1、歐幾里得原本與公理化方法 一.教材分析人教A版高中數學教科書設立了“章頭圖和引言”、“閱讀與思考”、“探究與發現”、“信息技術應用”等拓展欄目.“歐幾里得原本與公理化方法”是人教A版高中數學教材必修二第二章章末的閱讀與思考，是在已經完整的學習立體幾何的基礎上學習的內容，也是基于學生對公理化方法有一定感性、具體的認識之后學習的內容，因此本節閱讀材料的出現，豐富了教材內容，激發了學生學習數學的興趣，拓展了學生的數學活動空間，同時幫助學生理清第二章立體幾何的知識脈絡，建立知識體系，學會整理知識結構的學習方法.本篇“閱讀與思考”教材安排先介紹歐幾里得編著幾何原本的歷史及幾何原本給世界帶來的重大影響，然

2、后介紹了什么是公理化方法及其作用，因此本節教材編寫的意圖在于使學生了解數學發展的歷史，豐富學生的數學文化知識，培養學生追求知識起源的動力，學習古人的數學精神，并學會利用公理化的思想方法去解決問題和認識世界. 歐幾里得幾何原本作為現代數學之源，它的重要性并不在于書中提出的哪一條定理.書中提出的幾乎所有的定理在歐幾里德之前就已經為人知曉，使用的許多證明亦是如此.它的重要性在于建立了比較嚴格的幾何體系，在這個體系中有四方面主要內容，定義、公理、公設、命題（包括作圖和定理），而整個的理論體系都是由定義、公理和公設演繹而出的.幾何原本所表現的已不僅是數學中的真理，更為重要的是它借助數學表現了一種認識世界

3、、表述世界的理性的思維方式.二.學情分析本節課是在學生已經學習了第二章立體幾何之后的一則閱讀材料，在第二章的點線面的位置關系中，有4條公理、9條定理以及一些推論.本閱讀材料的學習有利于學生宏觀了解數學幾何學體系，使用公理化方法去整理第二章知識結構，從而達到進一步理解、掌握立體幾何的知識，形成完整的知識網絡.同時高二的學生已經具有一定的綜合、分析、歸納和遷移的能力，能夠初步使用公理化方法遷移整理其他章節的知識，或者現階段應用于其他學科，從更長遠的角度來說，還可以幫助自己建立一個理性思維，甚至建立自己的公理化系統.但是由于數學公理化方法表述了數學理論的簡捷性、條理性、以及結構的和諧性，學生要真切深

4、刻地理解公理化方法還有一定的難度，尤其很難深刻認識公理化方法作用.因此基于學生的實際情況，教學的重點難點放在公理化方法及其作用上，并且設計一些具體的使用公理化方法的案例來突破難點.三.教學目標1.了解古希臘數學家歐幾里得著作幾何原本，感受幾何原本對歷史的重大價值，加強對公理化方法的重視.2.了解并體會前人證明定理的過程，從而提煉出公理化方法的基本概念.理解什么是公理化方法，感受證明過程中的科學性、條理性、嚴謹性.3.了解公理化方法對其他學科的示范作用以及在促進新理論時的作用，提升對數學學科的自豪感，養成用數學的眼光看世界的習慣.教學重點：1.歐幾里得著作幾何原本.2.了解并體會前人證明定理的過

5、程，從而提煉出公理化方法的基本概念，理解什么是公理化方法.教學難點：了解并體會前人證明定理的過程，從而提煉出公理化方法的基本概念，理解什么是公理化方法.四.難點突破策略分析讓學生通過本節課的學習，了解并體會前人證明定理的過程，從而提煉出公理化方法的基本概念，理解什么是公理化方法是本節課的一個難點，為此首先讓同學們收集資料并同學介紹歐幾里得及其著作幾何原本，在其過程中加強學生對幾何原本價值、作用的認識，從而提高體會前人證明定理的過程的興趣與重視.學生通過收集資料，初步認識公理化方法，在理解幾何原本證明定理的方法后，學生自己嘗試證明第二章的平面與直線判定定理等，經歷自主探究，小組合作等渠道深入研究

6、證明的過程，體會在證明的過程中嚴密的邏輯思維，更進一步理解公理化方法，達到循序漸進突破難點的目的.五、課前準備課前安排小組提前查詢閱讀資料，解決以下幾個問題：幾何原本是什么背景下誕生的？之前的幾何學是什么樣的情況？幾何原本有什么意義和影響？六.教學方法課前查資料、學生講解分享、小組探究討論、教師啟發引導式、數學實驗證明、類比.七.教學過程1.引入師：學完必修二第二章，你們學到了什么幾何知識？生：線面平行定理、線面垂直定理師：這么多知識，你能有邏輯地排序嗎？能把他們歸納成完善的體系嗎？師：如何構建體系，我們不得不提到一位古人.PPT：展示人物圖片.師：他是誰？ 生：歐幾里得.設計意圖：從學完第二

7、章出發，讓學生回顧所學知識，學生能報出一些知識點，再追問他們能否構建體系，學生會感覺到比較困難，從而引出歐幾里得幾何原本的公理化方法，通過簡單明了的歐幾里得圖片，引出本節課主題.師：在課前，我請一小組同學們查詢了關于歐幾里得幾何原本的一些資料，現在資料已放到我電腦里，那么今天也請同學們當一回老師.請小組派代表上講臺為同學們分享他們組收集到的信息.2.學生分享生：（PPT展示）幾何原本作者簡介：作為教材的影響兩千多年來，作為歐洲數學的基礎，幾何原本被廣泛的認為是歷史上學習數學幾何部分的最成功的教科書.哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多蜚聲中外的學者都曾學習過幾何原本，并從中吸取了豐富的營養，從而

8、創造出許多令世人驚嘆的偉大成就.愛因斯坦：“如果歐幾里得未激發你少年時代的科學熱情，那你肯定不是天才科學家.” 幾何原本誕生背景：在幾何原本出現之前，古希臘人已經積累了許多幾何學的知識，然而這些知識缺乏系統性，大多數是零碎的知識，并沒有太多聯系，更不要說對其進行嚴格的邏輯論證和說明.而隨著當時社會經濟的繁榮和發展，特別是隨著農林畜牧業的發展、土地開發和利用的增多，把這些幾何學知識加以條理化和系統化，成為一整套可以自圓其說、前后貫通的知識體系，已經刻不容緩，成為科學進步的大勢所趨.歐幾里得敏銳地察覺到了幾何學理論的發展趨勢，他詳盡地搜集了當時的幾何知識，把前人的數學成果加以系統地整理總結，用嚴密

9、的演繹邏輯，構建出一個嚴整的體系，寫成了數學史上早期的巨著幾何原本.幾何原本內容：這部書囊括了幾何學從公元前7世紀的古希臘，一直到公元前4世紀歐幾里得生活時期總共400多年的數學發展歷史.幾何原本共有13篇，首先給出的是一些定義和5個公理、5個公設，竟然嚴密地推理出全書467條定理和推論. 論證方法上的影響關于幾何論證的方法，歐幾里得提出了綜合法、分析法和歸謬法（反證法）.這些都是我們之前剛剛學過的證明方法.幾何原本的傳播中國最早的譯本是1607年徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯的，定名為幾何原本，幾何的中文名稱就是由此而來.該譯本確定了許多我們現在耳熟能詳的幾何學名詞，如點、直線、平面、相似等

10、.設計意圖：以學生為主體，發揮學生的主觀能動性，激發學生的興趣，搜集資料，并通過學生講解鍛煉學生的表達能力.同時學生講課，同學們反而更有興趣，課堂更有效活躍.了解古希臘數學家歐幾里得及其著作幾何原本，感受幾何原本對歷史的重大價值，強化對公理化方法的重視.3.回歸課本師：是啊，幾何原本影響如此之大，甚至影響了一批又一批的偉大科學家，那我們今天也來學一學幾何原本里面最有價值的公理化方法.首先，我們需要認識一下什么是公理化方法，我們請語文課代表朗讀一下課本第75頁第4、5、6段.PPT：展示課本的圖片，對這幾段內容放大.生：數學公理化方法，就是從盡可能少的原始概念（基本概念）和盡可能少的一組不加證明

11、的原始命題（公理、公設）出發，應用嚴格的邏輯推理，推導出其余的命題，使某一數學分支成為演繹系統的一種方法.基本概念是一些不加定義的原始概念，它們必須是真正基本的，無法用更原始、更基本的概念去定義的，如中學教學中的點、直線、平面、集合等都是基本概念.公理是對基本概念間的相互關系和基本性質所作的一種闡述和規定.如“過兩點至少有一條直線”“經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面”等都是作為公理的命題.設計意圖：回歸課本，回歸教材，理解教材對公理化的解釋.通過學生的閱讀，能讓學生更好地學習較為枯燥的知識.4.幾何原本案例師：同學們能理解這段話嗎？這段話有些抽象，公理化方法到底是什么樣的方法呢？我

12、們不妨翻開幾何原本，看看那時候歐幾里得是如何運用公理化方法證明如此多的命題.PPT：（展示圖片）師：幾何原本有23個定義.師：什么是公設？幾何原本中有“公設”與“公理”之分，近代數學對此不再區分，都稱“公理”.師：什么是公理？公理是指依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題.師：那么公理與定理有什么區別？ 公理：公理不用證明. 定理：用公理經過邏輯推理形成.師：定義、公理、公設就是幾何原本全書的基礎.全書以這些定義、公理、公設為依據邏輯地展開他的各個部分的.比如后面出現的每一個定理都寫明什么是已知、什么是求證.都要根據前面的定義、公理、定理進行邏輯

13、推理給予仔細證明.下面是幾何原本中的第一個命題.生：（證明該命題）.師：（解釋命題證明過程）.設計意圖：本節課介紹幾何原本，不能講到最后，學生連幾何原本里面什么樣都不了解.通過幾何原本簡單的第一個命題初步認識幾何原本的內容、結構、書寫特點，以及了解歐幾里得是如何證明定理的.體會前人證明定理的過程，提煉出公理化方法的基本概念，從而對公理化方法有一個初步的印象.為接下來的公理化證明的小組合作做鋪墊，為突破本節課教學難點做鋪墊.PPT采用圖片展示的模式，相較用文字，閱讀更省力，不枯燥.5.探索新知師：歐幾里得就是這樣以僅僅5條公理、5條公設和一些定義一步步推出了467條定理和推論.我們今天就來模仿一

14、下歐幾里得證明定理的過程.當然我們選取貼近我們現在知識的定理，哪個定理呢？我們必修二的第二章的立體幾何內容剛好是幾何原本的一部分，而這則材料又在第二章末，那么我們就借助第二章的知識來體驗一下公理化方法吧. 師：首先，我們需要確定有幾個定理.同學們記得必修二第二章中有哪些公理嗎？ 生：翻書查找.PPT：公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內. 公理2 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面. 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線. 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 師：那必修二第二章從這些公理推出了哪些定理？ 生：

15、平行判定與性質定理、垂直判定與性質定理、等角定理. 師：請同學們小組討論證明線面平行的判定定理.證明：（線面平行的判定定理） 若平面外的一條直線與平面內的一條直線 平行，那么這條直線與這個平面平行.用符號語言表示：. 生：（小組討論）.生（上臺板演）：師：我們借助公理四和反證法證明了線面平行的判定定理，接著你們能否證明： 生： 設計意圖：選取必修二第二章的知識證明，更貼近學生所學的知識和實際需求.通過具體的例子讓學生體驗公理化證明，理解什么是公理化方法，感受證明定理過程的科學性、條理性、嚴謹性.第二個例子是想讓學生能聯想到從公理推出定理，再從已證的定理出發推出新的命題，如此循環，其實就是歐幾里

16、得能從這么少的公理推出這么多的命題的原因所在. 6.深化概念師：我們借助之前的線面平行判定定理證明了剛剛的結論，實際上，我們借助剛剛的結論，又能推導出其他的幾何結論.反思第二章，由4條公理，得到線面、面面的位置關系，從而有了這些判定定理、性質定理，同學們也是順著這個知識體系逐步學習的第二章點、線、面的位置關系.根據剛才我們的例子，同學們能想象歐幾里得是如何通過5個公理、5個公設為基礎，證明467個命題和推論嗎？生：從公理出發推出定理，再以定理為條件推出更多的命題.師：同學們有很棒的猜想，那我們來看看歐幾里得是否跟同學們猜想的一樣呢？PPT：師：（簡單展示）我們剛才看了幾何原本的第一個命題，那我

17、們來看一下第二個、第三個命題是怎么證明的.師：（簡單展示）以命題1為條件，證明了命題2.師：（簡單展示）以命題2為條件，證明了命題3.師：如此類推，同學們能理解歐幾里得如何通過公理化方法，從少數公理、公設吃飯，證明這么多個命題，構造出幾何體系了嗎？你們能描述一下什么是公理化方法嗎？生：（回答什么是公理化方法）.師：幾何原本的重要性并不在于它所論證的哪條具體定理，書中幾乎所有的定理和證法在歐幾里得以前就為人所知曉.歐幾里得的偉大貢獻在于他對教材的編排和大綱的制訂.他首先挑選出了經過長期實踐的反復檢驗、證明其正確性的5條公理和5條公設作為基礎，接著認真地編排這些公理和公設，一個定理被證明以后，又可

18、以用它作為理論依據，去推導出新的數學定理來.這樣，就可以用一根邏輯的鏈條，把所有的定理都串聯起來，讓每一個環節都銜接得絲絲入扣，循序漸進，無懈可擊.他在必要的地方補充了缺少的步驟，提出了缺少的證據.從此，古希臘豐富的幾何學知識，形成了一個邏輯嚴謹的科學體系.由區區5個公理5個公設，竟能推導出那么多的數學定理來，這是一個奇跡！2000多年后，大科學家愛因斯坦仍然懷著深深的敬意稱贊道：這是“世界第一次目睹了一個邏輯體系的奇跡”.而且，這些公理公設，多一個顯得累贅，少一個則基礎不鞏固，其中自有很深的奧秘.后來，歐幾里得獨創的陳述方式，也就一直為歷代數學家所沿用.設計意圖：通過幾何原本前三個命題的證明過程（簡單展示），和之前學生自己從公理推出定理，再從已證的定理出發推出新的命題的循環，讓學生理解歐幾里得從5條公理和5條公設作為基礎構造出幾何體系過程，從而深化理解公理化方法的概念與運用方法.7.拓展提升師：這就是公理化方法，公理化方法的有哪些作用呢？ 師：（1）概括整理數學知識.例如：歐幾里得用公理化方法把零散的幾何知識整理著成幾何原本. 師：課后探索：小組合作，從必修二第二章的四個公理出發，推理證明書本里的相關幾何結論，梳理高中幾何體系（作業