1、三角恒等變換-小結與復習(學案)、學習目標1 .理解與掌握常見的三角恒等變換公式，并明確它們之間的關系.2 .體會三角恒等變換的工具性作用，掌握變換的思想和方法，提高推理和運算能力. 二、自主學習1.溫故知新(1)兩角和與差的正弦兩角和與差的余弦cosi：之二兩角和與差的正切tan二(2)二倍角公式sin 2atan2 二-cos2：=(3)asinx+bcosx=(4),(a2+b2w0),其中 cos(j)=三、合作探究三角函數式的求值問題三角函數式求值主要有以下三種題型.(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三

2、角函數值問題.變角”，如a=(a+ 3) & 2 a= ( a+ 就+(a-(2)給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于 3等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論.給值求角:角.實質上是轉化為給值求值”問題，由所求角的函數值結合所求角的范圍及函數的單調性求得例1sin 15 平 cos 15 曰 /sin 15cos 15的值是(B.4C .2- .6 C.4D. -73D.5解析：原式Mtanf!_!tan 15 - 11 - tan 15(2)在 ABC 中，3sin A +4cos B=6, 4sin B+3cos A=1,則

3、 C 的大小為tan 45 tan 15 =_ tan(45 : 15)= _ tan 60 = - J3.1-tan 45 tan 15 11(2)兩式左右兩邊分別平方相加，得sin(A+B) = /,則sin C= sine(A+B)=5,所以 C=6 C 磊1 3sin a=64cos b2,得 sin A -22,所以 a6,所以 c6 兀，故 C =、兀答案：(1)D (2)6A歸納升華：對于給值求角的問題，角的范圍分析很重要，是防止出現增解的重要手段.專題二三角函數式的化簡與證明三角函數式的化簡的基本思想方法是統一角、統一三角函數的名稱.在具體實施過程中，應著重抓住 角”的統一.通

4、過觀察角、函數名、項的次數等，找到突破口，利用切化弦、升哥、降哥、逆用公式等手 段將其化簡.三角函數式的證明實質上也是化簡，具有方向目標的化簡；根本原則：由繁到簡，消除兩端差異，達 到證明目的.一 .，cos 10例2化簡(tan 10 - V3)而布解:原式=令in 10 cos 10 %3 )喑=/ sin 50sin 10 , V3cos 10 1 2：sin 10 ;cos 10 ,，sin 50 sin 50 2sin (10 -60)sin 50 2sin 50sin 50A歸納升華：本題中既有弦函數，又有切函數，由于涉及弦函數的公式較多，采用了切化弦的方法，有利于化簡的進行；并用

5、特殊角的三角函數表示特殊值，為逆用正弦的差角公式創造了條件，解法 簡捷，明快.專題三三角恒等變換的綜合應用高考常以三角恒等變形為主要的化簡手段，考查三角函數的性質.當給出的三角函數關系式較為復雜，我們要先通過三角恒等變換，將三角函數的表達式變形化簡，將函數表達式變形為y=Asin(cox+昉+或丫=人8$(3乂+等形式，然后再根據化簡后的三角函數，討論其圖象和性質.例 3 已知函數 f(x) = sin / x sin x V3cos2x.求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在6，呈上的單調性.解：(1)f(x) = sin 9一x sin x-V3cos2x= cos xsin

6、 x-野(1 + cos 2x)=1sin 2x-3cos 2x. 22222= sin(2x-3 丁當，因此f(x)的最小正周期為兀，最大值為 紅瀘.(2)當xe 6，朗時,ow永一3皿從而當ow次一39,即6雙年時，f(x)單調遞增, 當2C及一 ；W 即12女30，f(x)單調遞減.綜上可知，f(x)在搟，漿上單調遞增，在 信 守上單調遞減.A歸納升華：高考對三角函數性質的考查主要涉及單調性、奇偶性、周期性等.解答時通常是先將函數簡化為形如f(x) = Asin (cox+ (f) + B的形式，然后根據正弦函數的圖象與性質求解.專題四轉化與化歸思想本章以兩角差的余弦公式為基礎利用換元法

7、，將兩角和的余弦公式轉化為兩角差的余弦公式的形式， 即“+ 3=”一(一份，從而推導出兩角和的余弦公式.然后利用誘導公式實現正弦余弦的轉化，推導出兩 角和(差)的正弦公式.以及二倍角公式的推出都體現了轉化與化歸的思想.應用該思想解決了三角函數式 化簡、求值、證明中角的變換、函數名稱變換問題，解決了三角函數最值問題.例 4 已知 sin 導 a； sin j a；= 6,代 ,兀 j,求 sin 4 %解：因為4 +4 a= 2：,所以 sin gcos+ a：所以sin 6+si唁+cos if+又因為兀V 2 a 2 兀，cos 2 a= 3,所以 sin 2 a= 3 2.4 2所以 si

8、n 4 a= 2sin 2 acos 2 a= 9.A歸納升華：解三角函數求值問題，要優先考慮角與角之間的關系,從而化為同角介四、學以致用變式訓練1.已知sin7cos 2 a=,貝 sin a=( 254A.5B.C 3C-5解析：因為sin4、!_遍訴門工2.廣4廠10 ,所以2sincos a= 72,即 sin a- cos a= 5,因為 cos 2 a=點,所以 cos2 a- sin2 a=2,即(cos a- sin a) (cos a+ sin o) = , 2525所以 cos a+ sin1 一.ra= 一 可得 sin53 =5.答案：D變式訓練2.求證:1 2sin

9、xcos x 1 tan xcos x sin x 1 + tan x證明：法右邊二sin x1 -cos xsin x1 +cos xcos x sin xcos x+ sin x(cos x sin x) 2(cos x sin x) (cos x+sin x)cos2x+ sin2x 2sin xcos xcos x sin x1 - 2sin xcos x - 匕一”e 人口 coJx sin2x =左邊.所以原命題成立法二：左邊=sin2 x+ cos2 x 2sin xcos xcos x sin x(cos xsin x) 2cos x sin xcos x sin x cos x+ sin x1 tan x1 + tan x=右邊,所以原命題成立.變式訓練3.函數f(x)= sin2x + sin x cos x+1的最小正周期是 ，最小值是 解析：f(x) = sin2x+ sin xcos x+ 1 = cos x+ 2sin 2x+ 1 = 33+當sin(2x j.故最小正周期 T=22憶 兀當sin(2x 1時，f(x)取得最小值為|-2=3 2.變式訓練4.已知 sin a F= 5,