1、同一點(diǎn)各個(gè)方位上的應(yīng)力大小和方向各不相同。 某一點(diǎn)各個(gè)不同方位的截面上的應(yīng)力及其相互關(guān)系，稱為 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 一、一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài) 二、單元體概念 剪應(yīng)力等于0的截面稱為主平面；作用在 主平面上的應(yīng)力稱為主應(yīng)力。 在構(gòu)件內(nèi)部取一個(gè)微分六面體，代表一 個(gè)點(diǎn)，分析 6 個(gè)微面上的應(yīng)力，這個(gè)微 分六面體稱為單元體 y x z yx yz zy zx xz xy 9-1 9-1 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的概念一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的概念 三、應(yīng)力狀態(tài)分類 三向應(yīng)力狀態(tài)（空間應(yīng)力狀態(tài)）：三個(gè)方向的主應(yīng)力 都不等于0; y x z yx yz zy zx xz xy y x yx xy x y yx xy 二向應(yīng)力狀態(tài)（平面應(yīng)力

2、狀態(tài)）：兩個(gè)方向的主應(yīng)力 都不等于0; x x 單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)方向的主應(yīng)力都不等于0 9-2 9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法 平面初始應(yīng)力狀態(tài)包括 xyxyyx 表示 y x yx xy x y yx xy 平面應(yīng)力狀態(tài)的簡(jiǎn)化表示 y x yx xy x y yx xy 一、任意斜截面上的應(yīng)力 從 x 軸方向逆時(shí)針為正 拉應(yīng)力為正；壓應(yīng)力為負(fù) 繞單元體順時(shí)針為正，反之為負(fù) 設(shè)斜截面上的應(yīng)力為 y x yx xy x y yx xy n t 斜截面上的各參量的正負(fù)號(hào)規(guī)定 n x x xy y yx t 對(duì)三角形單元體建立平衡方程 0 n F (cos)cos(c

3、os)sin(sin)sin(sin)cos0 xxyyxy dAdAdAdAdA n x x xy y yx t 0 t F (cos)sin(cos)cos(sin)cos(sin)sin0 xxyyxy dAdAdAdAdA cos2sin2 22 sin2cos2 2 xyxy xy xy xy 整理后 二、主應(yīng)力、主方位 由斜截面上的應(yīng)力表達(dá)式可知 隨 角度不同而變 化， 都是 的函數(shù)，由此可求正應(yīng)力和剪應(yīng)力的極值。 、 2sin2cos20 2 xy xy d d 主平面 、 將 的表達(dá)式對(duì) 求導(dǎo)： 0 = 可見在 的截面上，正應(yīng)力具有極值（最大或最小）0 主應(yīng)力 0 2 1 2

4、xy xy arctg 2 2 max min 0 22 2 1 2 xyxy xy xy xy arctg 即平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力、主方位表達(dá)式 0 =令sin2cos20 2 xy xy 即 0 2 2 xy xy tg 得 將上式帶入 的表達(dá)式： 將 的表達(dá)式對(duì) 求導(dǎo)： 三、剪應(yīng)力極值、剪應(yīng)力極值平面 ()cos22sin20 xyxy d d 1 2 2 xy xy tg 1 1 22 xy xy arctg 將上式帶入 的表達(dá)式： 2 2 max min 1 2 1 22 xy xy xy xy arctg 即剪應(yīng)力極值、剪應(yīng)力極值平面表達(dá)式 由主應(yīng)力方位角和剪應(yīng)力極值方位角可知 0

5、2 2 xy xy tg 1 2 2 xy xy tg 01 22tgtg 01 22 2 01 4 即：剪應(yīng)力極值平面和主平面夾角為45 9-3 9-3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法 斜截面應(yīng)力解析表達(dá)式 cos2sin2 22 sin2cos2 2 xyxy xy xy xy 將公式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換將公式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換 cos2sin2 22 sin2cos2 2 xyxy xy xy xy 22 22 22 xyxy xy 一、應(yīng)力圓方程 22 22 22 xyxy xy 發(fā)現(xiàn)此方程為圓方程，圓心發(fā)現(xiàn)此方程為圓方程，圓心 半徑半徑 ,0 2 xy 2 2 2 xy xy

6、 觀察方程觀察方程 稱此圓為稱此圓為應(yīng)力圓應(yīng)力圓。 2 xy 2 2 2 xy xy R O 1 O 由于應(yīng)力圓最早由德 國(guó)工程師莫爾 （otto.mohr,1835- 1918）提出，故又稱 為莫爾圓。 R A B 二、應(yīng)力圓作法 (1)在坐標(biāo)系內(nèi)畫出A1( ) xxy , (2)在坐標(biāo)系內(nèi)畫出B1( ) yyx , O 1( ,) xxy A y x yx xy 1( ,) yyx B 二、應(yīng)力圓作法 O 1( ,) xxy A y x yx xy 1( ,) yyx B (3)A1 B1連線與 軸交點(diǎn)即圓心O1 (4)以O(shè)1為圓心，以O(shè)1A1 為半徑畫圓 1 O 例題2：已知某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)

7、如圖，用解析法求 并用圖解法驗(yàn)證。 oo maxmax 3030 minmin 、 40 30 25 22 max min 51.7 ()MPa 36.722 xyxy xy maxmin max min 44.2 MPa 2 30 cos60sin6049.7MPa 22 o xyxyoo xy 40 MPa;25;30 MPa; xyxy 解：解析法求解 30 cos60sin6013.1MPa 2 o xyoo xy o 30 o 30 O 1( 25,30) B 1 O 1(40, 30) A A B Q Q 圖解法驗(yàn)證 40 30 25 K o 30 (49.7,13.1)C oo 3030 ， 作應(yīng)力圓以及主應(yīng)力和剪應(yīng)力極值的應(yīng)力狀態(tài)。 查Q點(diǎn)和Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)數(shù)值，即可得到剪應(yīng)力極值為 44.2 MPa 過(guò)K點(diǎn)作直線與x軸呈30角，與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)即 查A點(diǎn)和B點(diǎn)的橫坐標(biāo)數(shù)值，即可得到主應(yīng)力為51.7 MPa和-36.7 MPa 9-4 9-4 三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介 只有主應(yīng)力的三向應(yīng)力狀態(tài)稱為三向主應(yīng)力狀態(tài) 2 1 3 2 1 123 一、三向主應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓 O 1 2 3 1 二、三向主應(yīng)力狀態(tài)的最大剪應(yīng)力 2 max 2 o 45 最大剪應(yīng)力由 和 決定 1 3 13 max min2 最大剪應(yīng)力方位角