1、垂直與弦的直徑（垂直與弦的直徑（1）圓的對稱性圓的對稱性 圓是軸對稱圖形嗎？圓是軸對稱圖形嗎？如果是如果是, ,它的對稱軸是什么它的對稱軸是什么? ?你能找到多少條對稱你能找到多少條對稱軸？軸？O你是用什么方法解決上述問題的你是用什么方法解決上述問題的? ?n圓是中心對稱圖形嗎？圓是中心對稱圖形嗎？如果是如果是, ,它的對稱中心是什么它的對稱中心是什么? ?你又是用什么方法解決這個你又是用什么方法解決這個問題的問題的? ?圓的對稱性圓的對稱性 圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形. .圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線, ,它有無它有無數條對稱軸數條對稱軸. .O可利

2、用折疊的方法即可解決上述問題可利用折疊的方法即可解決上述問題. .n圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形. .它的對稱中心就是圓心它的對稱中心就是圓心. .用旋轉的方法即可解決這個用旋轉的方法即可解決這個問題問題. .圓的相關概念圓的相關概念 圓上任意兩點間的部分叫做圓上任意兩點間的部分叫做圓弧圓弧,簡稱簡稱弧弧. 直徑直徑將圓分成兩部分將圓分成兩部分,每一部分都叫做半每一部分都叫做半圓圓(如如 ABC).n連接圓上任意兩點間的線段叫做連接圓上任意兩點間的線段叫做弦弦(如弦如弦AB).On經過圓心弦叫做經過圓心弦叫做直徑直徑(如直徑如直徑AC).ABn以以A,B兩點為端點的兩點為端點的弧弧.記

3、作記作 ,讀作讀作“弧弧AB”.ABn小于半圓的小于半圓的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如記作如記作 (用用兩個字母兩個字母).AmBn大于半圓的大于半圓的弧弧叫做優弧叫做優弧,如記作如記作 (用三個字母用三個字母).ABCmD趙州石拱橋趙州石拱橋 1300多年前多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖如圖)的橋拱是圓弧形的橋拱是圓弧形,它的跨度它的跨度(弧所對是弦的長弧所對是弦的長)為為 37.4 m,拱高拱高(弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離,也叫弓形高也叫弓形高)為為7.2m,求橋拱的半徑求橋拱的半徑(精確到精確到0.1m).AM=BM,垂徑定理垂徑定理 AB是是 O的

4、一條弦的一條弦. 你能發現圖中有哪些等量關系你能發現圖中有哪些等量關系?與同伴說與同伴說說你的想法和理由說你的想法和理由.n作直徑作直徑CD,使使CDAB,垂足為垂足為M.On這個圖形還軸對稱圖形嗎這個圖形還軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱軸是什么?n結論結論:ABCDMn由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂徑定理垂徑定理 如圖如圖, 理由是理由是: 連接連接OA,OB,OA,OB,OABCDM則則OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.點點A和點和點B關于關于CD對稱對稱.

5、O關于直徑關于直徑CD對稱對稱,當圓沿著直徑當圓沿著直徑CD對折時對折時,點點A與點與點B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂徑定理垂徑定理三種語言三種語言 定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.特別提示特別提示: 垂徑定理是垂徑定理是圓中一個重圓中一個重要的結論要的結論,三三種語言要相種語言要相互轉化互轉化,形成形成整體整體,才能運才能運用自如用自如.OABCDMCDAB,如圖如圖 CD是直徑是直徑,AM=BM, AC =BC, AD=BD.CDAB,垂徑定理的逆定理垂徑定理的逆定理 A

6、B是是 O的一條弦的一條弦,且且AM=BM. 你能發現圖中有哪些等量關系你能發現圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想與同伴說說你的想法和理由法和理由.n過點過點M作直徑作直徑CD.On如圖是軸對稱圖形嗎如圖是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱軸是什么?n結論結論:CDn由由 CD是直徑是直徑 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對的兩條弧分弦所對的兩條弧.n你可以寫出相應的命題嗎你可以寫出相應的命題嗎?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂徑定理的逆定理垂徑定理的逆定理 如圖

7、如圖,在下列五個條件中在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論就可推出其余三個結論.OABCDM CD是直徑是直徑, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂徑定理及逆定理垂徑定理及逆定理OABCDM條件結論命題垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對的兩條弧分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所對的并且平分弦所對的另一條弧另一條弧.弦的垂直平分線經過圓

8、心弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧并且平分這條弦所對的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,并且平并且平分弦和所對的另一條弧分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. .在半徑為在半徑為3030的的OO中，弦中，弦AB=36AB=36，則，則O O到到ABAB的距離是的距離是= = ，PO

9、AB弦心距弦心距 .已知：如圖，在以已知：如圖，在以O為圓心的兩為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點。你認為兩點。你認為AC和和BD有什么有什么關系？為什么？關系？為什么？.ACDBOE注意：解決有關弦的問題，過圓心作注意：解決有關弦的問題，過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，是弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，是一種常用輔助線的添法一種常用輔助線的添法趙州石拱橋趙州石拱橋 1300多年前多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖如圖)的橋拱是圓弧形的橋拱是圓弧形,它的跨度它的跨度(弧所對是弧所對是弦的長弦的長)為為 37.4 m,

10、拱高拱高(弧的中點到弦的距弧的中點到弦的距離離,也叫弓形高也叫弓形高)為為7.2m,求橋拱的半徑求橋拱的半徑(精確精確到到0.1m).解：如圖，用解：如圖，用 表示橋拱，表示橋拱， 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為，半徑為Rm，經過圓心經過圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OD，D為垂足，與為垂足，與 相交于點相交于點C.根根據垂徑定理，據垂徑定理，D是是AB的中點，的中點，C是是 的中點，的中點，CD就是拱高就是拱高.由題設由題設ABABABAB37.4,7.2,ABCDABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得

11、,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.OABCRD37.47.2練習：練習：如圖，圓如圖，圓O的弦的弦AB8 ，DC2，直徑直徑CEAB于于D，求半徑，求半徑OC的長。的長。DEOABC如圖，如圖，CD為圓為圓O的直徑，弦的直徑，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的長。的長。EDOABCP反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半徑的半徑r、 圓心到弦的距離圓心到弦的距離d、弦長、弦長a中，中， 任意知道兩個量，可根據任意知道兩個量，可根據定理

12、求出第三個量：定理求出第三個量：CDBAO垂徑垂徑a2hdr挑戰自我挑戰自我 如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相那么這兩條弦所夾的弧相等嗎等嗎? 老師提示老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況:OABCD1.兩條弦在圓心的同側兩條弦在圓心的同側OABCD2.兩條弦在圓心的兩側兩條弦在圓心的兩側圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.挑戰自我挑戰自我畫一畫畫一畫 如圖如圖,M,M為為OO內的一點內的一點, ,利用尺規作一條弦利用尺規作一條弦AB,AB,使使ABAB過點過點M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OM駛向

13、勝利的彼岸挑戰自我挑戰自我填一填填一填 1、判斷：、判斷： 垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩并且平分弦所對的兩條弧條弧. （ ） 平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧另一條弧. （ ） 經過弦的中點的直徑一定垂直于弦經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（ ） 圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. （ ） 弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. （ ）OCDBA GH試一試試一試如圖：如圖：AB是圓是圓O的直徑，的直徑，CD是圓

14、內的一是圓內的一條弦，過條弦，過C、D兩點分別作弦兩點分別作弦CD的垂線，的垂線，交直徑于交直徑于G、H兩點，試說明：兩點，試說明：AGBH如圖：如圖：AB是圓是圓O的直徑，的直徑，CD是圓內是圓內的一條弦，過的一條弦，過A、B兩點分別作弦兩點分別作弦CD的垂線，垂足分別為的垂線，垂足分別為E、F兩點，試兩點，試說明：說明：CEDFDCOABFEP駛向勝利的彼岸挑戰自我挑戰自我畫一畫畫一畫 2.已知：如圖已知：如圖, O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點于點F.圖中相等的線段有圖中相等的線段有 : .圖中相等的劣弧有圖中相等的劣弧有: .FEOM

15、NABCD思考思考：如圖，已知圓如圖，已知圓O的直徑的直徑AB與與 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E， BFCD于于F，且圓，且圓O的半徑為的半徑為 10，CD=16 ，求，求AE-BF的長。的長。EGOCDBAF小小 結結直徑平分弦直徑平分弦 直徑垂直于弦直徑垂直于弦=直徑平分弦所對的弧直徑平分弦所對的弧 直徑垂直于弦直徑垂直于弦 直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所對的弧直徑平分弦所對的弧 直徑平分弧所對的弦直徑平分弧所對的弦 直徑平分弧直徑平分弧 直徑垂直于弧所對的弦直徑垂直于弧所對的弦=、圓的軸對稱性、圓的軸對稱性、垂徑定理及其逆定理的圖式垂直于弦的直徑垂直于

16、弦的直徑(2)(2)練習：練習：如圖，圓如圖，圓O的弦的弦AB8 ，DC2，直徑直徑CEAB于于D，求半徑，求半徑OC的長。的長。DEOABC如圖，如圖，CD為圓為圓O的直徑，弦的直徑，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的長。的長。EDOABCP垂徑定理的應用垂徑定理的應用 例例1 1 如圖，一條公路的轉變處是一段圓如圖，一條公路的轉變處是一段圓弧弧( (即圖中弧即圖中弧CD,CD,點點O O是弧是弧CDCD的圓心的圓心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E為弧為弧CDCD上的一點上的一點, ,且且OECDOECD垂垂足為足為F,EF=90m

17、.F,EF=90m.求這段彎路的半徑求這段彎路的半徑. .OCDEF船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎 2 . 如圖如圖,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬橋下水面寬為為7.2米米,拱頂高出水面拱頂高出水面2.4米米.現有一艘寬現有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的米的貨船要經過這里貨船要經過這里,此貨船能順利通過這座此貨船能順利通過這座拱橋嗎？拱橋嗎？ 有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所所示，正常水位下水面寬示，正常水位下水面寬AB= 60m，水面到拱，水面到拱頂距離頂距離CD=18m，當洪水泛濫時，水面寬，當洪

18、水泛濫時，水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明時是否需要采取緊急措施？請說明理由理由 B A C E D O N M船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎 2 . 如圖如圖,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為橋下水面寬為7.2米米,拱頂拱頂高出水面高出水面2.4米米.現有一艘寬現有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并米、船艙頂部為長方形并高出水面高出水面2米的貨船要經過這里米的貨船要經過這里,此貨船能順利通過這此貨船能順利通過這座拱橋嗎？座拱橋嗎？ （2009蘭州）有一座圓弧形的拱橋，橋下面水面寬度為7.2米，拱頂高2.4米，現有一竹排運貨，一貨箱欲從橋下經過，已知貨箱長為10米，寬3

19、米，高2米，竹排與水面持平，問該貨箱能不能順利通過？船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎 解解:如圖如圖,用用 表示橋拱表示橋拱, 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O,半徑為半徑為Rm,經過圓心經過圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OD,D為垂足為垂足,與與 相交于點相交于點C.根根據垂徑定理據垂徑定理,D是是AB的中點的中點,C是是 的中點的中點,CD就是拱高就是拱高.由題設得由題設得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 .

20、2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此貨船能順利通過這座拱橋此貨船能順利通過這座拱橋.垂徑定理垂徑定理三角形三角形在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任意兩中，已知其中任意兩個量個量, ,可以求出其它兩個量可以求出其它兩個量. .EOABDCd + h = rd + h = r222)2(adr已知：如圖，直徑已知：如圖，直徑CDAB，垂足為，垂足為E .若半徑若半徑R = 2 ，AB = , 求求OE、DE 的長的長

21、. 若半徑若半徑R = 2 ，OE = 1 ，求，求AB、DE 的長的長.由由 、兩題的啟發，你還能編出什么其他問題？兩題的啟發，你還能編出什么其他問題？32垂徑定理的應用垂徑定理的應用 在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所示面如圖所示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最大深，求油的最大深度度. BAOED 600垂徑定理的逆應用垂徑定理的逆應用 在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所示面如圖所示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最大深，求油的最大深度度.

22、BAO600 650DC挑戰自我挑戰自我 1、要把實際問題轉變成一個數學問題來解決、要把實際問題轉變成一個數學問題來解決. 2、熟練地運用垂徑定理及其推論、勾股定理，并、熟練地運用垂徑定理及其推論、勾股定理，并用方程的思想來解決問題用方程的思想來解決問題.n3、對于一個圓中的弦長、對于一個圓中的弦長a、圓心到弦的距離、圓心到弦的距離d、圓半徑、圓半徑r、弓形、弓形高高h，這四個量中，只要已知其中任意兩個量，就可以求出另外，這四個量中，只要已知其中任意兩個量，就可以求出另外兩個量，如圖有：兩個量，如圖有：d + h = r222)2(adrhda2O2. 2. 圓對稱性圓對稱性(3)(3)圓的對

23、稱性及圓的對稱性及特性特性 圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形, ,圓的對稱軸是任意一條經過圓圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線心的直線, ,它有無數條對稱軸它有無數條對稱軸. .n圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形, ,它的對稱中心就是圓心它的對稱中心就是圓心. .n用旋轉的方法可以得到用旋轉的方法可以得到: :n一個圓繞著它的圓心旋轉任意一一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度個角度, ,都能與原來的圖形重合都能與原來的圖形重合. .n這是圓特有的一個性質這是圓特有的一個性質: :圓的圓的旋轉不變性旋轉不變性OAB圓心角圓心角 圓心角圓心角 頂點在圓心的角頂點在圓心的角(如如AOB). 弦心距弦心

24、距 過圓心作弦的垂線過圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間的距離圓心與垂足之間的距離(如線段如線段OD). 如圖如圖,在在 O中中,分別作相等的圓心角和分別作相等的圓心角和AOB和和AOB, 將其將其中的一個旋轉一個角度中的一個旋轉一個角度,使得使得OA和和OA重合重合.n 你能發現那些等量關系你能發現那些等量關系?說一說你的理由說一說你的理由.OOABDOABDABABABABABABDDDDDDABD圓心角圓心角 圓心角圓心角, 弧弧,弦弦,弦心距之間的關系定理弦心距之間的關系定理 如圖如圖,如果在兩個等圓如果在兩個等圓 O和和 O中中,分別作相等的圓心角和分別作相等的圓心角和AOB和和AOB,固定圓心固定圓心,將其中的一個旋轉一個角度將其中的一個旋轉一個角度,使使得得OA和和OA重合重合.OABOABn 你又能發現那些等量關系你又能發現那些等量關系?說一說你的理由說一說你的理由.OABOABABABABABABABDDDD圓心角圓心角, 弧弧,弦弦,弦心距之間的關系定理弦心距之間的關系定理 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的圓心角所對的弧相等所對的相等的圓心角所對的弧相等所對的弦相等弦相等, ,所對的弦的弦心距相等所