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1、第九章 多元函數微分法及其應用(答案)第九章 多元函數微分法及其應用1填空題(1)若在區域上的兩個混合偏導數， 連續 ，則在上， 。(2)函數在點處可微的 必要 條件是在點處的偏導數存在。2求下列各極限(1) (2)解：原式 解：原式 (3) 解：原式 3設，求及解：，4求下列函數的偏導數(1)解： 類似地(2)解： 同理可證得：(3)解： 5設，求全導數。解：， ， 依復合函數求導法則，全導數為 6設，求。解： 7求方程所確定的函數的偏導數。解：關于求導，得到，即關于求導，有，即。8設，求所有二階偏導數。解：先求一階偏導數，得，再求二階偏導數，得 ， ， ， 9設是由方程確定的隱函數，求，。

2、解一：記，則 ， 當時，便得， 。解二：（提示）直接對方程兩邊求偏導數，并明確是、的函數，即可得，。10設，求。解：令，則，則 。11設是由方程確定的隱函數，求，。解：方程兩邊對求偏導數，有 ，即 解得 類似地，方程兩邊對求偏導數，解得 再求二階混合偏導數，得 把上述的結果代入，便得：。12設，求全微分。解：由于，所以全微分為 。13求函數在點的全微分。解：， 所以。14求曲面上點處的切平面方程和法線方程。解：記，則，于是曲面在點處的法線向量為從而，切平面方程為，即，法線方程為。15求曲線，上點，使在該點處曲線的切線平行于平面。解：曲線在點處的切線方程為又切線與平面平行，即切線的方向向量和平面

3、的法向量垂直，應有，即，得所以點的坐標為。16求函數的極值。解：解方程組，求得駐點，由于，所以在點處，函數取得極大值，極大值為。17求函數的極值。解：解方程組，得駐點。由于，在點處，所以函數在點處取得極小值，極小值為。18二元函數在點處：連續，偏導數存在；連續，偏導數不存在；不連續，偏導數存在；不連續，偏導數不存在。解：應選事實上，由于，隨的值不同而改變，所以極限不存在，因而在點處不連續，又，類似地，所以在處的偏導數存在。19設，求，。解：令，于是，得，。20設，求。解：令，于是在處。20設是由方程所確定的隱函數，其中具有連續的偏導數，求，并由此求和。解：方程兩邊求全微分，得，即，即 ，當時，解出 由此得

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