不小于1/2。2、若 x2+y2bc,求證：a b b c4、已知a ca b c1 a 1 b 1 c.a、b、c R,證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c) 0,并指出等號何時成立。a 的二次函數 f(a)=a2+(c+3b)a+3b 2+3bc+c2a、b、c r+,且 a+

18、bc 求證:5、已知分析：整理成關于 =(c+3b) 24( 3b2+3bc+c2)= 3(b2+2bc+c2) 02 26、已知：x 2xy + y + x + y + 1= 0,求證：1/3 y/x 0的解集是x| a x 3 (0 a 3 ),求不等式cx2+bx+a0).求證：f(x)是減函數；求f(x)的值域。1436X4、由于對某種商品實行征稅，其售價比原價上漲X%漲價后商品賣出量減少 泄 ,100已知稅率為銷售金額的 20%.為實現銷售金額和扣除稅款的余額y不比原銷售金額少，求上漲率 X%勺取值范圍;X為何值時，y最大？(保留一位小數)銷售量為b，則解：設原價為a,y a(1X%

19、)y ab, (1b(1 型) (110036xx%)(1 石；)10020%) ab(180% 1整理得：36( X%)264(x%)250,0 X%2 y ab(1x%)譚X%)80%亠(112536Xx%)(1 出%)80%10016 丁3118x%)(25X%)936 b 1ab -12525X% 92X%當且僅當 1 + x%= 25/9 X%，即 x%= 8/9. X = 88.9 時 y 最大。(十四)恒成立問題1、 若不等式a 1B、a 1C、0 a 1D、a a(x 2)的解集為 R求實數a的取值范圍。3、如果關于X的不等式lg 2ax1的解集總包含了區間(1,2,求實數a的

20、取值范圍。lg a X解：由題設可知，原不等式在(1,2中總成立， a 0且a+ x 1原不等式等價于lg(2ax) 0設 f(x) = (1 2a)x +a,貝U f(x) 0 在(1,2中總成立，故有154、設對 x R 有 3x2 2x 2xn(n N)恒成立，試求n的值。x 1分析：原不等式等價于2(3n )x2 (2 n)x (2 n)2x0(1)由題意不等式(又x2+x+1恒大于零，所以不等式 不等式(2)的解集為R,從而有1)的解集為R(1)等價于(3 n)x2 + (2 n)x + (2 - n) 0 (2)故r3 0= (2-燈尸一4(3-/0(2-町 0所以nv2,又n N

21、，所以n= 0或15、若f(x)=(m 2 1)x2+ (m + 1)x + 1 0對于一切實數x恒成立，求實數 m的取值范圍。2X2 x a6、已知函數f(x)當a=1/2時，求函數f(x)的最小值；若對任意x 1 ,+s),f(x) 0恒成立，試求實數 a的取值范圍。(十五)絕對值不等式定理中等號成立的問題1、解關于 x 的不等式 |x+log2x|=x+|log 2x|2、證明：|x+1/x| 2(十六)絕對值不等式的證明21、設 a R,函數 f(x)=ax +x a( 1 x 1).若 |a| w 1,求證 |f(x)| w 5/4 ;若函數f(x)有最大值17/8，求實數a的值。2

22、、已知 |x a| /2a,|y b| /2|a|,且 0v yv A,求證：|xy ab| 3、求證.1白十創w園 + 曲冰啦* 1 + 0+卻 1 + kl l+lb|匹一:(直擦利用性質定理)當|(ar +2?| = 0 , 不等式成立當 匕 + 糾 工=CI 時.I 糾切一+1刖 .I十I十I嚴Id + 汐 I1+1糾* QI壬L_-J -Hl 弟Y 阿 t QI f 1+1糾冏證二(利用函數的單調性)=總&汕時的單調性f( n)小值是f(1)3(n 4)( n 2)( n 3)又 f(1)=1/2+1/3+1/4=13/1213/122a 5,.a2a 5的充要條件是 故所求自然數a

23、的最大值是3。2、已知拋物線y=f(x)=ax 2+bx+c過點(1,0),問是否存在常數a、b、c,使得不等式x2w f(x) w (1+x )/2對于一切實數 x都成立？解：假設存在常數a、b、c,使得x w f(x) w (1+x 2)/2對一切實數x恒成立，令 x= 1 有 1W f(1) w 1 , f(1) = 1，即 a+ b + c= 1拋物線過點(1,0 ) a b + c = 0解得：b=1/2,c=1/2 a, f(x)=ax 當a 1時，原不等式的解集為 x|x 1或1xwa 當a = 1時，原不等式的解集為 x|x 1 當a = 1時，原不等式的解集為 x|x 1且x

24、工一1(二) 數形結合的思想 關于x的方程X2x(m+ 1) = 0只在1,1上有解，則實數a的取值范圍是()A、: 5/4,+g)B、( 5/4, 1)C、: 5/4, 1D、(一汽 1 設k、a都是實數，關于x的方程|2x 1|=k(x a)+a對于一切實數k都有解，求實數 a的取值范圍。3、已知 0 a 1, 0 b 1.求證：J宀護十 j(i -遼)2 十 / + jn，+j(iF)u(i-疔+x/2+1/2 a2 2 2由 xw f(x) w (1+x )/2 得 2xw 2ax +x+1 2aw 1+x即有不等式組dm2的解集為衛1 - 1 -0 前口- 1)K 0 sg 叫知IQ

25、OU-帥(場1) 0 且 x 豐 1,試比較 f(x)與 g(x)的大小。x a2、解關于x的不等式0(x 1)(x 1)分析：當a- 1時，原不等式的解集為 x|x a或一1 x 1 當一1 a時，原不等式的解集為 x|x - 1或aw x 1分析觀察待證式左端，它的每個根式都使我們想到Rt ABC中的等式a2+b2=c2，激起我們構造平面圖形利用幾何方法證明這個不等式的大膽想法.如圖27-3，作邊長為1的正方形 ABCD分別在 AB AD上取AE=a AG=b過E、G 分別作AD AB的平行線，交CD BC于F、H, EF、GH交于O點.由題設條件及作圖可知， AOGA BOE COF D

26、OG皆為直角三角形.少-腫你詼-J(1p)2 +護,ocJdW 疔 a jn 一再連結對角形 AC, BD易知 AC=BD龐，OA+OAAC OB+OABD.j&d十護 +十j(m-bF A邁圖 27-3(三) 函數與方程的思想1、函數f(x)=lg(x 2+ax+1)的值域為R,求實數a的取值范圍。2、已知f(x) lg3一4-a，若f(x)在( 8, 1 有意義，求實數 a的取值范4圍。3、 設不等式 mx22x m 1對于滿足|m|w 2的一切實數 m都成立，求x的取值范圍。 分析：設f(m)=(x 2 1)m+ 2x 1,則對于滿足|m|w 2的一切實數 m都有f(m) 0 f( 2)

27、 0 且 f(2) 04、已知 x、y、z( 0,1 )，求證：x(1 y) + y(1 z) + z(1 x) 1X) 11證明：構造函數 f(x)= x(1 y) + y(1 z) + z(1即 f(x) = (1 y z)x + y(1 z) + z 當 1 y z = 0,即 y + z = 1 時，f(x) = y(1 z) + z 1 = y + z 1 yz = yz 0為一次函數，又 x( 0,1 ),由一次函數的單調性，只=(y 1)(z 1) 0z) + z 1 = yz 0f(x) 0當 1 y z 豐 0 時，f(x) 需證明 f(0) 0, f(1) 0 y、z (

28、0,1 ) f(0) = y(1 z) + z 1f(1) = (1 y z) + y(1對任意的x( 0,1 )都有即 x(1 y) + y(1 z) + z(1 x) (ax+by)2x、y都是正數，a、b都是正常數，且 a/x + b/y = 1，求證:y (JaJb)2x、y 都是正數，且 x + y = 1,求證：(1 + 1/x)(1 + 1/y) 94、已知x、y R,且 1/x + 9/y = 1 ，求 x + y 的最小值。5、若 0V x 0, b0,求 a/x + b/(1 x)的最小值是。6、 已知 a,b 是正數，且 a + b = 1，求證：(ax + by)(ay

29、 + bx) xy 分析： a,b是正數，且a + b = 1- (ax + by)(ay + bx) = a 2xy + abx2 + aby2 + b2xy=(a2 + b2)xy+ ab(x2 + y2) = (1 2ab)xy+ ab(x2 + y2)=xy+ ab(x 2 + y2 2xy) = xy + ab(x y)2 xy(七)特殊與一般的思想1、已知 a、b、c R,函數 f (x) = ax 2 + bx + c, g(x) = cx 2+bx + a,當 |x| 1 時，有 |f(x) 。(1) 求證：|g(1)| 2; (2)求證：當 |x| 1 時，|g(x)|4.證：(1 )當 |x| 時，|f(x)| ,