1、編號編號 學學士士學學位位論論文文 用面積法證明幾何題用面積法證明幾何題 學生姓名： 阿娜爾古麗約麥爾 學 號： 20080101020 系 部： 數學系 專 業： 數學與應用數學 年 級： 2008- 3 班 指導教師： 迪麗拜爾老師 完成日期：2013 年 5 月 3 日 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 0 摘要摘要 面積是幾何學的起源，它是幾何中的重要內容。面積法是利用圖形的面積關 系建立一個或幾個面積的關系式通過推理演算，以達到題目的一種方法。而且面 積法也是數學解題中的重要方法。用面積法解幾何題時常常需要將三角形面積之 比轉化為線段之比。有些問

2、題用面積法來解決，往往可以化難為易，化繁為簡， 收到事半功倍的效果。 通過對三角形的面積公式的了解，為證明幾何題打下基礎；整理了三角形面 積公式證明幾何題的幾種分類和一些典型例題，描述了三角形，四邊形等面積公 式證明幾何題的方法。 用面積法證幾何題不僅提供了一種證題的方法，而且還是一種經常用到的解 題技巧，能夠起到事半功倍的效果。 關鍵詞：面積法 ；證明題；求比值 ；線段 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 1 目錄 摘要摘要 .1 1 引言引言 .1 1 1.1.面積法證幾何題常用的性質面積法證幾何題常用的性質 .1 1 2.2.常用定理常用定理 .3 3

3、 3.3.應用應用面積法面積法解題的理論依據解題的理論依據 .4 4 3.1 證線段相等或不等.5 3.2 證明面積成比例數列問題.5 3.3 證明線段成比例.6 3.4.證明三角形面積相等問題.7 3.5 證明與圓有關的比例線段關系問題.7 3.6 求線段的比值.8 總結總結 .9 9 參考文獻參考文獻 .1010 致謝致謝 .1111 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 0 引言引言 面積法是指從三角形，四邊形等的面積出發，利用幾何圖形中的邊， 角與面積之間的關系，運用代數手段來完成幾何中的推理過程。 用面積比來證明幾何問題比較廣泛使用的，利用傳統的方法

4、解決一些幾 何問題甚至有些復雜的難題，但利用面積比解決一些幾何問題，可以使你認 為比較難解，甚至感覺無從下手的問題都能夠輕易得到證明。 1.面積法證幾何題常用的性質面積法證幾何題常用的性質 ：等（同）底，等（同）高的兩個三角形的面。1性質 例題 1：求證：等腰三角形兩腰上的高相等。 已知：如圖 1，中，,ABCABAC,BD CF 分別是上的高。,AC AB 求證： BDCF 證明：為的高,BD CFABC 11 22 ABC SAB CFAC BD 又ABAC CFBD :兩個三角形等（同）底（高） ，則它們面積的比等于其高（底）的比。性質2 例題2：如圖2，為內任意一點，三邊， 的高分別為

5、，PABCabc a h ，且到， 的距離分別為，。 b h c hPabc a t b t c t 求證：1 abc abc ttt hhh 分析：連接,容易看出，分別是兩個等底三角形的高之比，PA PBPC a a t h b b t h c c t h 于是可將之比轉化為面積之比，使命題得證。 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 1 證明：因為 ABCPABPBCPCA SSSS 那么 1 PBCPCAPAB ABCABCABC SSS SSS 又因為， 1 2 PABc Sct ， 1 2 PBCa Sat 1 2 PCAb Sbt ， 111 22

6、2 ABCcab Sctatbt , cPAB ABCc tS Sh 同理， PBCa ABCa St Sh PCAb ABCb St Sh 因此，1 cab cab ttt hhh :證明三角形內角平分線的性質.性質3 例題 3：如圖 3，已知是的角平分線ADABC 求證： ABBD ACDC 分析：如果用面積法通過等底同高三角形面積相等，及共角定理就很容易得 證。 證明：如圖 BADCAD 1 sin 2 ABD SAB ADBAD 1 sin 2 ADC SAC ADCAD ABD ADC SAB ADAB SAC ADAC 又因與互補，ADBADC ABD ADC SBD ADBD S

7、DC ADDC 圖 2 CB A P 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 2 既得 ABBD ACDC 2.常用定理常用定理 等底三角形面積之比等于其高之比；等高三角形面積之比等于其底之比。1定理： 例題例題 4 4：如圖 4，直角梯形中, ABCD :3:4AB DC 求：:? ABDBCD SS 解： , 1 2 ABD SAB BC 1 2 BCD SDC BC , 1 2 1 2 ABD BCD AB BC SAB SDC DC BC 3 4 ABD BCD S S 相似三角形面積的比等于相似比的平方。定理2： 例題例題 5 5：如圖所示，在中，AB

8、C DEBC, 4 9 ADE ABC S S 求：? AE EC 解： DEBC , ADEABC 2 4 9 ADE ABC SAE SAC 2 , 3 AE AC 2 1 AE EC 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 3 若兩個三角形有一個角對應相等，則這兩個三角形面積之比等于夾此角兩定理3： 邊乘積之比。 例題例題 6 6：已知如圖 6，是的邊上的兩點，。DEABCBCBADCAE 求證：。 2 2 ABBD BE ACCE CD 證明：證明：，BADCAE ABD AEC SAB AD SAC AE 而 ABD AEC SBD SEC （AQ 是

9、兩個三角形的公高） （1） 又 AB ADBD AC AEEC BEACAD 又BEACAD 。而. ABE ACD SAB AE SAC AD ABE ACD SBD SEC 。所以得 AB AEBE AC CDCD 12 2 2 ABBD BE ACCE CD 3.應用應用面積法面積法解題的理論依據解題的理論依據 1.等積定理：兩個全等三角形的面積相等。等底，等高的兩個三角形或四邊形 的面積相等。兩個等積三角形，若它們的底相等，則它們的高相等；若它們的高 相等，則它們的底相等。整個圖形的面積等于其各部分面積之和。 2.面積比定理：兩個三角形面積之比，等于它們的底，高之積得比。等底（高） 的

10、兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比。相似三角形（多邊形）面積之 比等于它們對應邊的平方比。 3.面積公式： 1 ; 2 ABC Sah 1 sin; 2 ABC SbcA 1 ; 2 ABC Sabc r 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 4 其中，。是三角形三邊長， ABC Ss sasbsc 1 2 ABC Sabc , ,a b c 是三角形的高， 是三角形內切圓的半徑，是三角形的一個角。hrA 應用面積法解題一般可不添加或少添輔助線，證法簡潔，直觀，易于接受 和掌握。 運用三角形面積公式證明某些幾何題，有時往往比其 11 si 2 n; 2

11、ABCa SahbcA 他方法思路更清晰。現舉例說明如下。 3.1 證線段相等或不等證線段相等或不等 例 7 從的頂點 C 作C 的平分線交 AB 與 D，ABC 求證： 2 CDCA BC 證明：如圖 7,由定理有： 222 CDABACBDBCAD AB BD DA ACAD BCBD 2 2 1 AB CDCA BC CABC 但,即ABAC BC1 AB CAbc 所以 2 CDCA BC 3.2 證明面積成比例數列問題證明面積成比例數列問題 例 8 如圖 8，已知梯形兩對角線ABCD 交與一點.,AC BDO 求證： 2 BOCAOBDOC SSS 證明：1 與2 互補，故 學學 士

12、士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 5 AOB BOC SAO SOC 又因2 與3 互補， BOC DOC SBO SDO 又于, AOBDOC AOBO CODO , AOBBOC BOCDOC SS SS 2 BOCAOBDOC SSS 3.3 證明線段成比例證明線段成比例 例 9：從圓的內接四邊形的邊上一點作ABCDABM ,且與相交于點.,MPCD MRAD MQCDPRMQN 求證：:RN PNAM RM 證明：如圖，,MQCD MPBC 四點共圓，則 又已知共圓，, ,M P C Q 0 180PMNC, ,A B C D 則 0 180AC PMNA

13、 有共角定理有： 1 AMRAM AR MNPMN MP 同理.即有 RMNB 2 MNRAM AR MNPMN MP 又 0 90ARMBPM 又 得 123 MNRAM MNPBM 又共邊比例定理知， MNRRN MNPPN AMRN BMPN 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 6 3.4.證明三角形面積相等問題證明三角形面積相等問題 例 10 已知是等腰三角形，是底邊上的任意一點，ABCDBCEDCFDB 求證： BDECDE SS 證明：易證 BDFCDE FDBD EDDC 即FD DCBD ED 又 EDCFDB BDECDF 1 BDE CD

14、F SBD DE SFD CD 3.5 證明與圓有關的比例線段關系問題證明與圓有關的比例線段關系問題 例 11 如圖 11，的頂點作外接圓的切線交與.ABCABCD 求證： 2 2 CDAC BDAB 證明：,DD ABD ACD SBD SCD ，ACDBAD ACD 與互補ACD , ACD ABD SAC CD SAB AD ABC ACD SBC SCD 又 ACDABC ACD ABC SAC AD SAB BC 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 7 將上面 4 式相乘有 2 2 ACCD ABBD 3.6 求線段的比值求線段的比值 例 12 如

15、圖 12，在中，,是的中點，ABC 0 90BACABmAC，NAB APCN 交邊與，求比值 BCD? BD DC 解：在中, , ABCAPCNACAB 1=2，又3=4. 又共角和共邊比例定理有 BDBADABDNAC DCCADCANADC AB AD NA NC CA CNAD AC 2 1 2 AB AN m AC AC ； 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 8 總結總結 在一些難度更大的題目中, 有時要多次應用面積或配合其它代數技巧和幾何 基本知識才能解決問題。 有些問題用面積法來解決，往往可以化難為易，化繁為簡，收到事半功倍的 效果。 通過

16、上面的例題, 可以看出面積與面積、面積與線段的互相轉化是面積法解 題的重要手段。靈活運用知識要點, 巧妙進行等積變換是面積法解題的關解。 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 9 參考文獻參考文獻 【1】數學教學研究 甘肅省數學會 （2527）J : 【2】 姚高峰, 吳憶明 現代中國風景園林規劃與旅游開發 地理學與國土研究, 1999 (1) （13- 16） 【3】 幾何學 馬忠林 編 吉林市：吉林人民出版社（124148） : 【4】初等幾何變換 左銓如，季素月 編（146203） : 【5】初等幾何研究 朱德祥，朱維宗 編（6483） : 【6】 幾何基礎 傅章秀 北京市：北京師范大學出版社 （8693，120128） : 【7】高中數學 選修 叢書主編：王后雄 （13） 學學 士士 學學 位