1、第九章假設檢驗一、大綱要求(1)理解假設檢驗的基本思想,掌握假設檢驗的基本步驟,了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤。(2)了解單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗.二、重點知識結構圖第一類錯誤：為真拒絕第二類錯誤：為假接受1.提出假設2.找統計量3.求臨界值4.求觀察值5.作出判斷檢驗法檢驗法檢驗法檢驗法假設檢驗基本步驟兩類錯誤正態總體的均值和方差的檢驗三、基本知識1.假設檢驗的幾個術語定義1給定,不等式確定了關于的一個區域當落入此區域內，就拒絕 (接受),稱上式這類區域為的拒絕域,記為.不等式確定了關于的另外一個區域當落入此區域內，就接受 (拒絕),稱上類區域為接受域,記為.不等式稱為臨界值

2、形式的接受域,稱為區間形式的接受域.定義2稱為原假設(或零假設),稱為備擇假設(或備選假設、對立假設).定義3稱允許作判斷有錯誤的概率為顯著性水平(或檢驗水平),它是用來衡量原假設與實際情況差異是否明顯的標準.定義4稱為臨界值小概率原理:小概率事件在一次試驗中是不大會發生的.2.假設檢驗的兩類錯誤第一類錯誤:正確,但拒絕了它,這類錯誤稱為“棄真錯誤”.第二類錯誤:不正確,但接受了它,這類錯誤稱為“存偽錯誤”.3.假設檢驗的基本步驟(1)提出假設;(2)找統計量(這里要求該統計量含有待檢驗的參數);(3)求臨界值(求接受域);(4)求觀察值;(5)作出判斷.4.檢驗法已知方差,假設檢驗.(1)提

3、出假設.(2)找統計量.確定樣本函數:,稱其為的統計量,它含有待檢驗參數.(3)求臨界值.給定顯著性水平,查正態分布表求出臨界值,使,即.(4)求觀察值.根據給定的樣本求出統計量的觀察值.(5)作出判斷.若,則接受;若,則拒絕.5.檢驗法未知方差,假設檢驗.(1)提出假設.(2)找統計量.因為未知,這時已不是統計量,所以不能用檢驗法,這里用來代替,找出統計量:.(3)求臨界值.對給定顯著性水平,由分布表查得臨界值,使.(4)求觀察值.根據給定的樣本算出統計量的觀察值.(5)作出判斷.若,則接受;若,則拒絕.6.檢驗法已知期望,假設檢驗.(1)提出假設.(2)找統計量.確定樣本函數的統計量:(3

4、)求臨界值.對給定顯著性水平,由分布表查得臨界值與,使即(4)求觀察值.根據給定的樣本算出統計量的觀察值.(5)作出判斷.若,則接受;若或,則拒絕.7.檢驗法已知期望,假設檢驗(1)提出假設.(2)找統計量 (3)求臨界值.對給定顯著性水平,查分布表,求得及,使即 (4)求觀察值.由所給定的樣本算出統計量的值.(5)作出判斷.若,則接受;若或,則拒絕.四、典型例題例1有兩批棉紗,為比較其斷裂強度,從中各取一個樣本,測試得到:第一批棉紗樣本;第二批棉紗樣本.試驗證兩批棉紗斷裂強度的均值有無顯著差異(檢驗水平)?如果呢?解這是兩個正態總體的均值檢驗問題,檢驗.因為是大樣本(均較大),所以、可用代入

5、,近似有故由于與相互獨立,若成立,則故因此,只要是大樣本(容量較大時),不管總體、是否服從正態分布,是否,都可以按檢驗法已知的情況去做近似檢驗.由已知得故當時,查表得.因,故被接受,即在檢驗水平下可以認為這兩種棉紗的強力值無顯著差異.當時,查表得.因,落入拒絕域,應否定,即在檢驗水平下可以認為這兩種棉紗的強力值有顯著差異.例2某農業試驗站為了研究某種新化肥對農作物產量的效力,在若干小區進行試驗.測得產量(單位:kg)如下:施肥34 35 32 33 30 34未施肥 29 27 32 28 31 32 31設農場的產量服從正態分布,檢驗該種化肥對提高產量的效力是否顯著?解設為施肥后的產量,為施

6、肥前的產量.已知.由于總體方差和均未知,應先對方差進行檢驗,即,.由題意可知已知,查表得.因為,所以接受,即認為.提出檢驗問題,即已知,查表得.因為,所以拒絕,即認為該種化肥對提高產量的效力顯著.例3某種配偶的后代按體格的屬性分為三類,各類的數據是:10,53,46.按照某種遺傳模型,其頻率之比應為,問數據與模型是否相符?解令,欲檢驗的假設為:數據與模型相符.設觀察到的三類數量分別為,其中,則的似然函數為由于解得的極大似然估計為從而統計量觀測值為已知,自由度,查表得由于,故接受,即數據與模型相符.例4設某次考試考生成績服從正態分布,從中隨機抽取36位考生的成績,算得平均成績為66.5分,標準差

7、為15分,問在時是否可以認為這次考試全體考生的平均成績為70分?解設該次考試考生的成績為,則.把從中抽取的容量為的樣本均值記為,樣本標準差記為，檢驗假設.則已知,所以所以接受假設,即時,可以認為這次考試全體考生的平均成績為70分.例5某一指標服從正態分布,今對該指標測量8次,所得數據為:68,43,70,65,55,56,60,72.在以下兩種條件下,檢驗.(1)總體均值未知;(2)總體均值.解 (1)檢驗假設,用檢驗,得故查表得.因,故接受.(2)檢驗假設,而,故由于,故接受.例6從某鋅礦的東西兩支礦脈中,各抽取容量分別為9和8的樣本分析后,計算其樣本含鋅量(%)的平均值與方差分別如下:東支

8、西支假定東西兩支礦脈的含鋅量都服從正態分布,對于,能否認為兩支礦脈的含鋅量相同?解設東支礦脈的含鋅量為,;西支礦脈的含鋅量為,;其中、均為未知參數.(1)檢驗假設.則已知,計算得查表得因,故接受假設,即認為.(2)檢驗假設,這屬于檢驗,檢驗統計量為已知,計算得查表得.因,故接受假設,即認為兩支礦脈的含鋅量相同.例7在20世紀70年代后期人們發現,釀啤酒時,在麥芽糖干燥過程中會形成致癌物質亞硝基二甲胺(ndma),于是80年代初期開發了一種新的麥芽糖干燥過程.下面給出分別在新老兩種過程中所形成的(ndma)含量(以10億份中的份數計).老過程6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4新過程2

9、 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3設兩樣本分布來自正態總體,兩總體方差相等,兩樣本獨立,分別以、記對應于新老兩過程的總體均值,檢驗假設.解該檢驗的拒絕域為已知,查表得.由已知數據計算得由于在拒絕域中,故應拒絕.例8某廠使用兩種不同的原料a、b生產同一類產品,各在一周的產品中取樣進行分析比較,取使用原料a生產的樣品220件,測得平均重量為2.46kg,樣本標準差;取使用原料b生產的樣品205件,測得平均重量為2.55kg,樣本標準差,設這兩個樣本獨立,問在下能否認為使用原料b的產品平均重量比使用原料a大?解檢驗假設.這個問題是大樣本問題,故可近似認為統計量:于是檢驗的拒絕域為已知,所以

10、由于落在拒絕域中,故應拒絕,即認為使用原料b的產品平均重量比使用原料a的大.例9某種導線,要求其電阻的標準差不得超過0.005(單位:).今在生產的一批導線中取樣本9根,測得,設總體為正態分布,問在下能否認為這批導線的標準差顯著地偏大?解檢驗假設.該檢驗的拒絕域為已知,所以由于落在拒絕域中,故應拒絕,即在下這批導線的標準差顯著偏大.例10一自動車床加工零件的長度服從正態分布,車床正常時,加工零件長度為10.5,經過一段時間生產后,要檢驗這車床是否正常工作,為此抽取該車床加工的31個零件,測得數據如下:零件長度 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12.0頻率 1 3 7

11、 10 6 3 1若加工零件長度方差不變,問此車床工作是否正常?()解檢驗假設.則于是檢驗的拒絕域為已知,計算得.從而查表得.由于,故拒絕.即可以認為該車床工作不正常.例11某車間的白糖包裝機包裝量,其中,未知.一天開工后為檢驗包裝量是否正常,抽取了已經裝好的糖9袋,算得樣本均值,樣本標準差為,試確定包裝機工作是否正常?()解檢驗假設(可省略).樣本均值,樣本方差.于是已知,查表得.由于,故接受.可認為包裝機工作正常.例12某市居民上月平均伙食費為235.5元,隨機抽取49個居民,他們本月的伙食費平均為236.5元,由這49個樣本算出的標準差元.假設該市居民月伙食費方差正態分布,試分別在和時,

12、檢驗“本月該市居民平均伙食費較之上個月無變化”的假設.解檢驗假設.由于方差未知,故采用檢驗法,其拒絕域為已知,計算得由于,故可用代替.當時,故應拒絕.即本月該市居民平均伙食費較之上個月有顯著升高.當時,故接受.即本月該市居民平均伙食費較之上個月無顯著變化.例13一位研究者聲稱至少有80%的觀眾對商業廣告感到厭煩,現在隨機詢問了120位觀眾,其中70人同意此觀點,在時,問是否可同意該研究者的觀點?解把“觀眾對商業廣告感到厭煩”(即)作為原假設.本問題的歸結為在時,檢驗假設.設隨機向量在為真時,為來自總體服從兩點分布的一個樣本,且.由于較大,由中心極限定理可知于是檢驗的拒絕域為已知,計算得故拒絕,

13、即在此數據的基礎上,不能同意該研究者的觀點.五、課本習題全解9-1 提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得;對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以拒絕;當時,所以接受.9-2 提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以拒絕.9-3 (1)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以拒絕.(2)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受.9-4 提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受.9-5 提出假設.找統計量.求臨界值.對給

14、定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當,所以拒絕.9-6 (1)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受. (2)提出假設.找統計量. .求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值. .作出判斷.當時,所以接受.9-7 提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以拒絕,有顯著差異.9-8 提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受,即可認為溶化時間的標準差為9.9-9 (1)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受,即包裝機工作正常.(2)提出假

15、設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受.9-10 (1)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受.(2)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受.9-11 提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以拒絕.9-12 (1)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得求觀察值.作出判斷.當時,所以接受.(2)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受.9-13 (1)提出假設.找統計量.求臨界值.對給

16、定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受.(2)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以拒絕.9-14 提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受.9-15 (1)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以拒絕.(2)提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得求觀察值.作出判斷.當時,所以拒絕.9-16 提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,所以接受.9-17 提出假設.找統計量.求臨界值.對給定的,查表得.求觀察值.作出判斷.當時,

17、所以接受.9-18 根據題目要求,考慮假設檢驗.其中服從泊松分布,其分布律為的極大似然估計為樣本均值,其觀察值為則統計量為其中,是按的泊松分布律計算出的的取值為0,1,2,3,4這五種情況的概率.查表得,故接受.9-19 根據題目要求,考慮假設檢驗,其中服從等概率分布,其分布律為由觀測數據得,則統計量為其中.查表得,故接受.六、自測題及答案1.設總體是來自的樣本,記,當和未知時,則 (1)檢驗假設所使用的統計量是.(2)檢驗假設所使用的統計量是.2.設總體服從正態分布,方差未知,對假設進行假設檢驗時,通常采取的統計量是,服從分布,自由度是.3.在檢驗時,用統計量,若時,用檢驗,它的拒絕域為.若

18、時,用檢驗,它的拒絕域為.4.設總體,設假設檢驗的拒絕域為,則犯第一類錯誤的概率為;犯第二類錯誤的概率為.5.某加工廠生產一批軸承,質量檢查規定,廢品率不超過3%可以出廠,否則不能出廠.現從這批產品中抽查100件,發現有5件廢品.為判斷這批產品能否出廠,要求檢驗的假設為;在顯著性水平下,選定的統計量為,其觀測值為;該統計量近似服從分布,拒絕域為.6.設總體,和未知,假設檢驗.若采用檢驗法,則在顯著性水平之下,其拒絕域為( ).(a) (b)(c) (d)7.設和是來自正態總體的樣本均值和樣本方差,樣本容量為,為( ).(a)的拒絕域 (b)的接受域(c)的一個置信區間 (d)的一個置信區間8.

19、設總體,其中未知,假設檢驗.若取得顯著性水平,則其拒絕域為( ).(a) (b)(c) (d)9.對正態分布的數學期望進行假設檢驗,如果在顯著性水平0.05下接受,那么在顯著性水平0.01下,下列結論中正確的是( ).(a)必接受 (b)可能接受,也可能拒絕(c)必拒絕 (d)不接受,也不拒絕10.自動包裝機裝出的每袋重量服從正態分布,規定每袋重量的方差不超過,為了檢查自動包裝機的工作是否正常,對它生產的產品進行抽樣檢查,假設檢驗,則下列命題正確的是( ).(a)如果生產正常,則檢測結果也認為生產正常的概率為0.95(b)如果生產不正常,則檢測結果也認為生產不正常的概率為0.95(c)如果檢測

20、結果認為生產正常,則生產確實正常的概率為0.95(d)如果檢測結果認為生產不正常,則生產確實不正常的概率為0.9511.設為正態總體中抽取的樣本,在顯著性水平下檢驗.取拒絕域為.試求當時,所煩的第二類錯誤的概率.12.甲、乙兩臺機床生產同一型號的滾球,現從這兩臺機床的產品中分別抽取8個和9個,測得滾球珠的直徑(單位:mm)如下:甲機床 15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8乙機床 15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 14.8 15.1 14.8設滾珠直徑服從正態分布,問乙機床的加工精度是否比甲機床高()?13.一種元件,要求其使用壽命不得低

21、于1000h,現在從一批這種元件中隨機地抽取25件,測得其壽命平均值為950h,已知該元件壽命服從標準差的正態分布,試在下,確定該批元件是否合格?14.某臺機器加工某種零件,規定零件長度為100cm,標準差不得超過2cm,每天定時檢查機器運行情況,某日抽取10個零件,取到平均長度,樣本標準差為,設加工的零件長度服從正態分布.問該日機器工作狀況是否正常()?15.甲、乙相鄰兩地段各取了50塊和52塊巖心進行磁化率測定,算出樣本標準差分別為,試問甲、乙兩段的標準差是否有顯著差異()?16.在集中教育開課前對學員進行測驗,過了一段時間后,又對學員進行了與前一次同樣程度的考查,目的是了解學員兩次考試的

22、分數是否有差別().從兩次考卷中隨機抽取12份考試成績,如下表:考查次數考分總計平均第1次 80.5 91.0 81.0 85.0 70.0 86.0 69.5 74.0 72.5 83.0 69.0 78.5 940 78.5第2次 76.0 90.0 91.5 73.0 64.5 77.5 81.0 83.5 86.0 78.5 85.0 73.5 960 80.0答案1.(1)當未知時,檢驗假設,應選服從個自由度的分布統計量,其中為樣本標準差.于是.(2)檢驗假設,應選統計量.2.;分布;.3.雙邊;左邊;.4.5.6.的含義為.7.由可知,.故a項正確.8.由于,故b項正確.9.檢驗水平越小,接受域的范圍越大,也就是說,在下的